מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 38: שאלה משולבת – קובייה במערכת צירים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
שאלה משולבת – קובייה במערכת צירים
📄 נוסח השאלה
קובייה ABCDA′B′C′D′ שאורך מקצועה 4 מונחת במערכת צירים כך ש־A(0 , 0 , 0) , B(4 , 0 , 0) , D(0 , 4 , 0) , A′(0 , 0 , 4). הנקודה M היא אמצע המקצוע CC′.
א. מצאו את משוואת המישור BDA′.
ב. הראו שהאלכסון AC′ מאונך למישור BDA′.
ג. מצאו את הזווית בין הישר AM למישור BDA′.
ד. מצאו את המרחק של הקודקוד C′ מהמישור BDA′.
ה. מצאו את הנפח של הפירמידה C′BDA′.
✏️ פתרון
סעיף א – משוואת המישור
שיעורי הקודקודים: C(4 , 4 , 0) , C′(4 , 4 , 4) , M(4 , 4 , 2).
BD = D − B = (−4 , 4 , 0)📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
BA′ = A′ − B = (−4 , 0 , 4)
וקטור נורמל n = (a , b , c) מאונך לשני הווקטורים:📐 וקטור נורמל למישורn · u = 0 , n · v = 0
(a , b , c) · (−4 , 4 , 0) = 0
−4a + 4b = 0
b = a
(a , b , c) · (−4 , 0 , 4) = 0
−4a + 4c = 0
c = a
נבחר a = 1:
n = (1 , 1 , 1)
ax + by + cz + d = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0n = (a , b , c) מאונך למישור
נציב a = 1 , b = 1 , c = 1 , B(4 , 0 , 0):
4 + 0 + 0 + d = 0
d = −4
x + y + z − 4 = 0
בדיקה: D: 0 + 4 + 0 − 4 = 0 ✓ , A′: 0 + 0 + 4 − 4 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x + y + z − 4 = 0
סעיף ב – אלכסון מאונך למישור
AC′ = C′ − A = (4 , 4 , 4)📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
AC′ = 4 · (1 , 1 , 1) = 4n
הווקטור AC′ קולינארי לנורמל, ולכן הוא מאונך למישור:📐 ישר מאונך למישורוקטור הכיוון של הישר הוא וקטור הנורמל של המישור: u = n
✅ פתרון סופי: AC′ ⊥ BDA′
סעיף ג – זווית בין ישר למישור
AM = M − A = (4 , 4 , 2)📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
n · AM = 4 + 4 + 2 = 10📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
|AM| = √42 + 42 + 22 = √36 = 6📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
sin(∡) = |n · u||n| · |u|📐 הזווית בין ישר למישורsin(∡) = |n · u||n| · |u|
נציב n · u = 10 , |n| = √3 , |u| = 6:
sin(∡) = 10√3 · 6 ≈ 0.9623
במחשבון: SHIFT sin:
∡ ≈ 74.21
✅ פתרון סופי: ∡ ≈ 74.21 מעלות
סעיף ד – מרחק נקודה ממישור
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2📐 מרחק נקודה ממישורמרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
נציב C′(4 , 4 , 4) , a = b = c = 1 , d = −4:
מרחק = |4 + 4 + 4 − 4|√12 + 12 + 12 = 8√3 ≈ 4.62
✅ פתרון סופי: המרחק 8√3 ≈ 4.62
סעיף ה – נפח הפירמידה
|BD| = √(−4)2 + 42 + 02 = √32 = 4√2📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
כל צלעות המשולש BDA′ הן אלכסונים של פאות הקובייה, לכן המשולש שווה צלעות עם צלע 4√2.
S = √34 · a2📐 שטח משולש שווה צלעותS = √34 · a2
נציב a = 4√2:
S = √34 · (4√2)2 = √34 · 32 = 8√3
הגובה של הפירמידה מהקודקוד C′ הוא המרחק מסעיף ד.
V = S · h3📐 נפח פירמידהV = Sבסיס · h3
נציב S = 8√3 , h = 8√3:
V = 8√3 · 8√33 = 643 ≈ 21.33
✅ פתרון סופי: V = 643 ≈ 21.33
📌 סיכום
| סעיף א | x + y + z − 4 = 0 |
|---|---|
| סעיף ב | AC′ = 4n |
| סעיף ג | ≈ 74.21 מעלות |
| סעיף ד | 8√3 ≈ 4.62 |
| סעיף ה | 643 ≈ 21.33 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il