מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 32: מישור במרחב – הצגה פרמטרית ומשוואת מישור
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מישור במרחב – הצגה פרמטרית ומשוואת מישור
📄 נוסח השאלה
נתונות הנקודות A(1 , 0 , 0) , B(0 , 2 , 0) , C(0 , 0 , 3).
א. כתבו הצגה פרמטרית של המישור ABC.
ב. מצאו וקטור נורמל (וקטור מאונך) למישור ABC.
ג. מצאו את משוואת המישור ABC.
ד. האם הנקודה D(2 , −2 , 3) נמצאת במישור? הנקודה E(k , 2 , 3) נמצאת במישור – מצאו את k.
✏️ פתרון
סעיף א – הצגה פרמטרית
AB = B − A = (0 − 1 , 2 − 0 , 0 − 0) = (−1 , 2 , 0)📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
AC = C − A = (0 − 1 , 0 − 0 , 3 − 0) = (−1 , 0 , 3)
שני הווקטורים לא קולינאריים, והם וקטורי כיוון של המישור.
x = A + t · AB + s · AC📐 הצגה פרמטרית של מישורx = A + t · u + s · vשני וקטורי כיוון לא קולינאריים
נציב A = (1 , 0 , 0) , AB = (−1 , 2 , 0) , AC = (−1 , 0 , 3):
x = (1 , 0 , 0) + t(−1 , 2 , 0) + s(−1 , 0 , 3)
✅ פתרון סופי: x = (1 , 0 , 0) + t(−1 , 2 , 0) + s(−1 , 0 , 3)
סעיף ב – וקטור נורמל
נסמן n = (a , b , c). הנורמל מאונך לשני וקטורי הכיוון:
n · AB = 0📐 וקטור נורמל למישורn · u = 0 , n · v = 0
נציב AB = (−1 , 2 , 0):
(a , b , c) · (−1 , 2 , 0) = 0
−a + 2b = 0
n · AC = 0
נציב AC = (−1 , 0 , 3):
(a , b , c) · (−1 , 0 , 3) = 0
−a + 3c = 0
יש שתי משוואות ושלושה נעלמים, לכן בוחרים ערך לאחד מהם. נבחר a = 6 – מספר שמתחלק ב־2 וב־3, כדי שלא יהיו שברים.
−a + 2b = 0
נציב a = 6:
−6 + 2b = 0
b = 3
−a + 3c = 0
נציב a = 6:
−6 + 3c = 0
c = 2
בדיקה: (6 , 3 , 2) · (−1 , 2 , 0) = 0 ✓
✅ פתרון סופי: n = (6 , 3 , 2)
סעיף ג – משוואת המישור
ax + by + cz + d = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0n = (a , b , c) מאונך למישור
נציב a = 6 , b = 3 , c = 2:
6x + 3y + 2z + d = 0
הנקודה A במישור – מציבים את שיעוריה כדי למצוא את d:📐 נקודה על מישורשיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
6x + 3y + 2z + d = 0
נציב x = 1 , y = 0 , z = 0:
6 · 1 + 3 · 0 + 2 · 0 + d = 0
d = −6
6x + 3y + 2z − 6 = 0
בדיקה: הנקודה C: 6 · 0 + 3 · 0 + 2 · 3 − 6 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 6x + 3y + 2z − 6 = 0
סעיף ד – נקודות במישור
מציבים את שיעורי D במשוואה:📐 נקודה על מישורשיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
6x + 3y + 2z − 6
נציב x = 2 , y = −2 , z = 3:
6 · 2 + 3 · (−2) + 2 · 3 − 6 = 6
התוצאה 6 ולא 0 – הנקודה D לא במישור.
הנקודה E במישור:
6x + 3y + 2z − 6 = 0
נציב x = k , y = 2 , z = 3:
6k + 3 · 2 + 2 · 3 − 6 = 0
6k + 6 = 0
k = −1
✅ פתרון סופי: D לא במישור , k = −1
📌 סיכום
| סעיף א | x = (1 , 0 , 0) + t(−1 , 2 , 0) + s(−1 , 0 , 3) |
|---|---|
| סעיף ב | n = (6 , 3 , 2) |
| סעיף ג | 6x + 3y + 2z − 6 = 0 |
| סעיף ד | D לא במישור , k = −1 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il