מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 34: מצב הדדי בין שני מישורים – ישר החיתוך
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מצב הדדי בין שני מישורים – ישר החיתוך
📄 נוסח השאלה
נתונים המישורים: π1: x + y + z − 6 = 0 , π2: 2x − y + z − 3 = 0 , π3: 2x + 2y + 2z − 5 = 0.
א. מצאו את המצב ההדדי בין π1 ל־π2.
ב. מצאו את המצב ההדדי בין π1 ל־π3.
ג. מצאו הצגה פרמטרית של ישר החיתוך של π1 ו־π2.
ד. האם הנקודה P(1 , 2 , 3) נמצאת על ישר החיתוך?
✏️ פתרון
סעיף א – מישורים נחתכים
וקטורי הנורמל הם המקדמים של המשתנים:📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0n = (a , b , c) מאונך למישור
n1 = (1 , 1 , 1) , n2 = (2 , −1 , 1)
נבדוק אם הנורמלים קולינאריים:📐 מצב הדדי בין שני מישוריםנורמלים קולינאריים: מקבילים או מתלכדיםלא קולינאריים: נחתכים בישר
21 = 2 , −11 = −1
היחסים שונים – הנורמלים לא קולינאריים, ולכן המישורים נחתכים (בישר).
✅ פתרון סופי: π1 ו־π2 נחתכים
סעיף ב – מישורים מקבילים
n3 = (2 , 2 , 2) = 2 · (1 , 1 , 1) = 2n1📐 מצב הדדי בין שני מישוריםנורמלים קולינאריים: מקבילים או מתלכדיםלא קולינאריים: נחתכים בישר
הנורמלים קולינאריים – המישורים מקבילים או מתלכדים. נכפול את משוואת π1 ב־2:
2x + 2y + 2z − 12 = 0
2x + 2y + 2z − 5 = 0
המקדמים זהים אבל המספר החופשי שונה (−12 ולא −5) – המישורים לא מתלכדים.
✅ פתרון סופי: π1 ו־π3 מקבילים
סעיף ג – ישר החיתוך
נקודה על ישר החיתוך מקיימת את שתי המשוואות. נבחר z = 0:📐 ישר החיתוך של שני מישוריםנקודה: פותרים את שתי המשוואות (בוחרים ערך לאחד המשתנים)כיוון: u · n1 = 0 , u · n2 = 0
x + y + z − 6 = 0
נציב z = 0:
x + y + 0 − 6 = 0
x + y = 6
2x − y + z − 3 = 0
נציב z = 0:
2x − y + 0 − 3 = 0
2x − y = 3
פותרים את המערכת x + y = 6 , 2x − y = 3 (במחשבון MODE 5 1):
x = 3 , y = 3
הנקודה (3 , 3 , 0) על ישר החיתוך.
וקטור הכיוון u = (a , b , c) מאונך לשני הנורמלים:📐 ישר החיתוך של שני מישוריםנקודה: פותרים את שתי המשוואות (בוחרים ערך לאחד המשתנים)כיוון: u · n1 = 0 , u · n2 = 0
u · n1 = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
נציב n1 = (1 , 1 , 1):
(a , b , c) · (1 , 1 , 1) = 0
a + b + c = 0
u · n2 = 0
נציב n2 = (2 , −1 , 1):
(a , b , c) · (2 , −1 , 1) = 0
2a − b + c = 0
שתי משוואות ושלושה נעלמים – בוחרים ערך לאחד מהם. נבחר c = 3, כך יוצאים מספרים שלמים.
a + b + c = 0
נציב c = 3:
a + b + 3 = 0
a + b = −3
2a − b + c = 0
נציב c = 3:
2a − b + 3 = 0
2a − b = −3
מחברים את שתי המשוואות:
3a = −6
a = −2
a + b = −3
נציב a = −2:
−2 + b = −3
b = −1
u = (−2 , −1 , 3)
x = A + t · u📐 הצגה פרמטרית של ישרx = A + t · uA – נקודה על הישר , u – וקטור כיוון
נציב A = (3 , 3 , 0) , u = (−2 , −1 , 3):
x = (3 , 3 , 0) + t(−2 , −1 , 3)
בדיקה: (−2 , −1 , 3) · (1 , 1 , 1) = 0 ✓
בדיקה: (−2 , −1 , 3) · (2 , −1 , 1) = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x = (3 , 3 , 0) + t(−2 , −1 , 3)
סעיף ד – נקודה על ישר החיתוך
נקודה כללית על הישר:📐 נקודה כללית על ישרx = A + t · u – כל ערך של t נותן נקודה על הישר
(x , y , z) = (3 − 2t , 3 − t , 3t)
משווים לנקודה P(1 , 2 , 3):
3 − 2t = 1
t = 1
3 − t = 2
t = 1
3t = 3
t = 1
אותו ערך t = 1 בשלוש המשוואות – הנקודה על הישר.
בדיקה: ב־π1: 1 + 2 + 3 − 6 = 0 ✓ , ב־π2: 2 − 2 + 3 − 3 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: כן, P על ישר החיתוך (t = 1)
📌 סיכום
| סעיף א | נחתכים |
|---|---|
| סעיף ב | מקבילים |
| סעיף ג | x = (3 , 3 , 0) + t(−2 , −1 , 3) |
| סעיף ד | כן (t = 1) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il