מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 31- הסבר נוסף על הרכבה כולל חורים ואסימפטוטה אנכית
חקירת פונקציית e · 5 יחידות · שאלון 572
📄 דף הסבר: הרכבה ef(x) – חור או אסימפטוטה אנכית
נתון סרטוט של f(x) ורוצים לדעת איך מתנהגת y = ef(x). רוב התכונות עוברות כמו שהן; את האסימפטוטה האנכית של f(x) צריך לבדוק.
מה עובר כמו שהוא
ת"ה: זהה – התחום של f(x) נמשך ל-ef(x).
קיצון ועלייה/ירידה – (ef(x))' = f'(x)·ef(x) = 0, ו-ef(x) > 0, לכן f'(x) = 0: אותם x, אותו סוג, אותם תחומי עלייה וירידה.
מה משתנה
ה-y של נקודת הקיצון: (x, f(x)) ← (x, ef(x))
למשל min (2, 4) של f ← min (2, e4).
ef(x) > 0 ← הסרטוט תמיד מעל ציר ה-x.
שלביםל-f(x) יש אסימפטוטה אנכית x = a: מה יש ל-ef(x)?
1קוראים מהסרטוט
לאן שואפת f(x) מימין ל-a (a+) ומשמאל ל-a (a−): ∞ או −∞.
2מציבים בחזקה
Limx→a+ ef(x) = ef(a+) – מחליפים את f(a+) ב-∞ או ב-−∞. אם שני הצדדים זהים – מספיק צד אחד.
3יצא ∞ ← אסימפטוטה
e∞ = ∞ ← גם ל-ef(x) יש אסימפטוטה אנכית x = a.
4יצא 0 ← חור
e−∞ = 1e∞ → 0 ← חור בנקודה (a, 0).
f → ∞ ← אסימפטוטה אנכית · f → −∞ ← חור (a, 0) ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון בודקים שלושה מצבים של אסימפטוטה אנכית בסרטוט של f(x), ובכל אחד מחליטים מה יש ל-y = ef(x): אסימפטוטה אנכית, חור, או גם וגם.
🔵 מצב 1: f(x) שואפת לאינסוף משני הצדדים ← אסימפטוטה אנכית גם ל-ef(x)
בסרטוט: ל-f(x) יש אסימפטוטה אנכית x = 0, ומשני הצדדים (0+ ו-0−) f(x) שואפת ל-∞. מה יש ל-ef(x) ב-x = 0?
שני הצדדים מתנהגים אותו דבר ← מספיק לבדוק את 0+:
Limx→0+ ef(x) = ef(0+)
= e∞ = ∞
יצא אינסוף ← אסימפטוטה אנכית.
תשובה: ל-ef(x) יש אסימפטוטה אנכית x = 0
🟣 מצב 2: f(x) שואפת למינוס אינסוף משני הצדדים ← חור (a, 0)
בסרטוט: ל-f(x) יש אסימפטוטה אנכית x = a, ומשני הצדדים f(x) שואפת ל-−∞. מה יש ל-ef(x) ב-x = a?
שני הצדדים זהים ← בודקים את a−:
Limx→a− ef(x) = ef(a−)
= e−∞ = 1e∞ = 1∞ → 0
יצא מספר (0), לא אינסוף ← חור, והחור בנקודה (a, 0).
הסרטוט של ef(x) – תמיד מעל ציר ה-x, עם חור משני הצדדים בנקודה (a, 0):
תשובה: חור בנקודה (a, 0)
🟢 מצב 3: מימין ∞ ומשמאל −∞ ← אסימפטוטה אנכית מימין וחור משמאל
בסרטוט: ל-f(x) יש אסימפטוטה אנכית x = 0. מימין (0+) f(x) שואפת ל-∞, ומשמאל (0−) ל-−∞. מה יש ל-ef(x) ב-x = 0?
הצדדים לא מתנהגים אותו דבר ← בודקים את שניהם.
צד ימין:
Limx→0+ ef(x) = ef(0+)
= e∞ = ∞
מימין: אסימפטוטה אנכית x = 0.
צד שמאל:
Limx→0− ef(x) = ef(0−)
= e−∞ = 1e∞ = 0
משמאל: חור בנקודה (0, 0).
הסרטוט של ef(x) – משמאל יורד לחור ב-(0, 0), מימין עולה לאורך האסימפטוטה:
תשובה:
מימין: אסימפטוטה אנכית x = 0
משמאל: חור (0, 0)
מימין: אסימפטוטה אנכית x = 0
משמאל: חור (0, 0)
💡 לזכור
e∞ = ∞ ← אסימפטוטה אנכית.
e−∞ → 0 ← חור, תמיד בגובה y = 0.
צדדים שונים ← בודקים כל צד לחוד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il