שיעור 40: בגרות קיץ 2026 מועד א׳ – תיבה ומישור AEC

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 2
תיבה ומישור AEC

📄 נוסח השאלה תיבה ABCDA'B'C'D' מתוך השאלון

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′.

נסמן: AA′ = w , AB = v , AD = u.

הנקודה E היא אמצע המקצוע BB′.

א. הביעו את EA ו־EC באמצעות u, v ו־w.

הנקודה M מקיימת BM = 16u − 23v + 112w.

ב. הביעו את EM באמצעות u, v ו־w.

נתון: EM = a · EA + b · EC. a ו־b הם פרמטרים.

ג. (1) מצאו את הערך של a ואת הערך של b. (2) האם הנקודה M נמצאת במישור AEC? נמקו את תשובתכם.

נתון כי |w| = 4 והווקטור BM מאונך למישור AEC.

ד. מצאו את הערך של |u| ואת הערך של |v|.

ה. חשבו את המרחק בין הנקודה B ובין המישור AEC.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הבעת EA ו־EC

בתיבה המקצועות המקבילים שווים ומקבילים, ולכן: BB′ = w, BC = u, BA = −v.

E אמצע BB′, ולכן EB = −12w (מ־E יורדים חצי מקצוע אל B).

EA = EB + BA📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ

נציב EB = −12w , BA = −v :

EA = −12w + (−v)

EA = −v − 12w

EC = EB + BC📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ

נציב EB = −12w , BC = u :

EC = −12w + u

EC = u − 12w

✅ פתרון סופי: EA = −v − 12w , EC = u − 12w

סעיף ב – הבעת EM

EM = EB + BM📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ

נציב EB = −12w , BM = 16u − 23v + 112w (נתון):

EM = −12w + 16u − 23v + 112w

נכנס את המקדמים של w:

−12 + 112 = −612 + 112 = −512

EM = 16u − 23v − 512w

✅ פתרון סופי: EM = 16u − 23v − 512w

סעיף ג (1) – הערכים של a ו־b

EM = a · EA + b · EC

נציב EA = −v − 12w , EC = u − 12w (מסעיף א):

a · EA + b · EC = a(−v − 12w) + b(u − 12w)

a · EA + b · EC = bu − av − a2w − b2w

a · EA + b · EC = bu − av − a + b2w

הווקטורים u, v, w אינם באותו מישור, ולכן אפשר להשוות את המקדמים בשני הצדדים של EM = aEA + bEC:📐 משפט: השוואת מקדמיםאם שלושה וקטורים אינם במישור אחד, ההצגה של וקטור בעזרתם היא יחידה

מקדם u:

b = 16

מקדם v:

−a = −23

a = 23

בדיקה במקדם w:

−a + b2 = −512

נציב a = 23 , b = 16 :

−23 + 162 = −562 = −512 ✓

✅ פתרון סופי: a = 23 , b = 16

סעיף ג (2) – האם M במישור AEC

מצאנו מספרים a ו־b שמקיימים את שלוש המשוואות (גם את הבדיקה במקדם w), כלומר:

EM = 23EA + 16EC

הווקטור EM הוא צירוף של שני וקטורים במישור AEC שיוצאים מהנקודה E, ו־E עצמה נמצאת במישור. לכן גם הנקודה M נמצאת במישור AEC.

✅ פתרון סופי: כן, הנקודה M נמצאת במישור AEC

סעיף ד – אורכי u ו־v

התיבה בקנה מידה (|u| = 2, |v| = 1, |w| = 4): המישור AEC בתכלת, והווקטור BM בירוק

בתיבה המקצועות מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה הסקלרית של כל שניים מהם היא 0:

u · v = u · w = v · w = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0

BM מאונך למישור AEC, ולכן הוא מאונך לשני וקטורים שאינם מקבילים במישור, EA ו־EC:

ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור.📐 משפט: ישר מאונך למישורמאונך לשני ישרים נחתכים במישור

המכפלה עם EA:

BM · EA = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0

נציב BM = 16u − 23v + 112w , EA = −v − 12w :

(16u − 23v + 112w) · (−v − 12w) = 0

כל המכפלות של שני וקטורים שונים מתאפסות. נשארות רק מכפלות v · v ו־w · w:

(−23) · (−1) · |v|² + 112 · (−12) · |w|² = 0📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|²

23|v|² − 124|w|² = 0

נציב |w|² = 4² = 16 :

23|v|² − 124 · 16 = 0

23|v|² = 23

|v|² = 1

|v| = 1

המכפלה עם EC:

BM · EC = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0

נציב BM = 16u − 23v + 112w , EC = u − 12w :

(16u − 23v + 112w) · (u − 12w) = 0

16|u|² + 112 · (−12) · |w|² = 0📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|²

16|u|² − 124|w|² = 0

נציב |w|² = 16 :

16|u|² − 124 · 16 = 0

16|u|² = 23

|u|² = 4

|u| = 2

✅ פתרון סופי: |u| = 2 , |v| = 1

סעיף ה – המרחק בין B למישור AEC

הנקודה M נמצאת במישור AEC (סעיף ג), והווקטור BM מאונך למישור (נתון). לכן BM הוא האנך מ־B למישור, והמרחק המבוקש הוא האורך |BM|.

|BM|² = BM · BM📐 נוסחה: אורך וקטור|a|² = a · a

נציב BM = 16u − 23v + 112w :

|BM|² = (16u − 23v + 112w) · (16u − 23v + 112w)

המכפלות המעורבות מתאפסות (מקצועות מאונכים), ונשארים הריבועים:

|BM|² = 136|u|² + 49|v|² + 1144|w|²

נציב |u|² = 4 , |v|² = 1 , |w|² = 16 (סעיף ד ונתון):

|BM|² = 136 · 4 + 49 · 1 + 1144 · 16

|BM|² = 19 + 49 + 19

|BM|² = 69 = 23

|BM| = √23 ≈ 0.82

✅ פתרון סופי: √23 ≈ 0.82

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	EA = −v − 12w , EC = u − 12w
סעיף ב	EM = 16u − 23v − 512w
סעיף ג (1)	a = 23 , b = 16
סעיף ג (2)	כן
סעיף ד	\|u\| = 2 , \|v\| = 1
סעיף ה	√23 ≈ 0.82

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים