בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה
פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2026 מועד א'
פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
השאלון שנפתר כאן: גרסה א'
📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד א'
⬅️ החליקו לעמוד הבא
⬇️ להורדת השאלון המלא🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים
- שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: פרבולה, משיק ומעגל
- שאלה 2 – וקטורים במרחב: תיבה ומישור AEC
- שאלה 3 – מספרים מרוכבים: שורשים, מרובע במישור גאוס
- פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- שאלה 4 – חקירת פונקציית ln, הפונקציה g = 1 : f ושטח
- שאלה 5 – חקירת פונקציה עם e ו־ln, גרף הנגזרת ופרמטר
שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: פרבולה, משיק ומעגל
📄 נוסח השאלה
נתונה פרבולה שמשוואתה y2 = 54x.
בנקודה A, שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 34.
א. מצאו את שיעורי הנקודה A.
הנקודה A נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה M. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה A, וכי ציר ה־y משיק למעגל כך ששיעור ה־x של הנקודה M קטן משיעור ה־x של הנקודה A.
ב. (1) מצאו את משוואת הישר AM. (2) מצאו את משוואת המעגל.
נקודה B היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך נקודה B מעבירים משיק למעגל. נקודה P נמצאת על המשיק כך ש־BP = 36.
ג. (1) מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה. (2) האם על המקום הגאומטרי שמצאתם יש שתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא 80? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – שיעורי הנקודה A
נשווה את משוואת הפרבולה לצורה y2 = 2px:
2p = 54
p = 542 = 27
נסמן A(x1 , y1). נכתוב את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה A:
y1 · y = 27(x + x1)📐 נוסחה: משיק לפרבולהy² = 2px :y1 · y = p(x + x1)
נבודד את y כדי לראות את השיפוע:
y = 27y1 x + 27x1y1
השיפוע של המשיק הוא 27y1, ונתון שהוא 34:
27y1 = 34
3y1 = 4 · 27
3y1 = 108
y1 = 1083 = 36
הנקודה A נמצאת על הפרבולה, ולכן נציב y = 36 במשוואת הפרבולה:
362 = 54x1
1296 = 54x1
x1 = 129654 = 24
✅ פתרון סופי: A(24 , 36)
סעיף ב (1) – משוואת הישר AM
AM הוא רדיוס, והמשיק למעגל בנקודה A מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן AM מאונך למשיק ששיפועו 34.📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
mAM · 34 = −1📐 נוסחה: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAM = −43
הישר עובר דרך A(24 , 36):
y − 36 = −43(x − 24)📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y − 36 = −43x + 32
y = −43x + 32 + 36
y = −43x + 68
הפרבולה (כחול), המשיק בנקודה A (תכלת), המעגל שמרכזו M (סגול), ובקו מקווקו המקום הגאומטרי של P מסעיף ג – הכול בקנה מידה
✅ פתרון סופי: y = −43x + 68
סעיף ב (2) – משוואת המעגל
המרכז M נמצא על הישר AM, ולכן נסמן M(t , −43t + 68).
המעגל משיק לציר ה־y, ולכן הרדיוס שווה למרחק של M מציר ה־y, כלומר לשיעור ה־x שלו:
R = t
גם MA הוא רדיוס. נחשב את MA בעזרת נוסחת המרחק:
MA2 = (24 − t)2 + (36 − (−43t + 68))2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
MA2 = (24 − t)2 + (43t − 32)2
נוציא גורם משותף בסוגריים השניים: 43t − 32 = 43(t − 24)
MA2 = (24 − t)2 + 169(24 − t)2
MA2 = 259(24 − t)2
נתון ש־t < 24 (שיעור ה־x של M קטן משל A), ולכן 24 − t > 0:
MA = 53(24 − t)
שני הרדיוסים שווים, MA = R:
53(24 − t) = t
5(24 − t) = 3t
120 − 5t = 3t
120 = 8t
t = 1208 = 15
yM = −43 · 15 + 68 = −20 + 68 = 48
המרכז M(15 , 48) והרדיוס R = 15. בדיקה: MA = 53 · 9 = 15 ✓
(x − 15)2 + (y − 48)2 = 152📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(x − 15)2 + (y − 48)2 = 225
✅ פתרון סופי: (x − 15)2 + (y − 48)2 = 225
סעיף ג (1) – המקום הגאומטרי של הנקודות P
BP משיק למעגל בנקודה B, ולכן הוא מאונך לרדיוס MB. מכאן שהמשולש MBP ישר זווית, והזווית הישרה היא ∢MBP.📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
הניצבים: MB = R = 15, BP = 36. היתר: MP.
MP2 = MB2 + BP2📐 נוסחה: משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
MP2 = 152 + 362
MP2 = 225 + 1296
MP2 = 1521
MP = 39
כלומר כל נקודה P נמצאת במרחק קבוע 39 מהנקודה M(15 , 48). המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו M ורדיוסו 39:
(x − 15)2 + (y − 48)2 = 392📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(x − 15)2 + (y − 48)2 = 1521
✅ פתרון סופי: (x − 15)2 + (y − 48)2 = 1521
סעיף ג (2) – האם יש שתי נקודות במרחק 80
המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 39. המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על מעגל הוא הקוטר:
2 · 39 = 78
78 < 80
אין על המעגל שתי נקודות שהמרחק ביניהן גדול מהקוטר, ולכן אין שתי נקודות שהמרחק ביניהן 80.
✅ פתרון סופי: לא – המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על המעגל הוא הקוטר 78, שקטן מ־80
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | A(24 , 36) |
|---|---|
| סעיף ב (1) | y = −43x + 68 |
| סעיף ב (2) | (x − 15)2 + (y − 48)2 = 225 |
| סעיף ג (1) | (x − 15)2 + (y − 48)2 = 1521 |
| סעיף ג (2) | לא (הקוטר 78 < 80) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – פרבולה ומשיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 2 – וקטורים במרחב: תיבה ומישור AEC
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′.
נסמן: AA′ = w , AB = v , AD = u.
הנקודה E היא אמצע המקצוע BB′.
א. הביעו את EA ו־EC באמצעות u, v ו־w.
הנקודה M מקיימת BM = 16u − 23v + 112w.
ב. הביעו את EM באמצעות u, v ו־w.
נתון: EM = a · EA + b · EC. a ו־b הם פרמטרים.
ג. (1) מצאו את הערך של a ואת הערך של b. (2) האם הנקודה M נמצאת במישור AEC? נמקו את תשובתכם.
נתון כי |w| = 4 והווקטור BM מאונך למישור AEC.
ד. מצאו את הערך של |u| ואת הערך של |v|.
ה. חשבו את המרחק בין הנקודה B ובין המישור AEC.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת EA ו־EC
בתיבה המקצועות המקבילים שווים ומקבילים, ולכן: BB′ = w, BC = u, BA = −v.
E אמצע BB′, ולכן EB = −12w (מ־E יורדים חצי מקצוע אל B).
EA = EB + BA📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ
EA = −12w − v
EA = −v − 12w
EC = EB + BC📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ
EC = −12w + u
EC = u − 12w
✅ פתרון סופי: EA = −v − 12w , EC = u − 12w
סעיף ב – הבעת EM
EM = EB + BM📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ = PR + RQ
EM = −12w + 16u − 23v + 112w
נכנס את המקדמים של w:
−12 + 112 = −612 + 112 = −512
EM = 16u − 23v − 512w
✅ פתרון סופי: EM = 16u − 23v − 512w
סעיף ג (1) – הערכים של a ו־b
נציב את הביטויים מסעיף א:
a · EA + b · EC = a(−v − 12w) + b(u − 12w)
= bu − av − a2w − b2w
= bu − av − a + b2w
הווקטורים u, v, w אינם באותו מישור, ולכן אפשר להשוות את המקדמים בשני הצדדים של EM = aEA + bEC:📐 משפט: השוואת מקדמיםאם שלושה וקטורים אינם במישור אחד, ההצגה של וקטור בעזרתם היא יחידה
מקדם u:
b = 16
מקדם v:
−a = −23
a = 23
בדיקה במקדם w:
−a + b2 = −23 + 162 = −562 = −512 ✓
✅ פתרון סופי: a = 23 , b = 16
סעיף ג (2) – האם M במישור AEC
מצאנו מספרים a ו־b שמקיימים את שלוש המשוואות (גם את הבדיקה במקדם w), כלומר:
EM = 23EA + 16EC
הווקטור EM הוא צירוף של שני וקטורים במישור AEC שיוצאים מהנקודה E, ו־E עצמה נמצאת במישור. לכן גם הנקודה M נמצאת במישור AEC.
✅ פתרון סופי: כן, הנקודה M נמצאת במישור AEC
סעיף ד – אורכי u ו־v
התיבה בקנה מידה (|u| = 2, |v| = 1, |w| = 4): המישור AEC בתכלת, והווקטור BM בירוק
בתיבה המקצועות מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה הסקלרית של כל שניים מהם היא 0:
u · v = u · w = v · w = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
BM מאונך למישור AEC, ולכן הוא מאונך לשני וקטורים שאינם מקבילים במישור, EA ו־EC:
ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור.📐 משפט: ישר מאונך למישורמאונך לשני ישרים נחתכים במישור
המכפלה עם EA:
BM · EA = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0
(16u − 23v + 112w) · (−v − 12w) = 0
כל המכפלות של שני וקטורים שונים מתאפסות. נשארות רק מכפלות v · v ו־w · w:
(−23) · (−1) · |v|2 + 112 · (−12) · |w|2 = 0📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|2
23|v|2 − 124|w|2 = 0
23|v|2 − 124 · 16 = 0
23|v|2 = 23
|v|2 = 1
|v| = 1
המכפלה עם EC:
BM · EC = 0📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0
(16u − 23v + 112w) · (u − 12w) = 0
16|u|2 + 112 · (−12) · |w|2 = 0📐 נוסחה: מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|2
16|u|2 − 124 · 16 = 0
16|u|2 = 23
|u|2 = 4
|u| = 2
✅ פתרון סופי: |u| = 2 , |v| = 1
סעיף ה – המרחק בין B למישור AEC
הנקודה M נמצאת במישור AEC (סעיף ג), והווקטור BM מאונך למישור (נתון). לכן BM הוא האנך מ־B למישור, והמרחק המבוקש הוא האורך |BM|.
|BM|2 = BM · BM📐 נוסחה: אורך וקטור|a|2 = a · a
|BM|2 = (16u − 23v + 112w) · (16u − 23v + 112w)
המכפלות המעורבות מתאפסות (מקצועות מאונכים), ונשארים הריבועים:
|BM|2 = 136|u|2 + 49|v|2 + 1144|w|2
|BM|2 = 136 · 4 + 49 · 1 + 1144 · 16
|BM|2 = 19 + 49 + 19
|BM|2 = 69 = 23
|BM| = √23 ≈ 0.82
✅ פתרון סופי: √23 ≈ 0.82
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | EA = −v − 12w , EC = u − 12w |
|---|---|
| סעיף ב | EM = 16u − 23v − 512w |
| סעיף ג (1) | a = 23 , b = 16 |
| סעיף ג (2) | כן |
| סעיף ד | |u| = 2 , |v| = 1 |
| סעיף ה | √23 ≈ 0.82 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 3 – מספרים מרוכבים: שורשים, מרובע במישור גאוס
📄 נוסח השאלה
נתונה המשוואה z3 = −64. z הוא משתנה מרוכב. (כל הזוויות בשאלה במעלות.)
א. מצאו את כל פתרונות המשוואה.
נתונים שני מספרים מרוכבים: w1 = r(cos a + i · sin a) , w2 = 2r(cos 4a + i · sin 4a), כאשר 50 < a < 130.
שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים w1 ו־w2 נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים O במישור גאוס.
ב. מצאו את שני הערכים האפשריים של a.
נתון כי w1 הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א.
ג. מצאו את הערך של a ואת הערך של r.
נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: w3 = 4 · i , w4 = 8i.
ABCD הוא מרובע קמור. הקודקוד A מיוצג על ידי w1, הקודקוד B על ידי w3, הקודקוד C על ידי w2, והקודקוד D על ידי w4.
ד. הראו כי שטח המרובע ABCD הוא 36.
u הוא מספר מרוכב. הנקודה E, שמיוצגת על ידי המספר u, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית BOA. נתון כי |u| > 1 , u + 1u = 5.2 · (cos 285 + i · sin 285).
ה. מצאו את המספר המרוכב u.
✏️ פתרון שאלה 3
סעיף א – פתרונות המשוואה z³ = −64
נכתוב את −64 בהצגה קוטבית (טריגונומטרית). המספר נמצא על החלק השלילי של הציר הממשי: המרחק מהראשית 64 והזווית 180 מעלות.
−64 = 64 cis 180📐 נוסחה: הצגה קוטביתr cis a = r(cos a + i · sin a)
נשתמש בנוסחת השורשים מסדר n:
z = ∛64 cis 180 + 360k3📐 נוסחה: שורשים מסדר nzn = R cis b ⟸ z = n√R cis b + 360knk = 0 , 1 , … , n − 1
z = 4 cis (60 + 120k) , k = 0 , 1 , 2
k = 0 : z1 = 4 cis 60
k = 1 : z2 = 4 cis 180 = −4
k = 2 : z3 = 4 cis 300
✅ פתרון סופי: 4 cis 60 , 4 cis 180 , 4 cis 300
סעיף ב – שני הערכים האפשריים של a
בהצגה הקוטבית: w1 = r cis a, w2 = 2r cis 4a.
שתי נקודות נמצאות על ישר אחד שעובר דרך הראשית O אם הזוויות שלהן שוות, או שהן נבדלות ב־180 מעלות (או בכפולה של 180).📐 משפט: ישר דרך הראשית במישור גאוסb2 = b1 + 180k
4a = a + 180k
3a = 180k
a = 60k
נבדוק אילו ערכים בתחום 50 < a < 130:
k = 1 : a = 60 ✓
k = 2 : a = 120 ✓
k = 3 : a = 180 ✗
(מחוץ לתחום)
✅ פתרון סופי: a = 60 מעלות או a = 120 מעלות
סעיף ג – הערכים של a ושל r
w1 הוא אחד הפתרונות מסעיף א, ולכן הזווית שלו היא 60, 180 או 300, והגודל שלו 4.
מסעיף ב: a = 60 או a = 120. הערך המשותף הוא a = 60.
w1 = 4 cis 60
a = 60 , r = 4
✅ פתרון סופי: a = 60 מעלות, r = 4
סעיף ד – שטח המרובע ABCD
נכתוב את ארבעת הקודקודים בהצגה קוטבית:
A : w1 = 4 cis 60
C : w2 = 2 · 4 cis (4 · 60) = 8 cis 240
B : w3 = 4i = 4 cis 90
את w4 נחשב בכפל בצמוד של המכנה:
w4 = 8i = 8 · (−i)i · (−i) = −8i1 = −8i📐 נוסחה: כפל בצמודi · (−i) = −i2 = 1
D : w4 = −8i = 8 cis 270
המרובע ABCD במישור גאוס (בקנה מידה). האלכסונים AC ו־BD (סגול מקווקו) נחתכים בראשית O; הקו הירוק הוא חוצה הזווית BOA מסעיף ה
הנקודות A ו־C נבדלות ב־180 מעלות (60 ו־240), ולכן O על האלכסון AC. גם B ו־D נבדלות ב־180 מעלות (90 ו־270), ולכן O על BD. מכאן ש־O היא נקודת מפגש האלכסונים, והמרובע מתחלק לארבעה משולשים: AOB , BOC , COD , DOA.
בכל משולש ידועות שתי צלעות (המרחקים מ־O) והזווית ביניהן (הפרש הזוויות):
SAOB = 12 · 4 · 4 · sin(90 − 60) = 8 · sin 30 = 8 · 12 = 4📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
SBOC = 12 · 4 · 8 · sin(240 − 90) = 16 · sin 150 = 16 · 12 = 8📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
SCOD = 12 · 8 · 8 · sin(270 − 240) = 32 · sin 30 = 32 · 12 = 16📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
SDOA = 12 · 8 · 4 · sin(360 + 60 − 270) = 16 · sin 150 = 16 · 12 = 8📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
SABCD = 4 + 8 + 16 + 8 = 36 ✓
✅ פתרון סופי: S = 36 – כפי שנדרש להראות
סעיף ה – המספר המרוכב u
B בזווית 90 ו־A בזווית 60, ולכן הזווית BOA היא 30 מעלות, וחוצה הזווית נמצא בזווית:
60 + 902 = 75
נסמן |u| = R, כאשר R > 1:
u = R cis 75
u = R cis (−75) = R cis 285📐 נוסחה: המספר הצמודr cis b = r cis (−b)
1u = 1R cis (−75) = 1R cis 285📐 נוסחה: מנה בהצגה קוטביתr1 cis b1r2 cis b2 = r1r2 cis (b1 − b2)
לשני המספרים אותה זווית (285), ולכן מחברים את הגדלים:
u + 1u = (R + 1R) cis 285
נשווה לנתון:
R + 1R = 5.2
R2 + 1 = 5.2R
R2 − 5.2R + 1 = 0
R = 5.2 ± √5.22 − 4 · 1 · 12📐 נוסחה: פתרון משוואה ריבועיתx = −b ± √b2 − 4ac2a
R = 5.2 ± √27.04 − 42 = 5.2 ± √23.042 = 5.2 ± 4.82
R = 102 = 5
או
R = 0.42 = 0.2
נתון |u| > 1, ולכן R = 5.
u = 5 cis 75
✅ פתרון סופי: u = 5 cis 75 = 5(cos 75 + i · sin 75)
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| סעיף א | 4 cis 60 , 4 cis 180 , 4 cis 300 |
|---|---|
| סעיף ב | a = 60 או a = 120 |
| סעיף ג | a = 60 , r = 4 |
| סעיף ד | 36 (הוכחה) |
| סעיף ה | u = 5 cis 75 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 4 – חקירת פונקציית ln, הפונקציה g = 1 : f ושטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = xn · (3 − ln x), המוגדרת בתחום x > 0. n הוא פרמטר טבעי.
א. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.
נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה שבה x = 1 הוא 2.
ב. מצאו את הערך של n.
הציבו n = 1 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ג–ו.
ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = 1f(x).
ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה g(x). (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x).
a הוא פרמטר, 1 < a < 3. נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = e ו־x = ea הוא ln 10.
ו. מצאו את הערך של a.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – חיתוך עם ציר ה־x
על ציר ה־x מתקיים f(x) = 0:
xn · (3 − ln x) = 0
בתחום x > 0 מתקיים xn > 0, ולכן רק הגורם השני יכול להתאפס:
3 − ln x = 0
ln x = 3
x = e3📐 נוסחה: הגדרת הלוגריתםln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: (e3 , 0) ≈ (20.09 , 0)
סעיף ב – הערך של n
נגזור לפי כלל הנגזרת של מכפלה:
f'(x) = n · xn − 1 · (3 − ln x) + xn · (−1x)📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(u · v)' = u' · v + u · v'(xn)' = n · xn − 1(ln x)' = 1x
f'(x) = n · xn − 1 · (3 − ln x) − xn − 1
שיפוע המשיק בנקודה שבה x = 1 הוא f′(1). נציב x = 1 (זכרו ln 1 = 0 ו־1n − 1 = 1):
f'(1) = n · 1 · (3 − 0) − 1📐 נוסחה: שיפוע המשיקm = f'(x0)
f'(1) = 3n − 1
3n − 1 = 2
3n = 3
n = 1
✅ פתרון סופי: n = 1
סעיף ג – נקודת הקיצון
עם n = 1: f(x) = x(3 − ln x) = 3x − x · ln x. מהנגזרת שמצאנו בסעיף ב, עם n = 1:
f'(x) = 1 · x0 · (3 − ln x) − x0
f'(x) = 3 − ln x − 1
f'(x) = 2 − ln x
נשווה את הנגזרת לאפס:
2 − ln x = 0
ln x = 2
x = e2📐 נוסחה: הגדרת הלוגריתםln x = b ⟺ x = eb
f(e2) = e2 · (3 − ln e2) = e2 · (3 − 2) = e2
נבדוק את סוג הקיצון בטבלה (נציב נקודות משני הצדדים):
| x | 1 | e2 | e3 |
|---|---|---|---|
| f′(x) | 2 − 0 = 2 > 0 | 0 | 2 − 3 = −1 < 0 |
| f(x) | עולה ↗ | מקסימום | יורדת ↘ |
✅ פתרון סופי: מקסימום (e2 , e2) ≈ (7.39 , 7.39)
סעיף ד – סקיצה של f(x)
מה שמצאנו: תחום x > 0; חיתוך עם ציר ה־x ב־(e3 , 0); מקסימום ב־(e2 , e2); עלייה ב־0 < x < e2 וירידה ב־x > e2.
כשהערכים של x קרובים ל־0 מימין, גם f(x) קרוב ל־0 (למשל f(0.01) ≈ 0.08), ולכן הגרף יוצא מליד הראשית (נקודה ריקה). עבור x > e3 הפונקצייה שלילית ויורדת.
סקיצה של גרף הפונקציה f(x) = 3x − x · ln x (בקנה מידה)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו בגרף
סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g(x)
g(x) = 1f(x) מוגדרת כאשר f(x) מוגדרת (x > 0) וגם המכנה שונה מאפס:
f(x) ≠ 0 ⟸ x ≠ e3
✅ פתרון סופי: 0 < x < e3 , x > e3
סעיף ה (2) – אסימפטוטות של g(x)
אסימפטוטות אנכיות. במקומות שבהם המכנה f(x) מתאפס (או שואף ל־0), g(x) שואפת לאינסוף:
ב־x = e3: f(e3) = 0, ולכן x = e3 אסימפטוטה אנכית.
כש־x שואף ל־0 מימין, f(x) שואפת ל־0 (ערכים חיוביים קטנים), ולכן g(x) שואפת ל־+∞: x = 0 אסימפטוטה אנכית.
אסימפטוטה אופקית. כש־x שואף לאינסוף, f(x) = x(3 − ln x) שואפת ל־−∞ (הגורם 3 − ln x שלילי וגדל בערכו המוחלט). לכן g(x) = 1f(x) שואפת ל־0:
y = 0
אסימפטוטה אופקית מימין (כאשר x שואף לאינסוף).
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = e3 , y = 0 (מימין)
סעיף ה (3) – סקיצה של g(x)
בתחום 0 < x < e3 הפונקצייה f חיובית, ולכן גם g חיובית. כש־f מקסימלית, g = 1f מינימלית: נקודת מינימום (e2 , 1e2) ≈ (7.39 , 0.14).
f עולה ב־0 < x < e2 ⟸ g יורדת שם; f יורדת ב־x > e2 ⟸ g עולה שם (בכל ענף בנפרד).
בתחום x > e3 הפונקצייה f שלילית, ולכן g שלילית: עולה מ־−∞ (ליד x = e3) ומתקרבת ל־0 מלמטה.
סקיצה של גרף הפונקציה g(x) = 1 : f(x) (בקנה מידה). האסימפטוטה x = e³ מקווקוות
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו בגרף
סעיף ו – הערך של a
בתחום e ≤ x ≤ ea (כאשר 1 < a < 3, כלומר ea < e3) הפונקצייה g חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל:
S = ∫eae 1x(3 − ln x) dx📐 נוסחה: שטח מתחת לגרף חיוביS = ∫ab f(x) dx
נזהה את המכנה: הנגזרת של 3 − ln x היא −1x, ולכן:
1x(3 − ln x) = −−1x3 − ln x📐 נוסחה: אינטגרל של מנה (נגזרת המכנה במונה)∫ h'(x)h(x) dx = ln|h(x)| + C
S = [−ln|3 − ln x|]eea
נציב את הגבולות (ln ea = a, ln e = 1); בתחום הזה 3 − ln x > 0:
S = −ln(3 − a) − (−ln(3 − 1))
S = ln 2 − ln(3 − a)
S = ln 23 − a📐 נוסחה: חוקי לוגריתמיםln u − ln v = ln uv
נתון ש־S = ln 10:
ln 23 − a = ln 10
23 − a = 10
2 = 10(3 − a)
2 = 30 − 10a
10a = 28
a = 2.8
בדיקה: 1 < 2.8 < 3 ✓
✅ פתרון סופי: a = 2.8
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | (e3 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב | n = 1 |
| סעיף ג | מקסימום (e2 , e2) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה (1) | 0 < x < e3 , x > e3 |
| סעיף ה (2) | x = 0 , x = e3 , y = 0 (מימין) |
| סעיף ה (3) | סקיצה |
| סעיף ו | a = 2.8 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – חקירה ברמת בגרות 5 יחידות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 5 – חקירת פונקציה עם e ו־ln, גרף הנגזרת ופרמטר
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 4ex − x + 9 · ln(4 − ex).
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).
ב. הראו כי f′(x) = −4(ex − 1)24 − ex.
ג. (1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה). (2) מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקצייה f(x) המקביל לציר ה־x.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
ה. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x). (2) לפונקצייה f(x) יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום x < ln 4.
נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + ax, שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). a הוא פרמטר.
ו. היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת f′(x), ומצאו בעבור אילו ערכים של a יש לפונקצייה g(x) שתי נקודות קיצון. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
הפונקצייה ln מוגדרת רק למספרים חיוביים, ולכן הביטוי שבתוך ה־ln חייב להיות חיובי:📐 משפט: תחום הגדרה של lnln u מוגדר כאשר u > 0
4 − ex > 0
ex < 4
x < ln 4📐 נוסחה: הגדרת הלוגריתםex = b ⟺ x = ln b
✅ פתרון סופי: x < ln 4 (≈ 1.386)
סעיף א (2) – אסימפטוטות של f(x)
אסימפטוטה אנכית. כש־x שואף ל־ln 4 משמאל, 4 − ex שואף ל־0 מימין, ולכן ln(4 − ex) שואף ל־−∞. שאר האיברים סופיים (4ex − x שואף ל־16 − ln 4), ולכן f(x) שואפת ל־−∞:
x = ln 4
זו אסימפטוטה אנכית.
אסימפטוטה אופקית. התחום פתוח רק שמאלה, ולכן בודקים כש־x שואף ל־−∞: 4ex שואף ל־0, 9ln(4 − ex) שואף ל־9 ln 4, אבל −x שואף ל־+∞. לכן f(x) שואפת ל־+∞ ואין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = ln 4 (אין אסימפטוטה אופקית)
סעיף ב – הנגזרת f'(x)
נגזור כל איבר בנפרד:
(4ex)' = 4ex📐 נוסחה: נגזרת ex(ex)' = ex
(−x)' = −1
(9 · ln(4 − ex))' = 9 · −ex4 − ex📐 נוסחה: נגזרת ln של פונקציה (כלל השרשרת)(ln u)' = u'u
f'(x) = 4ex − 1 − 9ex4 − ex
נכנס למכנה משותף 4 − ex:
f'(x) = (4ex − 1)(4 − ex) − 9ex4 − ex
נפתח את הסוגריים במונה:
(4ex − 1)(4 − ex) = 16ex − 4e2x − 4 + ex = −4e2x + 17ex − 4
−4e2x + 17ex − 4 − 9ex = −4e2x + 8ex − 4
= −4(e2x − 2ex + 1)
= −4(ex − 1)2📐 נוסחה: נוסחת הכפל המקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
f'(x) = −4(ex − 1)24 − ex ✓
✅ פתרון סופי: הוכחנו: f'(x) = −4(ex − 1)24 − ex
סעיף ג (1) – תחומי עלייה וירידה
בתחום ההגדרה x < ln 4 המכנה חיובי: 4 − ex > 0.
במונה: (ex − 1)2 ≥ 0, ולכן −4(ex − 1)2 ≤ 0.
f'(x) ≤ 0
בכל התחום.
הנגזרת מתאפסת רק כאשר ex = 1, כלומר רק ב־x = 0, ובכל שאר התחום היא שלילית. לכן הפונקצייה יורדת בכל התחום (בנקודה x = 0 יש משיק אופקי, אבל אין שינוי בכיוון).
✅ פתרון סופי: יורדת בכל התחום: x < ln 4; אין תחום עלייה
סעיף ג (2) – משיק המקביל לציר ה־x
משיק מקביל לציר ה־x – שיפועו 0:
f'(x) = 0📐 נוסחה: שיפוע המשיקm = f'(x0)
−4(ex − 1)2 = 0
ex = 1
x = 0
f(0) = 4e0 − 0 + 9 · ln(4 − e0) = 4 + 9 · ln 3
y = 4 + 9 ln 3 (≈ 13.89)
✅ פתרון סופי: y = 4 + 9 ln 3
סעיף ד – סקיצה של f(x)
הפונקצייה יורדת בכל התחום x < ln 4, שואפת ל־+∞ משמאל ול־−∞ ליד האסימפטוטה x = ln 4, ובנקודה (0 , 4 + 9 ln 3) יש משיק אופקי.
סקיצה של גרף הפונקציה f(x) (בקנה מידה). המשיק האופקי y = 4 + 9ln3 בתכלת
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו בגרף
סעיף ה (1) – אסימפטוטות של f'(x)
f′(x) = −4(ex − 1)24 − ex מוגדרת גם היא ב־x < ln 4.
אנכית: כש־x שואף ל־ln 4 משמאל, המכנה שואף ל־0 מימין והמונה ל־−4 · 32 = −36, ולכן f′(x) שואפת ל־−∞: x = ln 4.
אופקית: כש־x שואף ל־−∞, ex שואף ל־0:
f'(x) → −4(0 − 1)24 − 0 = -44 = −1
y = −1
אסימפטוטה אופקית משמאל (כאשר x שואף למינוס אינסוף).
✅ פתרון סופי: x = ln 4 , y = −1 (משמאל)
סעיף ה (2) – סקיצה של f'(x)
מה שידוע על f′(x): היא שלילית בכל התחום חוץ מ־x = 0, שם היא 0 (סעיף ג); משמאל היא מתקרבת ל־−1; ליד x = ln 4 היא שואפת ל־−∞.
הנקודה (0 , 0) היא הערך הגדול ביותר של f′ (כל שאר הערכים שליליים), ולכן זו נקודת מקסימום של f′ – וזו נקודת הפיתול היחידה של f. משמאל לה f′ עולה (מ־−1 ל־0), ומימינה יורדת (מ־0 ל־−∞).
סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f'(x) (בקנה מידה). האסימפטוטות x = ln4 ו־y = −1 מקווקוות
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו בגרף
סעיף ו – מתי ל־g(x) יש שתי נקודות קיצון
g'(x) = f'(x) + a📐 נוסחה: נגזרת של סכום(u + v)' = u' + v'(ax)' = a
נקודות קיצון של g הן נקודות שבהן g′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן:
f'(x) + a = 0 ⟺ f'(x) = −a
כלומר מחפשים את מספר נקודות החיתוך של גרף f′(x) עם הישר האופקי y = −a, שבהן הגרף חוצה את הישר.
לפי הגרף מסעיף ה: בתחום x < 0 הנגזרת f′ עולה מ־−1 (בלי להגיע אליו) עד 0, ובתחום 0 < x < ln 4 היא יורדת מ־0 עד −∞.
אם −1 < −a < 0: הישר חותך את הגרף פעמיים – פעם בענף העולה ופעם בענף היורד, ובכל חיתוך הגרף חוצה את הישר (מחליף סימן). לכן ל־g שתי נקודות קיצון.
אם −a = 0: נקודת השקה בלבד ב־x = 0 (בלי החלפת סימן) – אין קיצון. אם −a ≤ −1: רק חיתוך אחד (בענף היורד). אם −a > 0: אין חיתוך.
−1 < −a < 0
0 < a < 1
✅ פתרון סופי: 0 < a < 1
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x < ln 4 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = ln 4 (אין אופקית) |
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג (1) | יורדת בכל התחום x < ln 4 |
| סעיף ג (2) | y = 4 + 9 ln 3 |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה (1) | x = ln 4 , y = −1 (משמאל) |
| סעיף ה (2) | סקיצה |
| סעיף ו | 0 < a < 1 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – חקירת פונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il