מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 33: מצב הדדי בין ישר ומישור
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מצב הדדי בין ישר ומישור
📄 נוסח השאלה
נתון המישור π: 2x − y + z − 4 = 0.
א. מצאו את המצב ההדדי בין המישור לבין הישר ℓ1: x = (1 , 1 , 1) + t(1 , 0 , −1). אם הם נחתכים – מצאו את נקודת החיתוך.
ב. אותה שאלה עבור הישר ℓ2: x = (1 , 0 , 2) + t(1 , 1 , −1).
ג. אותה שאלה עבור הישר ℓ3: x = t(1 , 3 , 1).
ד. מצאו את m שבעבורו הישר ℓ4: x = (1 , 2 , 0) + t(m , 1 , 1) מקביל למישור. האם הישר מוכל במישור?
ה. כתבו הצגה פרמטרית של הישר העובר דרך הנקודה P(1 , 2 , 3) ומאונך למישור.
✏️ פתרון
סעיף א – ישר ומישור נחתכים
וקטור הנורמל של המישור הוא המקדמים של המשתנים:
n = (a , b , c)📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0n = (a , b , c) מאונך למישור
נציב a = 2 , b = −1 , c = 1:
n = (2 , −1 , 1)
n · u📐 מצב הדדי בין ישר ומישורn · u ≠ 0 – נחתכיםn · u = 0 – מקביל או מוכל
נציב n = (2 , −1 , 1) , u = (1 , 0 , −1):
(2 , −1 , 1) · (1 , 0 , −1) = 2 + 0 − 1 = 1
התוצאה שונה מאפס – הישר והמישור נחתכים.
נקודה כללית על הישר:📐 נקודה כללית על ישרx = A + t · u – כל ערך של t נותן נקודה על הישר
(x , y , z) = (1 + t , 1 , 1 − t)
נקודת החיתוך נמצאת גם במישור – מציבים במשוואת המישור:📐 נקודה על מישורשיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
2x − y + z − 4 = 0
נציב x = 1 + t , y = 1 , z = 1 − t:
2(1 + t) − 1 + (1 − t) − 4 = 0
2 + 2t − 1 + 1 − t − 4 = 0
t − 2 = 0
t = 2
נציב t = 2:
(1 + 2 , 1 , 1 − 2) = (3 , 1 , −1)
בדיקה: 2 · 3 − 1 + (−1) − 4 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: נחתכים בנקודה (3 , 1 , −1)
סעיף ב – ישר מוכל במישור
n · u📐 מצב הדדי בין ישר ומישורn · u ≠ 0 – נחתכיםn · u = 0 – מקביל או מוכל
נציב n = (2 , −1 , 1) , u = (1 , 1 , −1):
(2 , −1 , 1) · (1 , 1 , −1) = 2 − 1 − 1 = 0
הישר מקביל למישור או מוכל בו. נבדוק אם הנקודה (1 , 0 , 2) של הישר נמצאת במישור:
2x − y + z − 4📐 נקודה על מישורשיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
נציב x = 1 , y = 0 , z = 2:
2 · 1 − 0 + 2 − 4 = 0
הנקודה במישור, לכן כל הישר נמצא במישור.
✅ פתרון סופי: הישר מוכל במישור
סעיף ג – ישר מקביל למישור
n · u📐 מצב הדדי בין ישר ומישורn · u ≠ 0 – נחתכיםn · u = 0 – מקביל או מוכל
נציב n = (2 , −1 , 1) , u = (1 , 3 , 1):
(2 , −1 , 1) · (1 , 3 , 1) = 2 − 3 + 1 = 0
הישר מקביל למישור או מוכל בו. הישר עובר דרך הראשית (0 , 0 , 0) (כאשר t = 0):
2x − y + z − 4📐 נקודה על מישורשיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
נציב x = 0 , y = 0 , z = 0:
2 · 0 − 0 + 0 − 4 = −4
התוצאה −4 ולא 0 – הנקודה לא במישור, לכן הישר לא מוכל בו.
✅ פתרון סופי: הישר מקביל למישור (ולא מוכל בו)
סעיף ד – פרמטר בווקטור הכיוון
הישר מקביל למישור (או מוכל בו) כאשר n · u = 0:📐 מצב הדדי בין ישר ומישורn · u ≠ 0 – נחתכיםn · u = 0 – מקביל או מוכל
n · u = 0
נציב n = (2 , −1 , 1) , u = (m , 1 , 1):
(2 , −1 , 1) · (m , 1 , 1) = 0
2m − 1 + 1 = 0
2m = 0
m = 0
נבדוק את הנקודה (1 , 2 , 0) של הישר:
2x − y + z − 4📐 נקודה על מישורשיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
נציב x = 1 , y = 2 , z = 0:
2 · 1 − 2 + 0 − 4 = −4
הנקודה לא במישור – הישר מקביל למישור ולא מוכל בו.
✅ פתרון סופי: m = 0 , הישר לא מוכל במישור
סעיף ה – ישר מאונך למישור
u = n📐 ישר מאונך למישורוקטור הכיוון של הישר הוא וקטור הנורמל של המישור: u = n
נציב n = (2 , −1 , 1):
u = (2 , −1 , 1)
x = A + t · u📐 הצגה פרמטרית של ישרx = A + t · uA – נקודה על הישר , u – וקטור כיוון
נציב A = (1 , 2 , 3) , u = (2 , −1 , 1):
x = (1 , 2 , 3) + t(2 , −1 , 1)
✅ פתרון סופי: x = (1 , 2 , 3) + t(2 , −1 , 1)
📌 סיכום
| סעיף א | נחתכים ב־(3 , 1 , −1) |
|---|---|
| סעיף ב | מוכל במישור |
| סעיף ג | מקביל (לא מוכל) |
| סעיף ד | m = 0 , לא מוכל |
| סעיף ה | x = (1 , 2 , 3) + t(2 , −1 , 1) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il