מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 37: מרחק נקודה מישר, בין ישרים מקבילים ובין ישרים מצטלבים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מרחק נקודה מישר, בין ישרים מקבילים ובין ישרים מצטלבים
📄 נוסח השאלה
נתונים הנקודה P(1 , 5 , 1) והישר ℓ: x = (1 , 0 , 0) + t(1 , 1 , 1).
א. מצאו את הנקודה Q על הישר ℓ כך ש־PQ מאונך לישר, ואת המרחק של P מהישר.
ב. הראו שהישר ℓ2: x = (1 , 5 , 1) + s(2 , 2 , 2) מקביל ל־ℓ, ומצאו את המרחק בין שני הישרים.
ג. הראו שהישרים ℓ ו־ℓ3: x = (1 , 0 , 3) + s(1 , −1 , 0) מצטלבים, ומצאו את המרחק ביניהם.
✏️ פתרון
סעיף א – אנך מנקודה לישר
נקודה כללית על הישר:📐 נקודה כללית על ישרx = A + t · u – כל ערך של t נותן נקודה על הישר
Q = (1 + t , t , t)
PQ = Q − P = (1 + t − 1 , t − 5 , t − 1)📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
PQ = (t , t − 5 , t − 1)
PQ · u = 0📐 אנך מנקודה לישרPQ · u = 0 (Q על הישר)
נציב PQ = (t , t − 5 , t − 1) , u = (1 , 1 , 1):
(t , t − 5 , t − 1) · (1 , 1 , 1) = 0
t + t − 5 + t − 1 = 0
3t − 6 = 0
t = 2
נציב t = 2:
Q = (1 + 2 , 2 , 2) = (3 , 2 , 2)
PQ = (2 , −3 , 1)
|PQ| = √22 + (−3)2 + 12 = √14 ≈ 3.74📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
בדיקה: (2 , −3 , 1) · (1 , 1 , 1) = 0 ✓
✅ פתרון סופי: Q(3 , 2 , 2) , המרחק √14 ≈ 3.74
סעיף ב – מרחק בין ישרים מקבילים
(2 , 2 , 2) = 2 · (1 , 1 , 1)📐 וקטורים קולינארייםu = m · v (m מספר)
וקטורי הכיוון קולינאריים – הישרים מקבילים או מתלכדים. הנקודה P(1 , 5 , 1) נמצאת על ℓ2. האם היא על ℓ?
(1 + t , t , t) = (1 , 5 , 1)
1 + t = 1
t = 0
אבל אז y = 0 ולא 5 – הנקודה לא על ℓ, לכן הישרים מקבילים ולא מתלכדים.
המרחק בין ישרים מקבילים = המרחק של נקודה כלשהי על אחד מהם מהישר השני. מצאנו בסעיף א את המרחק של P מ־ℓ:
מרחק = √14 ≈ 3.74
✅ פתרון סופי: המרחק √14 ≈ 3.74
סעיף ג – ישרים מצטלבים
וקטורי הכיוון (1 , 1 , 1) ו־(1 , −1 , 0) לא קולינאריים, לכן הישרים נחתכים או מצטלבים. משווים את השיעורים:📐 מצב הדדי בין שני ישריםוקטורי כיוון קולינאריים: מתלכדים או מקביליםלא קולינאריים: נחתכים או מצטלבים
1 + t = 1 + s
t = −s
t = 3
נציב t = 3:
3 = −s
s = −3
נבדוק במשוואה הראשונה:
1 + 3 = 1 + (−3)
4 = −2 ✗
אין פתרון – הישרים מצטלבים.
נקודה כללית על כל ישר:
Q = (1 + t , t , t) , R = (1 + s , −s , 3)
QR = R − Q = (s − t , −s − t , 3 − t)
QR · u1 = 0📐 מרחק בין ישרים מצטלביםהקטע QR ניצב לשני הישרים:QR · u1 = 0 , QR · u2 = 0
נציב u1 = (1 , 1 , 1):
(s − t , −s − t , 3 − t) · (1 , 1 , 1) = 0
s − t − s − t + 3 − t = 0
3 − 3t = 0
t = 1
QR · u2 = 0
נציב u2 = (1 , −1 , 0):
(s − t , −s − t , 3 − t) · (1 , −1 , 0) = 0
s − t + s + t = 0
2s = 0
s = 0
נציב t = 1 , s = 0:
Q = (1 + 1 , 1 , 1) = (2 , 1 , 1)
R = (1 + 0 , 0 , 3) = (1 , 0 , 3)
QR = (−1 , −1 , 2)
|QR| = √(−1)2 + (−1)2 + 22 = √6 ≈ 2.45📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
בדיקה: (−1 , −1 , 2) · (1 , 1 , 1) = 0 ✓
בדיקה: (−1 , −1 , 2) · (1 , −1 , 0) = 0 ✓
✅ פתרון סופי: מצטלבים, המרחק √6 ≈ 2.45
📌 סיכום
| סעיף א | Q(3 , 2 , 2) , √14 ≈ 3.74 |
|---|---|
| סעיף ב | √14 ≈ 3.74 |
| סעיף ג | מצטלבים, √6 ≈ 2.45 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il