שיעור 10: מכפלה סקלרית – חישוב, אורך, ניצבות וזווית

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

מכפלה סקלרית – חישוב, אורך, ניצבות וזווית

📄 נוסח השאלה

בפירמידה SABC נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.

נתון: |u| = 4 , |v| = 3 , |w| = 2 , ∡ASB = 60 מעלות, והמקצוע SC מאונך למקצועות SA ו־SB.

א. חשבו את המכפלות הסקלריות u · v , u · w , v · w.

ב. הביעו את AB באמצעות u ו־v, וחשבו את האורך של AB.

ג. הראו כי AB מאונך ל־SC.

ד. חשבו את גודל הזווית SAB.

ה. חשבו את שטח המשולש ASB.

✏️ פתרון

סעיף א – המכפלות הסקלריות

u · v: הזווית בין SA ל־SB היא ∡ASB = 60 מעלות:

u · v = |u| · |v| · cos ∡ASB 📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos(∡)

נציב |u| = 4 , |v| = 3 , ∡ASB = 60:

u · v = 4 · 3 · cos 60 = 12 · 12 = 6

u · w ו־v · w: SC מאונך ל־SA ול־SB (זווית של 90 מעלות):

u · w = 0 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b → a · b = 0

v · w = 0

✅ פתרון סופי: u · v = 6 , u · w = 0 , v · w = 0

סעיף ב – האורך של AB

AB = SB − SA = v − u📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)XZ − XY = YZ

כדי למצוא אורך, מעלים את הווקטור בריבוע (כופלים אותו בעצמו):

|AB|² = (v − u) · (v − u)📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

|AB|² = |v|² − 2u · v + |u|²

נציב |v|² = 9 , u · v = 6 , |u|² = 16:

|AB|² = 9 − 2 · 6 + 16 = 13

|AB| = √13 ≈ 3.61

✅ פתרון סופי: AB = v − u , |AB| = √13 ≈ 3.61

סעיף ג – AB מאונך ל־SC

מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית של AB ו־SC שווה 0:

AB · SC = (v − u) · w = v · w − u · w 📐 פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a − b) · c = a · c − b · c

נציב v · w = 0 , u · w = 0 (מסעיף א):

AB · SC = 0 − 0 = 0

(AB · SC = 0) → AB ⊥ SC📐 וקטורים מאונכיםa · b = 0 → a ⊥ b

✅ פתרון סופי: הוכח: AB ⊥ SC

סעיף ד – הזווית SAB

הזווית SAB היא הזווית בין שני וקטורים שיוצאים מ־A: AS = −u ו־AB = v − u.

AS · AB = −u · (v − u) = −u · v + |u|²

נציב u · v = 6 , |u|² = 16:

AS · AB = −6 + 16 = 10

cos(∡SAB) = AS · AB|AS| · |AB| 📐 זווית בין וקטוריםcos(∡) = a · b|a| · |b|

נציב AS · AB = 10 , |AS| = |u| = 4 , |AB| = √13:

cos(∡SAB) = 104 · √13 ≈ 0.6934

∡SAB ≈ 46.10

✅ פתרון סופי: ∡SAB ≈ 46.10 מעלות

סעיף ה – שטח המשולש ASB

שתי צלעות והזווית ביניהן: SA = 4 , SB = 3 , ∡ASB = 60 מעלות.

S = SA · SB · sin ∡ASB2 📐 שטח משולש (שתי צלעות והזווית ביניהן)S = a · b · sin(∡)2

נציב SA = 4 , SB = 3 , ∡ASB = 60:

S = 4 · 3 · sin 602 = 6 · √32 = 3√3 ≈ 5.20

✅ פתרון סופי: S = 3√3 ≈ 5.20 יחידות שטח

📌 סיכום

סעיף א	u · v = 6 , 0 , 0
סעיף ב	√13 ≈ 3.61
סעיף ג	הוכח
סעיף ד	≈ 46.10 מעלות
סעיף ה	3√3 ≈ 5.20

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים