חזקות 29 – תרגול נוסף – משוואות מעריכיות

חוקי חזקות · משוואות מעריכיות · תרגול נוסף

📝 תרגול נוסף – משוואות מעריכיות

13 משוואות מהקל אל המאתגר: אותו בסיס, החלפת בסיס, שברים ומעריך שלילי, גורם משותף והצבה

📌 תרגילים נוספים לתרגול – ללא סרטון, עם פתרון מלא

איך מתרגלים?

מעתיקים את התרגיל למחברת ופותרים לבד.
רק אחר כך משווים לפתרון המלא שמתחת לתרגיל.
יצא משהו אחר? מחפשים את השלב הראשון שבו הפתרון שלכם שונה.

✏️ תרגילים לתרגול עצמי

בכל תרגיל: קודם השאלה המלאה, ואחריה פתרון מלא שלב אחר שלב. בכל שלב שמשתמשים בו בחוק חזקות – החוק מופיע במסגרת סגולה 📐.

🔵 תרגיל 1: 2^x = 8 קל

פתרו את המשוואה: 2^x = 8📖 פתרון מלא:

כותבים את 8 כחזקה של 2:

8 = 2 · 2 · 2 = 2³

2^x = 2³

הבסיסים שווים, לכן המעריכים שווים:

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

x = 3

בדיקה: 2³ = 8 ✓

✅ פתרון סופי: x = 3

🟣 תרגיל 2: 3^{x − 1} = 27 קל

פתרו את המשוואה: 3^{x − 1} = 27📖 פתרון מלא:

כותבים את 27 כחזקה של 3:

27 = 3 · 3 · 3 = 3³

3^{x − 1} = 3³

משווים מעריכים:

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

x − 1 = 3

x = 4

בדיקה: 3^{4 − 1} = 3³ = 27 ✓

✅ פתרון סופי: x = 4

🟢 תרגיל 3: 5^{2x + 1} = 5^{x + 4} קל

פתרו את המשוואה: 5^{2x + 1} = 5^{x + 4}📖 פתרון מלא:

בשני האגפים אותו בסיס 5, לכן משווים מעריכים:

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

2x + 1 = x + 4

2x − x = 4 − 1

x = 3

בדיקה: 5^{2 · 3 + 1} = 5⁷ וגם 5^{3 + 4} = 5⁷ ✓

✅ פתרון סופי: x = 3

🔵 תרגיל 4: 4^x = 8^{x − 1} בינוני

פתרו את המשוואה: 4^x = 8^{x − 1}📖 פתרון מלא:

הבסיסים שונים, אבל שניהם חזקות של 2:

4 = 2² , 8 = 2³

(2²)^x = (2³)^{x − 1}

חזקה של חזקה – כופלים מעריכים:

📐 נוסחה: (a^m)ⁿ = a^m·n

2^2x = 2^{3(x − 1)}

2^2x = 2^{3x − 3}

משווים מעריכים:

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

2x = 3x − 3

2x − 3x = −3

−x = −3

x = 3

בדיקה: 4³ = 64 וגם 8² = 64 ✓

✅ פתרון סופי: x = 3

🟣 תרגיל 5: 9^{x + 1} = 27^x בינוני

פתרו את המשוואה: 9^{x + 1} = 27^x📖 פתרון מלא:

שני הבסיסים הם חזקות של 3:

9 = 3² , 27 = 3³

(3²)^{x + 1} = (3³)^x

📐 נוסחה: (a^m)ⁿ = a^m·n

3^{2x + 2} = 3^3x

משווים מעריכים:

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

2x + 2 = 3x

2 = 3x − 2x

x = 2

בדיקה: 9³ = 729 וגם 27² = 729 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2

🟢 תרגיל 6: 2^x = 116 בינוני

פתרו את המשוואה: 2^x = 116📖 פתרון מלא:

כותבים את 16 כחזקה של 2:

16 = 2⁴

116 = 12⁴

שבר ← מעריך שלילי:

📐 נוסחה: 1aⁿ = a⁻ⁿ

12⁴ = 2⁻⁴

2^x = 2⁻⁴

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

x = −4

בדיקה: 2⁻⁴ = 12⁴ = 116 ✓

✅ פתרון סופי: x = −4

🔵 תרגיל 7: (12)^{x − 3} = 4^x בינוני

פתרו את המשוואה: (12)^{x − 3} = 4^x📖 פתרון מלא:

כותבים את שני האגפים כחזקות של 2.

באגף שמאל – שבר בבסיס:

📐 נוסחה: (1a)ⁿ = a⁻ⁿ

(12)^{x − 3} = 2^{−(x − 3)} = 2^{−x + 3}

באגף ימין:

4^x = (2²)^x = 2^2x

📐 נוסחה: (a^m)ⁿ = a^m·n

2^{−x + 3} = 2^2x

משווים מעריכים:

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

−x + 3 = 2x

3 = 2x + x

3 = 3x

x = 1

בדיקה: (12)^{1 − 3} = (12)⁻² = 4 וגם 4¹ = 4 ✓

📐 נוסחה: (1a)ⁿ = a⁻ⁿ

✅ פתרון סופי: x = 1

🟣 תרגיל 8: 2^{x + 1} + 2^x = 24 בינוני

פתרו את המשוואה: 2^{x + 1} + 2^x = 24📖 פתרון מלא:

מפרקים את החזקה הראשונה:

2^{x + 1} = 2^x · 2¹ = 2 · 2^x

📐 נוסחה: a^{m + n} = a^m · aⁿ

📐 נוסחה: a¹ = a

2 · 2^x + 2^x = 24

מוציאים 2^x כגורם משותף:

📐 נוסחה: k · a^x ± a^x = a^x(k ± 1)

2^x(2 + 1) = 24

3 · 2^x = 24

מחלקים ב־3:

2^x = 8

2^x = 2³

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

x = 3

בדיקה: 2⁴ + 2³ = 16 + 8 = 24 ✓

✅ פתרון סופי: x = 3

🟢 תרגיל 9: 3^{x + 2} − 3^x = 72 בינוני

פתרו את המשוואה: 3^{x + 2} − 3^x = 72📖 פתרון מלא:

מפרקים:

3^{x + 2} = 3^x · 3² = 9 · 3^x

📐 נוסחה: a^{m + n} = a^m · aⁿ

9 · 3^x − 3^x = 72

גורם משותף 3^x:

📐 נוסחה: k · a^x ± a^x = a^x(k ± 1)

3^x(9 − 1) = 72

8 · 3^x = 72

מחלקים ב־8:

3^x = 9 = 3²

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

x = 2

בדיקה: 3⁴ − 3² = 81 − 9 = 72 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2

🔵 תרגיל 10: 5^{x + 1} + 5^{x − 1} = 130 מאתגר

פתרו את המשוואה: 5^{x + 1} + 5^{x − 1} = 130📖 פתרון מלא:

מפרקים את שתי החזקות:

5^{x + 1} = 5 · 5^x

📐 נוסחה: a^{m + n} = a^m · aⁿ

5^{x − 1} = 5^x5 = 15 · 5^x

📐 נוסחה: a^{m − n} = a^maⁿ

5 · 5^x + 15 · 5^x = 130

גורם משותף 5^x:

📐 נוסחה: a^x · p + a^x · q = a^x(p + q)

5^x(5 + 15) = 130

5 + 15 = 255 + 15 = 265

265 · 5^x = 130

כופלים ב־526:

5^x = 130 · 526 = 65026 = 25

5^x = 5²

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

x = 2

בדיקה: 5³ + 5¹ = 125 + 5 = 130 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2

🟣 תרגיל 11: 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0 מאתגר

פתרו את המשוואה: 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0📖 פתרון מלא:

כותבים 4^x כחזקה של 2^x:

4^x = (2²)^x = (2^x)²

📐 נוסחה: (a^m)ⁿ = a^m·n

מציבים t = 2^x:

t² − 3t − 4 = 0

נוסחת השורשים, עם a = 1 , b = −3 , c = −4:

📐 נוסחה: t_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

t_1,2 = 3 ± √(9 + 16)2 = 3 ± 52

t = 4 או t = −1

חוזרים ל־x:

2^x = 4 = 2²

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

x = 2

2^x = −1 – אין פתרון, כי חזקה של מספר חיובי תמיד חיובית:

📐 נוסחה: a^x > 0 לכל x, כאשר a > 0

בדיקה: 4² − 3 · 2² − 4

= 16 − 12 − 4 = 0 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2

🟢 תרגיל 12: 9^x − 4 · 3^{x + 1} + 27 = 0 מאתגר

פתרו את המשוואה: 9^x − 4 · 3^{x + 1} + 27 = 0📖 פתרון מלא:

מפרקים:

3^{x + 1} = 3 · 3^x

📐 נוסחה: a^{m + n} = a^m · aⁿ

4 · 3^{x + 1} = 12 · 3^x

9^x = (3²)^x = (3^x)²

📐 נוסחה: (a^m)ⁿ = a^m·n

(3^x)² − 12 · 3^x + 27 = 0

מציבים t = 3^x:

t² − 12t + 27 = 0

נוסחת השורשים, עם a = 1 , b = −12 , c = 27:

📐 נוסחה: t_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

t_1,2 = 12 ± √(144 − 108)2

t_1,2 = 12 ± 62

t = 9 או t = 3

חוזרים ל־x:

3^x = 9 = 3² ⟹ x = 2

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

3^x = 3 = 3¹ ⟹ x = 1

📐 נוסחה: a¹ = a

עבור x = 2: 81 − 4 · 27 + 27 = 0 ✓

בדיקה: עבור x = 1: 9 − 4 · 9 + 27 = 0 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2 , x = 1

🔵 תרגיל 13: 2^{2x + 1} − 5 · 2^x + 2 = 0 מאתגר

פתרו את המשוואה: 2^{2x + 1} − 5 · 2^x + 2 = 0📖 פתרון מלא:

מפרקים את החזקה הראשונה:

2^{2x + 1} = 2^2x · 2

📐 נוסחה: a^{m + n} = a^m · aⁿ

2^2x = (2^x)²

📐 נוסחה: (a^m)ⁿ = a^m·n

2(2^x)² − 5 · 2^x + 2 = 0

מציבים t = 2^x:

2t² − 5t + 2 = 0

נוסחת השורשים, עם a = 2 , b = −5 , c = 2:

📐 נוסחה: t_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

t_1,2 = 5 ± √(25 − 16)4 = 5 ± 34

t = 2 או t = 12

חוזרים ל־x:

2^x = 2 = 2¹ ⟹ x = 1

📐 נוסחה: a^m = aⁿ ⟹ m = n

2^x = 12 = 2⁻¹ ⟹ x = −1

📐 נוסחה: 1aⁿ = a⁻ⁿ

עבור x = 1: 2³ − 10 + 2 = 0 ✓

בדיקה: עבור x = −1: 2⁻¹ − 52 + 2 = 12 − 52 + 2 = 0 ✓

✅ פתרון סופי: x = 1 , x = −1

💡 לזכור

1. כותבים את שני האגפים כחזקות של אותו בסיס (גם שבר – מעריך שלילי) ומשווים מעריכים.
2. אותו בסיס פעמיים עם חיבור או חיסור ← גורם משותף.
3. יש גם 4^x וגם 2^x ← הצבה t = 2^x, ופתרון שלילי של t נפסל.

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

חזקות 29 – תרגול נוסף – משוואות מעריכיות

📝 תרגול נוסף – משוואות מעריכיות

איך מתרגלים?

✏️ תרגילים לתרגול עצמי

🔵 תרגיל 1: 2x = 8 קל

🟣 תרגיל 2: 3x − 1 = 27 קל

🟢 תרגיל 3: 52x + 1 = 5x + 4 קל

🔵 תרגיל 4: 4x = 8x − 1 בינוני

🟣 תרגיל 5: 9x + 1 = 27x בינוני

🟢 תרגיל 6: 2x = 116 בינוני

🔵 תרגיל 7: (12)x − 3 = 4x בינוני

🟣 תרגיל 8: 2x + 1 + 2x = 24 בינוני

🟢 תרגיל 9: 3x + 2 − 3x = 72 בינוני

🔵 תרגיל 10: 5x + 1 + 5x − 1 = 130 מאתגר

🟣 תרגיל 11: 4x − 3 · 2x − 4 = 0 מאתגר

🟢 תרגיל 12: 9x − 4 · 3x + 1 + 27 = 0 מאתגר

🔵 תרגיל 13: 22x + 1 − 5 · 2x + 2 = 0 מאתגר

💡 לזכור

Modal title

🔵 תרגיל 1: 2^x = 8 קל

🟣 תרגיל 2: 3^{x − 1} = 27 קל

🟢 תרגיל 3: 5^{2x + 1} = 5^{x + 4} קל

🔵 תרגיל 4: 4^x = 8^{x − 1} בינוני

🟣 תרגיל 5: 9^{x + 1} = 27^x בינוני

🟢 תרגיל 6: 2^x = 116 בינוני

🔵 תרגיל 7: (12)^{x − 3} = 4^x בינוני

🟣 תרגיל 8: 2^{x + 1} + 2^x = 24 בינוני

🟢 תרגיל 9: 3^{x + 2} − 3^x = 72 בינוני

🔵 תרגיל 10: 5^{x + 1} + 5^{x − 1} = 130 מאתגר

🟣 תרגיל 11: 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0 מאתגר

🟢 תרגיל 12: 9^x − 4 · 3^{x + 1} + 27 = 0 מאתגר

🔵 תרגיל 13: 2^{2x + 1} − 5 · 2^x + 2 = 0 מאתגר