מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 50- פתרון בגרות 2019 מועד חורף
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון בגרות 2019 מועד חורף: משיק מאונך לרדיוס, מרכז המעגל כנקודת חיתוך ישרים, שטח משולש ישר זווית ומיקום נקודה ביחס למעגל.
📝 השאלה
בציור שלפניך נתון מעגל שמרכזו M. ישר העובר בראשית הצירים משיק למעגל בנקודה B(3,4). חיברו את מרכז המעגל, M, עם ראשית הצירים, O. נתון: משוואת הישר OM היא y=17x.
א. מצא את משוואת הישר BM.
ב. מצא את משוואת המעגל.
ג. המשך הקטע BM חותך את המעגל בנקודה C. מצא את שטח המשולש OBC.
ד. העבירו מעגל נוסף כך ש־OM הוא קוטר שלו. האם המרכז של המעגל הנוסף נמצא בתוך המעגל שמרכזו M, עליו או מחוצה לו? נמק ופרט את חישוביך.
✏️ פתרון
🔵 סעיף א: משוואת הישר BM (משיק ⊥ רדיוס)
מצא את משוואת הישר BM.
סדר הפעולות: ① מציאת שיפוע OB ② שיפוע BM ③ משוואת BM.
בין משיק לרדיוס יש 90°: OB משיק ו־BM רדיוס.
B(3,4)=(x₁,y₁)
O(0,0)=(x₂,y₂)
mOB=0−40−3=43
הופכי ונגדי:
mBM=−34
y−y₁=m(x−x₁)
y−4=−34(x−3)
y−4=−34x+94
y=−34x+94+4
תשובה: y=−34x+614
🟢 סעיף ב: משוואת המעגל – המרכז M כחיתוך הישרים BM ו־OM
מצא את משוואת המעגל.
M נמצאת גם על BM וגם על OM ← משווים:
−34x+614=17x
−3x4+254=x7 /·28
−21x+175=4x
175=25x /:25
x=7
y=17·7=1
M=(7,1)
מציבים את B במשוואת המעגל כדי למצוא R²:
(3−7)²+(4−1)²=R²
16+9=R²
R²=25 ← R=5
תשובה: (x−7)²+(y−1)²=25
🟣 סעיף ג: שטח המשולש OBC
המשך הקטע BM חותך את המעגל בנקודה C. מצא את שטח המשולש OBC.
∢OBC=90° (משיק ⊥ רדיוס), לכן משולש ישר זווית:
S=OB·BC2
BC קוטר:
BC=2R=2·5=10
O(0,0)=(x₁,y₁)
B(3,4)=(x₂,y₂)
OB=√(3−0)²+(4−0)²
OB=√9+16=√25=5
S=5·2·52=5·5
תשובה: S=25
🔷 סעיף ד: מרכז המעגל הנוסף – בתוך המעגל, עליו או מחוצה לו?
העבירו מעגל נוסף כך ש־OM הוא קוטר שלו. האם המרכז של המעגל הנוסף נמצא בתוך המעגל שמרכזו M, עליו או מחוצה לו? נמק ופרט את חישוביך.
מרכז המעגל הנוסף הוא אמצע OM. המרחק שלו מ־M הוא הרדיוס של המעגל הנוסף, r.
אם r קטן מ־5 (הרדיוס של המעגל הנתון) – המרכז בתוך המעגל.
O(0,0)=(x₁,y₁)
M(7,1)=(x₂,y₂)
OM=√(7−0)²+(1−0)²=√50
OM קוטר ← חוצים ב־2:
r=√502≈3.54
3.54<5
תשובה: המרכז של המעגל הנוסף נמצא בתוך המעגל הנתון
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
