כניסה לשיעורים

7 פרקים
328 שיעורים
10 שבועות

פתח את כל הפרקיםסגור את כל הפרקים

שיעור 20-פתרון בגרות 2025 חורף

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בגרות חורף 2025 (שאלון 472) – גלגל ים ומזרן שמאבדים אוויר: קביעת נכונות טענות, מציאת אחוז הדעיכה בעזרת שורש שביעי, מציאת t כשנפח אחד הוא שליש מהשני (ln), וניפוח – גדילה פי 7.5.

🔵 סעיף א: קביעה אם הטענות על הנפחים ביום 6 וביום 8 נכונות

אמיר קנה גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה 3,700 סמ"ק ונפח המזרן היה 7,400 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל ונפח המזרן קטנו באחוז קבוע בכל יום (כל אחד מהם באחוז אחר). כעבור 7 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל שווה לנפח המזרן. א. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות I–II אם היא נכונה או לא נכונה.
I. כעבור 6 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.
II. כעבור 8 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.

גלגל: M₀ = 3700

מזרן: M₀ = 7400

I. לא נכונה – רק ביום ה־7 נפח המזרן היה שווה לנפח הגלגל (לפני כן נפח המזרן גדול יותר).

II. נכונה – ביום ה־7 הנפח היה שווה, אבל המזרן מאבד יותר מהגלגל, לכן ביום ה־8 נפח הגלגל גדול יותר.

תשובה: I – לא נכונה, II – נכונה

🟢 סעיף ב: מציאת האחוז שבו נפח המזרן קטן בכל יום – שורש שביעי

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־4% בכל יום. ב. מצאו את האחוז שבו נפח המזרן קטן בכל יום.

גלגל:

p = 4%

q = 1 − 4100 = 0.96

M₇ = 3700 · 0.96⁷

מזרן:

M₇ = 7400 · q⁷

ביום ה־7 הנפחים שווים:

3700 · 0.96⁷ = 7400 · q⁷

2780.355 = 7400 · q⁷

q⁷ = 0.375

q = ⁷√0.375

q = 0.869

0.869 = 1 − p100

p100 = 0.131

p = 13.1%

תשובה: 13.1% בכל יום

🟣 סעיף ג: מציאת t שבו נפח המזרן הוא שליש מנפח הגלגל – ln

כעבור t ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן 13 מנפח הגלגל. ג. מצאו את הערך של t.

גלגל:

q = 0.96 M₀ = 3700

מזרן:

q = 0.869 M₀ = 7400

נפח הגלגל גדול פי 3:

3700 · 0.96^t =

3 · 7400 · 0.869^t

16 = 0.869^t0.96^t

16 = (0.8690.96)^t

16 = 0.905^t

t = ln 16ln 0.905

t = 17.95

תשובה: t = 17.95 ימים

🔷 סעיף ד: מספר הדקות של ניפוח המזרן – גדילה ב־22% בדקה עד פי 7.5

לאחר כמה שבועות החליט אמיר לנפח את המזרן. במהלך הניפוח גדל נפח המזרן בכל דקה ב־22%. בסיום הניפוח היה נפח המזרן גדול פי 7.5 מן הנפח שלו בתחילת הניפוח. ד. מצאו את מספר הדקות שנמשך ניפוח המזרן.

p = 22%

q = 1 + 22100 = 1.22

M_t = 7.5M₀

t = ?

M_t = M₀ · q^t

7.5M₀ = M₀ · 1.22^t

t = ln 7.5ln 1.22

t = 10.13

תשובה: 10.13 דקות

💡 לזכור

"גדול פי 7.5 מן הנפח בהתחלה":

M_t = 7.5M₀

ואז M₀ מצטמצם.

"נפח המזרן הוא שליש מנפח הגלגל" – נפח הגלגל שווה לפי 3 מנפח המזרן.

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות