שיעור 30: הצגה פרמטרית של ישר

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

הצגה פרמטרית של ישר

📄 נוסח השאלה

נתונות הנקודות A(1 , 2 , −1) ו־B(3 , 0 , 3).

א. כתבו הצגה פרמטרית של הישר AB.

ב. האם הנקודה C(4 , −1 , 5) נמצאת על הישר? האם הנקודה D(5 , −2 , 6) נמצאת על הישר?

ג. מצאו את נקודת החיתוך של הישר עם המישור xy (המישור שבו z = 0).

ד. הנקודה E(k , −2 , k + 2) נמצאת על הישר. מצאו את k.

ה. כתבו הצגה פרמטרית של הישר שעובר דרך הנקודה P(0 , 1 , 1) ומקביל לישר AB.

✏️ פתרון

סעיף א – הצגה פרמטרית

AB = B − A = (3 − 1 , 0 − 2 , 3 − (−1))📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(x_B − x_A , y_B − y_A , z_B − z_A)

AB = (2 , −2 , 4)

אפשר לחלק את וקטור הכיוון ב־2 (וקטור קולינארי – אותו כיוון), כדי שהמספרים יהיו קטנים: u = (1 , −1 , 2).

x = A + t · u📐 הצגה פרמטרית של ישרx = A + t · uA – נקודה על הישר , u – וקטור כיוון

נציב A = (1 , 2 , −1) , u = (1 , −1 , 2):

x = (1 , 2 , −1) + t(1 , −1 , 2)

בכל נקודה על הישר: x = 1 + t , y = 2 − t , z = −1 + 2t.

✅ פתרון סופי: x = (1 , 2 , −1) + t(1 , −1 , 2)

סעיף ב – נקודה על הישר

מחפשים t אחד שמתאים לשלושת השיעורים.

הנקודה C: משיעור x:

1 + t = 4

t = 3

y = 2 − t , z = −1 + 2t

נציב t = 3:

y = 2 − 3 = −1 ✓

z = −1 + 2 · 3 = 5 ✓

הנקודה D: משיעור x:

1 + t = 5

t = 4

y = 2 − t , z = −1 + 2t

נציב t = 4:

y = 2 − 4 = −2 ✓

z = −1 + 2 · 4 = 7

אבל שיעור z של D הוא 6, לא 7 – אין t שמתאים לכל השיעורים.

✅ פתרון סופי: C על הישר , D לא על הישר

סעיף ג – חיתוך עם המישור xy

במישור xy שיעור z הוא 0:

−1 + 2t = 0

t = 12

x = (1 + t , 2 − t , −1 + 2t)

נציב t = 12:

x = (1 + 12 , 2 − 12 , −1 + 2 · 12)

x = (1.5 , 1.5 , 0)

✅ פתרון סופי: (1.5 , 1.5 , 0)

סעיף ד – פרמטר בנקודה

משיעור y (שבו אין k):

2 − t = −2

t = 4

x = 1 + t , z = −1 + 2t

נציב t = 4:

x = 1 + 4 = 5

z = −1 + 2 · 4 = 7

לכן k = 5, ובדיקה בשיעור z:

בדיקה: k + 2 = 5 + 2 = 7 ✓

✅ פתרון סופי: k = 5

סעיף ה – ישר מקביל

לישרים מקבילים יש אותו וקטור כיוון.

x = P + s · u📐 הצגה פרמטרית של ישרx = A + t · uA – נקודה על הישר , u – וקטור כיוון

נציב P = (0 , 1 , 1) , u = (1 , −1 , 2):

x = (0 , 1 , 1) + s(1 , −1 , 2)

✅ פתרון סופי: x = (0 , 1 , 1) + s(1 , −1 , 2)

📌 סיכום

סעיף א	x = (1 , 2 , −1) + t(1 , −1 , 2)
סעיף ב	C כן , D לא
סעיף ג	(1.5 , 1.5 , 0)
סעיף ד	k = 5
סעיף ה	x = (0 , 1 , 1) + s(1 , −1 , 2)

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים