שיעור 2-פתירת משוואות מערכיות 1 -e

חקירת פונקציית e‏ · 5 יחידות · שאלון 572

📄 דף הסבר: פתרון משוואות מעריכיות עם e

חוקי החזקות שצריך כדי לפתור משוואה שבה הנעלם נמצא בחזקה של e

e^x = 0 – אין פתרון

a^x > 0 לכל x

e מספר חיובי (e = 2.718…), ולכן e^x אף פעם לא 0. התרגיל הזה מופיע הרבה בסוף חקירה.

בסיסים שווים ← חזקות שוות

e^4x = e^6+x → 4x = 6 + x

כששני הבסיסים הם e, משווים את החזקות ופותרים משוואה רגילה.

חוק חזקות: כפל

a^m·aⁿ = a^m+n

בכפל מחברים את החזקות. e בלי כלום מעליו זה e¹.

שווה 1 ← החזקה 0

a^x = 1 → x = 0

כל מספר בחזקת 0 שווה 1: e⁰ = 1.

שלביםפתרון משוואה מעריכית עם e

1מסדרים צד

בכפל של חזקות עם אותו בסיס – מחברים חזקות: a^m·aⁿ = a^m+n.

2בסיסים שווים

כשבשני האגפים אותו בסיס e – משווים את החזקות.

3פותרים

משוואה רגילה או ריבועית (נוסחת השורשים, או במחשבון mode 5 3).

4בודקים מקרים מיוחדים

e^x = 0 ← אין פתרון. e^x = 1 ← x = 0. דיסקרימיננטה שלילית (תשובה עם i במחשבון) ← אין פתרון.

בסיסים שווים ← חזקות שוות · e^x = 0 ← אין פתרון ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו חמש משוואות מעריכיות עם e: e^x = 0, בסיסים שווים, כפל חזקות שמוביל למשוואה ריבועית, e^x = 1, ומשוואה ריבועית בלי פתרון.

🔵 תרגיל א: המשוואה e^x = 0 – למה אין פתרון

פתרו: e^x = 0

כל מספר חיובי a בחזקת x: a^x > 0 לכל x.

e מספר חיובי (2.718), לכן e^x אף פעם לא 0.

תשובה: אין פתרון

🟣 תרגיל ב: בסיסים שווים – e^4x = e^6+x

פתרו: e^4x = e^6+x

שני הבסיסים שווים ל־e, לכן החזקות שוות:

4x = 6 + x

מעבירים את ה־x לצד שמאל:

3x = 6

מחלקים ב־3:

תשובה: x = 2

🟢 תרגיל ג: כפל חזקות ומשוואה ריבועית – e^x·e² = e^x²

פתרו: e^x·e² = e^x²

חוק החזקות: a^m·aⁿ = a^m+n – בכפל מחברים חזקות:

e^x+2 = e^x²

בסיסים שווים ← החזקות שוות:

x + 2 = x²

מעבירים אגפים:

0 = x² − x − 2

נוסחת השורשים, או במחשבון mode 5 3:

a = 1 , b = −1 , c = −2

תשובה: x = 2 , x = −1

🔷 תרגיל ד: המשוואה e^x = 1 – חזקה 0

פתרו: e^x = 1

חוקי חזקות: a^x = 1 → x = 0

כל מספר בחזקת 0 שווה 1: e⁰ = 1.

תשובה: x = 0

🔵 תרגיל ה: e·e^x² = e^4x−5 – משוואה ריבועית בלי פתרון

פתרו: e·e^x² = e^4x−5

מעל ה־e לא כתוב כלום ← זה e¹. מחברים חזקות:

e^1+x² = e^4x−5

בסיסים שווים ← החזקות שוות:

1 + x² = 4x − 5

מעבירים אגפים:

x² − 4x + 6 = 0

במחשבון mode 5 3:

a = 1 , b = −4 , c = 6

מתקבלת תשובה עם i – אין פתרון למשוואה הריבועית.

תשובה: אין פתרון

💡 לזכור

בכפל מחברים חזקות, בסיסים שווים ← חזקות שוות. e^x = 0 – אין פתרון, e^x = 1 ← x = 0.

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים