מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 44: בגרות חורף 2025 – פירמידה משולשת ונפחים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2025, שאלה 2
פירמידה משולשת ונפחים
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BC.
נסמן: AE = u , EC = v.
נתון: |u + v| = |u − v|.
א. הוכיחו כי AE מאונך ל־BC.
נתון: הקטע SE הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא 20.
A(0 , 0 , 0) , B(6 , 8 , 0).
הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, ושיעור ה־z של הקודקוד S הוא חיובי.
ב. מצאו את שיעורי הקודקודים C ו־S.
הנקודה F נמצאת על המקצוע SC כך ש־SF = 14SC.
דרך הנקודה F מעבירים ישר המקביל לישר AC, וחותך את המישור ABS בנקודה M.
ג. (1) מצאו הצגה פרמטרית של הישר FM.
(2) מצאו את שיעורי הנקודה M.
ד. מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה MABC מנפח הפירמידה FAEC. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – AE מאונך ל־BC
נעלה את שני האגפים בריבוע:
|u + v|2 = |u − v|2📐 ריבוע וקטורa · a = |a|2
נפתח כל צד:
|u + v|2 = u2 + 2u · v + v2
|u − v|2 = u2 − 2u · v + v2
נציב את שתי הפתיחות בשוויון:
u2 + 2u · v + v2 = u2 − 2u · v + v2
4u · v = 0
u · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
BC = 2v (E אמצע BC), ולכן AE ⊥ BC.
✅ פתרון סופי: הוכח: AE ⊥ BC
סעיף ב – שיעורי C ו־S
במשולש ABC הקטע AE הוא תיכון וגם גובה, ולכן המשולש שווה שוקיים: AC = AB.
AB = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
נציב A(0 , 0 , 0) , B(6 , 8 , 0):
AB = √(6 − 0)2 + (8 − 0)2 = 10
C על החלק החיובי של ציר ה־x , ו־AC = AB = 10:
C(10 , 0 , 0)
E אמצע BC:
E = (xB + xC2 , yB + yC2 , zB + zC2)
נציב B(6 , 8 , 0) , C(10 , 0 , 0):
E = (6 + 102 , 8 + 02 , 0 + 02)
E = (8 , 4 , 0)
הבסיס במישור z = 0, והגובה SE מאונך לו, ולכן S נמצא ישר מעל E, בגובה 20:
S(8 , 4 , 20)
✅ פתרון סופי: C(10 , 0 , 0) , S(8 , 4 , 20)
סעיף ג (1) – הישר FM
SC = C − S
נציב C(10 , 0 , 0) , S(8 , 4 , 20):
SC = (10 − 8 , 0 − 4 , 0 − 20)
SC = (2 , −4 , −20)
F = S + 14SC📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
נציב S(8 , 4 , 20) , SC = (2 , −4 , −20):
F = (8 , 4 , 20) + 14 · (2 , −4 , −20)
F = (8 , 4 , 20) + (0.5 , −1 , −5)
F(8.5 , 3 , 15)
הישר מקביל ל־AC = (10 , 0 , 0), ונוכל לקחת וקטור כיוון (1 , 0 , 0):
x = F + t · (1 , 0 , 0)
נציב F(8.5 , 3 , 15):
x = (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0)
✅ פתרון סופי: x = (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0)
סעיף ג (2) – הנקודה M
מישור ABS: נחפש נורמל (a , b , c) המאונך ל־AB ול־AS:
(a , b , c) · AB = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
(a , b , c) · AS = 0
נציב AB = B − A = (6 , 8 , 0) , AS = S − A = (8 , 4 , 20):
(a , b , c) · (6 , 8 , 0) = 0
6a + 8b = 0
(a , b , c) · (8 , 4 , 20) = 0
8a + 4b + 20c = 0
מהראשונה b = −3a4 . ניקח a = 4 (כדי לקבל מספרים שלמים), ואז b = −3 . במשוואה השנייה:
8a + 4b + 20c = 0
נציב a = 4 , b = −3:
8 · 4 + 4 · (−3) + 20c = 0
32 − 12 + 20c = 0
כלומר c = −1:
ax + by + cz + d = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
נציב (a , b , c) = (4 , −3 , −1):
4x + (−3)y + (−1)z + d = 0
המישור עובר דרך A:
4x − 3y − z + d = 0
נציב A(0 , 0 , 0):
4 · 0 − 3 · 0 − 0 + d = 0
d = 0
4x − 3y − z = 0
הנקודה M על הישר FM ובמישור:
4x − 3y − z = 0
נציב x = 8.5 + t , y = 3 , z = 15:
4(8.5 + t) − 3 · 3 − 15 = 0
34 + 4t − 24 = 0 ⟸ t = −2.5
M = (8.5 + t , 3 , 15)
נציב t = −2.5:
M = (8.5 + (−2.5) , 3 , 15)
M = (6 , 3 , 15)
✅ פתרון סופי: M(6 , 3 , 15)
סעיף ד – יחס הנפחים
שתי הפירמידות עם בסיס במישור z = 0 (בסיס ABC):
• MABC: בסיס ABC, גובה = שיעור ה־z של M = 15.
• FAEC: בסיס AEC, גובה = שיעור ה־z של F = 15.
E אמצע BC, ולכן התיכון AE מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:
SAEC = 12SABC
VMABCVFAEC = 13 · SABC · hM13 · SAEC · hF📐 נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס, h – הגובה
נציב hM = hF = 15 , SAEC = 12SABC:
VMABCVFAEC = 13 · SABC · 1513 · 12SABC · 15 = 2
הסרטוט בקנה מידה (FM בסגול):
✅ פתרון סופי: פי 2
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | C(10 , 0 , 0) S(8 , 4 , 20) |
| סעיף ג (1) | (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0) |
| סעיף ג (2) | M(6 , 3 , 15) |
| סעיף ד | פי 2 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il