בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – חורף 2025

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטריה אנליטית, וקטורים, טריגונומטריה במרחב, מספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ושלושה רבעים. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה ג'

📄 השאלון המלא – חורף 2025

שאלון 572 חורף 2025 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2025 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2025 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2025 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2025 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – מקום גאומטרי – מעגל, פרבולה ומשיקים מקבילים

📄 נוסח השאלה

נתונות הנקודות A(−9a , 0) ו־B(41a , 0). a הוא פרמטר חיובי.

הנקודה P מקיימת ∢APB = 90.

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו את תשובתכם באמצעות a.

נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש APB הוא 156.25.

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 12 וענו על סעיפים ג–ד.

אמצע הקטע AB הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית.

הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה C.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה C.

הישר ℓ משיק לפרבולה בנקודה C.

מעבירים משיק למעגל שמצאתם. נתון כי משיק זה מקביל לישר ℓ.

ד. מצאו את המרחק בין הישר ℓ ובין המשיק למעגל (מצאו את שתי האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

∢APB = 90, ולכן P נמצאת על מעגל שהקוטר שלו AB (חוץ מ־A ו־B עצמן).📐 זווית היקפיתזווית של 90 מעלות נשענת על קוטר
המרכז הוא אמצע AB, והרדיוס חצי מ־AB:
xM = −9a + 41a2 = 16a
⟸ M(16a , 0)
AB = 41a − (−9a) = 50a ⟸ R
= 25a
(x − 16a)2 + y2 = 625a2📐 מעגל בצורה כללית(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 16a)2 + y2 = 625a2

סעיף ב – הערך של a

הבסיס AB = 50a קבוע. השטח הגדול ביותר כשהגובה מ־P הגדול ביותר – רדיוס, 25a:
S = 50a · 25a2 = 625a2📐 שטח משולשS = a · h2
625a2 = 156.25
a2 = 0.25
a = 0.5 (a > 0)
✅ פתרון סופי: a = 0.5

סעיף ג – הנקודה C

עם a = 0.5: המעגל (x − 8)2 + y2 = 156.25, ואמצע AB הוא (8 , 0).
p2 = 8 ⟸ p = 16📐 פרבולה קנוניתy2 = 2px , F(p2 , 0)
y2 = 32x
נציב את הפרבולה במשוואת המעגל:
(x − 8)2 + 32x = 156.25
x2 − 16x + 64 + 32x − 156.25
= 0
x2 + 16x − 92.25 = 0
x = −16 ± √256 + 3692📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
= −16 ± 252
x = 4.5
או
x = −20.5
ברביע הראשון x > 0:
y2 = 32 · 4.5 = 144 ⟸ y = 12
✅ פתרון סופי: C(4.5 , 12)

סעיף ד – המרחק בין המשיקים

12y = 16(x + 4.5)📐 משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1)y · y1 = p(x + x1)
y = 43x + 6
ℓ: 4x − 3y + 18 = 0
משיק למעגל המקביל ל־ℓ: 4x − 3y + C = 0. המרחק שלו מן המרכז (8 , 0) שווה לרדיוס 12.5:
|32 + C|5 = 12.5📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
|32 + C| = 62.5
C = 30.5
או
C = −94.5
המרחק בין הישרים המקבילים:
d = |30.5 − 18|5 = 12.55 = 2.5📐 מרחק בין ישרים מקבילים|C1 − C2|√A2 + B2
d = |−94.5 − 18|5 = 112.55
= 22.5
בסרטוט (בקנה מידה): ℓ בכתום, שני המשיקים למעגל מקווקווים:
-551020-1010xyCAB
✅ פתרון סופי: 2.5 או 22.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 16a)2 + y2
= 625a2
סעיף בa = 0.5
סעיף גC(4.5 , 12)
סעיף ד2.5 או 22.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – פרבולה ומשיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים במרחב: פירמידה משולשת ונפחים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BC.

נסמן: AE = u , EC = v.

נתון: |u + v| = |u − v|.

א. הוכיחו כי AE מאונך ל־BC.

נתון: הקטע SE הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא 20.

A(0 , 0 , 0) , B(6 , 8 , 0).

הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, ושיעור ה־z של הקודקוד S הוא חיובי.

ב. מצאו את שיעורי הקודקודים C ו־S.

הנקודה F נמצאת על המקצוע SC כך ש־SF = 14SC.

דרך הנקודה F מעבירים ישר המקביל לישר AC, וחותך את המישור ABS בנקודה M.

ג. (1) מצאו הצגה פרמטרית של הישר FM.

(2) מצאו את שיעורי הנקודה M.

ד. מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה MABC מנפח הפירמידה FAEC. נמקו את תשובתכם.

סרטוט הפירמידה מתוך השאלון

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – AE מאונך ל־BC

נעלה את שני האגפים בריבוע:
|u + v|2 = |u − v|2📐 ריבוע וקטורa · a = |a|2
u2 + 2u · v + v2
= u2 − 2u · v + v2
4u · v = 0
u · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
BC = 2v (E אמצע BC), ולכן AE ⊥ BC.
✅ פתרון סופי: הוכח: AE ⊥ BC

סעיף ב – שיעורי C ו־S

במשולש ABC הקטע AE הוא תיכון וגם גובה, ולכן המשולש שווה שוקיים: AC = AB.
AB = √62 + 82 = 10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
C(10 , 0 , 0)
E = (6 + 102 , 8 + 02 , 0)
= (8 , 4 , 0)
הבסיס במישור z = 0, והגובה SE מאונך לו, ולכן S נמצא ישר מעל E, בגובה 20:
S(8 , 4 , 20)
✅ פתרון סופי: C(10 , 0 , 0) , S(8 , 4 , 20)

סעיף ג (1) – הישר FM

SC = (10 − 8 , 0 − 4 , 0 − 20)
= (2 , −4 , −20)
F = S + 14SC📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
= (8 , 4 , 20) + (0.5 , −1 , −5)
F(8.5 , 3 , 15)
הישר מקביל ל־AC = (10 , 0 , 0), ונוכל לקחת וקטור כיוון (1 , 0 , 0):
✅ פתרון סופי: x = (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0)

סעיף ג (2) – הנקודה M

מישור ABS: נחפש נורמל (a , b , c) המאונך ל־AB = (6 , 8 , 0) ול־AS = (8 , 4 , 20):
6a + 8b = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
8a + 4b + 20c = 0
מהראשונה b = −3a4. ניקח a = 4: b = −3, ואז 32 − 12 + 20c = 0, כלומר c = −1:
4x − 3y − z = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
נציב את נקודת הישר:
4(8.5 + t) − 3 · 3 − 15 = 0
34 + 4t − 24 = 0 ⟸ t = −2.5
M = (8.5 − 2.5 , 3 , 15)
✅ פתרון סופי: M(6 , 3 , 15)

סעיף ד – יחס הנפחים

שתי הפירמידות עם בסיס במישור z = 0 (בסיס ABC):
• MABC: בסיס ABC, גובה = שיעור ה־z של M = 15.
• FAEC: בסיס AEC, גובה = שיעור ה־z של F = 15.
E אמצע BC, ולכן התיכון AE מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:
SAEC = 12SABC
VMABCVFAEC = 13 · SABC · 1513 · 12SABC · 15 = 2📐 נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס, h – הגובה
הסרטוט בקנה מידה (FM בסגול):
ABCSEFM
✅ פתרון סופי: פי 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה
סעיף בC(10 , 0 , 0)
S(8 , 4 , 20)
סעיף ג (1)(8.5 , 3 , 15)
+ t(1 , 0 , 0)
סעיף ג (2)M(6 , 3 , 15)
סעיף דפי 2
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: הופכי, שורשים ומצולע משוכלל

📄 נוסח השאלה

נתון המספר המרוכב w = r(cos t + i · sin t) , r > 0 , 90 < t < 180.

א. הביעו באמצעות r ו־t הצגה קוטבית של המספר 1w.

הנקודה A במישור גאוס מייצגת את המספר w, והנקודה B מייצגת את המספר 1w. הנקודה O היא ראשית הצירים.

נתון כי שטח המשולש AOB הוא √24 והזווית AOB היא זווית חדה.

ב. מצאו את הערך של t.

נתונות שתי משוואות: I. z8 = w8 , II. z8 = (w · w̄)4. z הוא מספר מרוכב.

נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II.

ג. (1) מצאו כמה קודקודים יש למצולע.

(2) האם כל קודקודי המצולע נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים? נמקו את תשובתכם.

נתון כי שטח המצולע הוא 49.

ד. מצאו את הערך של r.

(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן היא מסומנת t. הזוויות במעלות.)

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הצגה קוטבית של 1/w

1w = 1 cis 0r cis t📐 חילוק בהצגה קוטביתr1cis(a)r2cis(b) = r1r2 cis(a − b)
1w = 1r cis(−t)
✅ פתרון סופי: 1w = 1r(cos(−t) + i sin(−t))

סעיף ב – הערך של t

OA = |w| = r , OB = |1w| = 1r
הזווית בין OA ל־OB: הפרש הזוויות t − (−t) = 2t, ש־180 < 2t < 360. הזווית החדה במשולש היא המשלימה ל־360:
∢AOB = 360 − 2t
S = 12 · r · 1r · sin(360 − 2t)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢∢ – הזווית שבין a ו־b
= 12sin(360 − 2t)
12sin(360 − 2t) = √24
sin(360 − 2t) = √22
הזווית חדה, ולכן:
360 − 2t = 45
t = 157.5
-11-iixyABO
✅ פתרון סופי: t = 157.5

סעיף ג (1) – מספר הקודקודים

משוואה I:
w8 = r8 cis(8 · 157.5)📐 משפט דה־מואבר[r cis(a)]n = rn cis(na)
= r8 cis 1260 = r8 cis 180
z = r cis(180 + 360k8)📐 פתרון משוואה מהצורה wn = r cis awk = r1/n cis(a + 360kn)k = 0 , 1 , … , n − 1
= r cis(22.5 + 45k)
משוואה II: w · w̄ = |w|2 = r2, ולכן (w · w̄)4 = r8 = r8 cis 0:
z = r cis(360k8) = r cis(45k)📐 פתרון משוואה מהצורה wn = r cis awk = r1/n cis(a + 360kn)k = 0 , 1 , … , n − 1
הפתרונות של I בזוויות 22.5, 67.5, … והפתרונות של II בזוויות 0, 45, 90, … – אין זוויות משותפות. יחד: 16 נקודות שונות, כל 22.5 מעלות.
✅ פתרון סופי: 16 קודקודים

סעיף ג (2) – על מעגל אחד?

לכל הפתרונות של שתי המשוואות אותו גודל r, ולכן כולם על המעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו r.
✅ פתרון סופי: כן – על מעגל שרדיוסו r

סעיף ד – הערך של r

המצולע הוא מצולע משוכלל עם 16 קודקודים. נחלק אותו ל־16 משולשים שקודקודם בראשית: בכל אחד שתי צלעות r וזווית 36016 = 22.5 ביניהן:
S = 16 · 12 · r · r · sin22.5📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢∢ – הזווית שבין a ו־b
= 8r2 sin22.5
8r2 sin22.5 = 49
r2 = 498 · 0.38268 ≈ 16.0
r ≈ 4
✅ פתרון סופי: r ≈ 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א1r cis(−t)
סעיף בt = 157.5
סעיף ג (1)16
סעיף ג (2)כן
סעיף דr ≈ 4
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e, פונקציה קדומה ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ex − 11 − ex. הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x ≠ 0.

א. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).

(2) האם לגרף הפונקציה f(x) יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −x + ln(ex − 1).

ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) הראו כי g′(x) = f(x) − ex לכל x בתחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

בנקודת הקיצון של הפונקציה f(x) מעבירים אנך לציר ה־x.

ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי ציר ה־x, על ידי האנך ועל ידי הישר x = ln(b). b > 2 הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות b.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל־b − 2 + ln(1.8).

ה. מצאו את הערך של b.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – האסימפטוטות

אנכית: ב־x = 0 המכנה 1 − ex מתאפס והמונה 1:
x = 0
x → −∞: ex → 0:
f(x) → 0 − 11 − 0 = −1📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
x → ∞: ex → ∞ ו־11 − ex → 0, ולכן f → ∞ – אין אסימפטוטה אופקית מימין.
y = −1
✅ פתרון סופי: x = 0 , y = −1

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך.
ציר ה־x: נסמן m = ex (m > 0 , m ≠ 1):
m − 11 − m = 0
m(1 − m) = 1
m2 − m + 1 = 0
b2 − 4ac = 1 − 4 = −3 < 0📐 ביטוי ריבועי חיובי תמידat2 + bt + c > 0 כאשר a > 0 ו־b2 − 4ac < 0
אין פתרון – אין חיתוך עם ציר ה־x.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם הצירים

סעיף א (3) – נקודת הקיצון

נגזרת של −11 − ex: לפי כלל המנה, המונה 0 · (1 − ex) − 1 · (−ex) עם סימן מינוס:
f′(x) = ex − ex(1 − ex)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
f′(x) = ex · (1 − ex)2 − 1(1 − ex)2
(1 − ex)2 = 1
1 − ex = 1 ⟸ ex = 0
(אין פתרון) או:
1 − ex = −1 ⟸ ex = 2 ⟸ x📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
= ln2
f(ln2) = 2 − 11 − 2 = 3
הסימן של f′ נקבע לפי (1 − ex)2 − 1:
xx < 00 < x < ln2ln2x > ln2
f′(x)−−0+
f(x)↘↘מינימום↗
✅ פתרון סופי: מינימום (ln2 , 3)

סעיף ב – סקיצה של f

משמאל: יורדת מ־y = −1 אל −∞ ליד x = 0. מימין: יורדת מ־+∞ עד המינימום (ln2 , 3), ואחר כך עולה בלי הגבלה. הגרף בקנה מידה:
-3-112-436xy(ln2 , 3)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g

ex − 1 > 0📐 תנאי ל־lnln(x) ⟸ x > 0
ex > 1 ⟸ x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ג (2) – g′(x) = f(x) − ex

g′(x) = −1 + exex − 1📐 נגזרת של ln מורכבת[ln g(x)]′ = g′(x)g(x)
g′(x) = −(ex − 1) + exex − 1
= 1ex − 1
ומהצד השני:
f(x) − ex = −11 − ex = 1ex − 1
g′(x) = f(x) − ex ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: g′(x) = f(x) − ex

סעיף ד – השטח

האנך בנקודת הקיצון: x = ln2. בתחום ln2 ≤ x ≤ ln b הפונקציה חיובית (המינימום שלה 3), ולכן השטח הוא האינטגרל.
לפי סעיף ג, f(x) = ex + g′(x), ולכן פונקציה קדומה של f היא ex + g(x):
S = ∫ln bln2 f(x) dx📐 שטח מעל ציר ה־xS = ∫ba g(x) dx
= [ ex − x + ln(ex − 1) ]ln bln2
x
= ln b: b − ln b + ln(b − 1)
x = ln2: 2 − ln2 + ln1
= 2 − ln2
S
= b − ln b + ln(b − 1) − 2 + ln2
S = b − 2 + ln2(b − 1)b📐 חוקי לוגריתמיםln a + ln c − ln d = lnacd
✅ פתרון סופי: S = b − 2 + ln2(b − 1)b

סעיף ה – הערך של b

b − 2 + ln2(b − 1)b
= b − 2 + ln1.8
2(b − 1)b = 1.8
2b − 2 = 1.8b
0.2b = 2
b = 10
✅ פתרון סופי: b = 10

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)x = 0 , y = −1
סעיף א (2)אין
סעיף א (3)מינ׳ (ln2 , 3)
סעיף ג (1)x > 0
סעיף דb − 2 + ln2(b − 1)b
סעיף הb = 10
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 25 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln עם פרמטר והגרף של |h|

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = a + ln xx, המוגדרת בתחום x > 0. a הוא פרמטר.

א. בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.

(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = 1x, המוגדרת בתחום x ≠ 0.

נתון כי גרף הפונקציה f(x) וגרף הפונקציה g(x) נחתכים בנקודה שבה x = e2.

ג. מצאו את הערך של a.

הציבו את הערך של a שמצאתם וענו על סעיפים ד–ה.

נתונה הפונקציה h(x), המוגדרת בתחום x > 0. גרף הפונקציה h(x) עובר בנקודה (e3 , −1.5).

נגזרת הפונקציה h(x) מקיימת h′(x) = f(x) − g(x).

ד. מצאו את הפונקציה h(x).

ה. קבעו איזה גרף מבין הגרפים I–IV מייצג את הפונקציה |h(x)|. נמקו את קביעתכם.

הגרפים I–IV מתוך השאלון

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – האסימפטוטות

x → 0 (מימין): המונה a + ln x → −∞ והמכנה → 0+, ולכן f → −∞:
x = 0
x → ∞: ln x גדל לאט בהרבה מ־x, ולכן f → 0:
y = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 , y = 0

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x

a + ln x = 0
ln x = −a ⟸ x = e−a📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
✅ פתרון סופי: (e−a , 0)

סעיף א (3) – נקודת הקיצון

f′(x) = 1x · x − (a + ln x) · 1x2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
= 1 − a − ln xx2
1 − a − ln x = 0 ⟸ x = e1 − a
x0 < x < e1−ae1−ax > e1−a
f′(x)+0−
f(x)↗מקסימום↘
f(e1 − a) = a + 1 − ae1 − a = 1e1 − a
= ea − 1
✅ פתרון סופי: מקסימום (e1 − a , ea − 1)

סעיף ב – סקיצה של f

מ־−∞ ליד x = 0 הגרף עולה, חוצה את ציר ה־x ב־(e−a , 0), מגיע למקסימום (e1−a , ea−1) ויורד ומתקרב ל־y = 0 מלמעלה.
לדוגמה, הגרף בקנה מידה עבור a = −1 (הערך שיתקבל בסעיף ג):
ee²10-2-11xyמקסימום
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג – הערך של a

f(e2) = g(e2)
a + 2e2 = 1e2
a + 2 = 1
a = −1
✅ פתרון סופי: a = −1

סעיף ד – הפונקציה h

h′(x) = ln x − 1x − 1x
= ln x − 2x
נכתוב h′(x) = ln x · 1x − 2 · 1x. הביטוי ln x · 1x הוא "פונקציה כפול הנגזרת שלה":
h(x) = (ln x)22 − 2ln x + C📐 אינטגרל של פונקציה כפול נגזרתה∫ u · u′ dx = u22 + C
הגרף עובר ב־(e3 , −1.5):
92 − 6 + C = −1.5
C = 0
h(x) = (ln x)22 − 2ln x
✅ פתרון סופי: h(x) = (ln x)22 − 2ln x

סעיף ה – הגרף של |h(x)|

שלב 1 – סקיצה של h(x) (כחול)
h(x) = 12ln x(ln x − 4)📐 הוצאת גורם משותףab − ac = a(b − c)
אפסים:
ln x = 0 ⟸ x = 1📐 מכפלה שווה לאפסa · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
ln x = 4 ⟸ x = e4 ≈ 54.6
קיצון: הנגזרת של h נתונה (סעיף ד):
h′(x) = ln x − 2x = 0
ln x = 2 ⟸ x = e2
h(e2) = 42 − 4 = −2
המכנה x חיובי. לפני e2 המונה ln x − 2 שלילי ואחרי e2 הוא חיובי, ולכן (e2 , −2) מינימום.
קצוות:
x → 0 : ln x → −∞ ⟸ h(x) → ∞
x → ∞ : h(x) → ∞
כלומר h חיובית עד x = 1, שלילית בין 1 ל־e4 (שם "בור" עד −2), וחיובית שוב אחרי e4.
e²e⁴−224xy(e² , −2)
שלב 2 – סקיצה של |h(x)| (סגול)
h(x) < 0 ⟸ |h(x)| = −h(x)📐 הגרף של |h(x)|איפה ש־h(x) ≥ 0 הגרף נשאר; איפה ש־h(x) < 0 משקפים אותו מעל ציר ה־x
החלקים שבהם h חיובית נשארים. ה"בור" בין 1 ל־e4 משתקף מעל ציר ה־x והופך ל"גבעה" עם מקסימום (e2 , 2).
קוראים מהגרף: |h| יורדת מ־∞ ליד ציר ה־y, נוגעת בציר ה־x ב־x = 1 (קרוב מאוד לציר ה־y בסקלה של הגרף), עולה לגבעה (e2 , 2), יורדת ונוגעת שוב בציר ב־e4, ואחר כך עולה בלי הגבלה.
רק גרף I עולה בסוף אחרי נקודת ההשקה השנייה, עם גבעה לפניה.
e²e⁴−224xy(e² , 2)
✅ פתרון סופי: גרף I

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x = 0 , y = 0
סעיף א (2)(e−a , 0)
סעיף א (3)מקס׳ (e1−a , ea−1)
סעיף גa = −1
סעיף דh = (ln x)22 − 2ln x
סעיף הגרף I
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – תחום הגדרה ונגזרת בפונקציית ln
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 572 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות