שיעור 25 -אינטגרל שטחים e

פתרון בגרויות בפונקציה מעריכית

חקירת פונקציית e‏ · 5 יחידות · שאלון 572

📄 דף הסבר: שטח בין גרף פונקציית e לבין ישר – אינטגרל עם גבולות

מוצאים את הגבולות, עושים אינטגרל של העליון פחות התחתון, ומציבים

השטח

S = ∫ba(y₁ − y₂)dx

y₁ – הגרף העליון, y₂ – הגרף התחתון. a ו־b – איפה השטח מתחיל ואיפה נגמר על ציר x.

נוסחת האינטגרל

∫a · e^mx+ndx = a · e^mx+nm

מספר בכפל נשאר, מעתיקים את ה־e ומחלקים בנגזרת של החזקה.

שימו לב בהצבה

e⁰ = 1 – זה לא מתבטל! בהצבת 0 לא מוחקים את האיבר.

e בחזקת ln

e^lna = a , למשל e^ln6 = 6. ובכיוון ההפוך: e^x = a → x = lna

שלביםחישוב שטח עם פונקציית e

1הגבולות

נקודת החיתוך: משווים את הפונקציה לישר ופותרים (אם צריך – הצבה e^x = t).

2העליון פחות התחתון

בודקים בציור מי למעלה, רושמים אינטגרל של העליון פחות התחתון ופותחים סוגריים.

3אינטגרל

לפי הנוסחה, בלי c. האינטגרל הופך לקו עם הגבולות.

4מציבים

מציבים את הגבול העליון, פחות הצבת הגבול התחתון.

גבולות ← עליון פחות תחתון ← אינטגרל ← הצבה ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

שטח המוגבל על ידי גרף פונקציית e, ציר y וישר: מציאת הגבול ln6 בהצבה t, אינטגרל של הישר פחות הפונקציה, והצבת הגבולות.

🔵 שטח בין גרף פונקציית e, ציר y והישר y = 8 – אינטגרל מ־0 עד ln6

נתונה הפונקציה f(x) = e^2x − 6e^x + 8, ונתון הישר y = 8 (ראה ציור). מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר y, ועל ידי הישר y = 8.

הגבולות – השטח מתחיל ב־0 (ציר y). את הסוף מוצאים בהשוואת הפונקציה לישר:

e^2x − 6 · e^x + 8 = 8 / −8

e^2x − 6 · e^x = 0

הצבה: e^x = t

t² − 6t = 0

t(t − 6) = 0

t = 0 או t = 6

e^x = 0 → x = ln0

אין פתרון (ln מוגדר רק למספר חיובי, ו־e^x > 0 תמיד)

e^x = 6 → x = ln6

האינטגרל – הישר y = 8 מעל הפונקציה, לכן הישר פחות הפונקציה:

S = ∫ln608 − (e^2x − 6e^x + 8)dx

= ∫ln608 − e^2x + 6 · e^x − 8 dx

ה־8 מצטמצם:

= ∫ln60−e^2x + 6 · e^x dx

= −1 · e^2x2 + 6 · e^x|ln60

הצבה – ln6 פחות 0:

(−1 · e^2ln62 + 6 · e^ln6)

− (−1 · e^{2 · 0}2 + 6 · e⁰)

e^2ln6 = 36 , e^ln6 = 6 , e⁰ = 1

(−18 + 6 · 6) − (−12 + 6)

= 18 − 512

תשובה: S = 1212 יח"ר

💡 לזכור

שטח = אינטגרל של העליון פחות התחתון בין הגבולות. בהצבת 0: e⁰ = 1 – לא מתבטל. e^{ln a} = a.

חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים