בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 572 לפי נושא – חקירת פונקציית e
כל השאלות בנושא חקירת פונקציית e מבחינות הבגרות בשאלון 572, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. חקירת פונקציות מעריכיות עם פרמטר, כולל סעיפי השטח והאינטגרל. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא
17 שאלות פתורות: 17 מבחינות 572 של 2022–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.
ליד כל מועד כתוב מה יש בשאלה: פרמטר · שטח · אינטגרל · הזזות · גרף נגזרת · משיק
שאלון 572 – כל המועדים
קיץ 2026 ב · פרמטר · שטחקיץ 2026 א · פרמטר · גרף נגזרת · משיקחורף 2026 · פרמטר · שטחקיץ 2025 ב · פרמטר · אינטגרל · גרף נגזרתקיץ 2025 א · פרמטר · אינטגרל · הזזותחורף 2025 · פרמטר · שטחקיץ 2024 בקיץ 2024 א · פרמטר · אינטגרל · הזזותחורף 2024 · פרמטר · שטחקיץ 2023 מיוחד · פרמטר · אינטגרלקיץ 2023 ב · שטח · הזזותקיץ 2023 א · שטח · הזזותחורף 2023 · שטחקיץ 2022 ב · פרמטר · שטח · גרף נגזרתקיץ 2022 א · שטחחורף 2022 נבצרים · פרמטר · אינטגרלחורף 2022 · פרמטר · אינטגרל · הזזות
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר · שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 1ex − 1 + 5ex − 5 + a. a הוא פרמטר.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים. הביעו באמצעות a במידת הצורך.
ב. הראו כי הפונקציה f(x) יורדת בכל תחום הגדרתה.
נתון כי אחת האסימפטוטות של הפונקציה f(x) היא y = 2.
ג. מצאו את שני הערכים האפשריים של a.
הציבו a = 2, וענו על הסעיפים ד–ו.
ד. הראו כי f(x) = 2e2x − 6exe2x − 6ex + 5.
ה. (1) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = ln2.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
אסור שמכנה יתאפס:
ex − 1 ≠ 0 ⟸ ex ≠ 1
x ≠ ln1 = 0📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
ex − 5 ≠ 0 ⟸ ex ≠ 5
x ≠ ln5📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ ln5
סעיף א (2) – האסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות – בנקודות שבהן המכנה מתאפס:
כש־x → 0: ex → 1, המכנה ex − 1 → 0 והמונה 1, ולכן 1ex − 1 שואף לאינסוף (שאר האיברים סופיים: 51 − 5 = −54).
x = 0
כש־x → ln5: ex → 5, המכנה ex − 5 → 0 והמונה 5, ולכן 5ex − 5 שואף לאינסוף.
x = ln5
אסימפטוטות אופקיות:
כש־x → ∞: המכנים שואפים לאינסוף, ולכן שני השברים שואפים ל־0:
f(x) → 0 + 0 + a = a📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
y = a
כש־x → −∞: ex → 0:
f(x) → 10 − 1 + 50 − 5 + a📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
f(x) → −1 − 1 + a = a − 2
y = a − 2
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = ln5 , y = a (כש־x → ∞) , y = a − 2 (כש־x → −∞)
סעיף ב – הפונקציה יורדת
נגזור כל שבר בכלל המנה (הנגזרת של המונה הקבוע היא 0), והנגזרת של הקבוע a היא 0:
(1ex − 1)′📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
= 0 · (ex − 1) − 1 · ex(ex − 1)2
= −ex(ex − 1)2
(5ex − 5)′📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
= 0 · (ex − 5) − 5 · ex(ex − 5)2
= −5ex(ex − 5)2
f′(x)
= −ex(ex − 1)2 − 5ex(ex − 5)2
בכל תחום ההגדרה: ex > 0, והמכנים הם ריבועים חיוביים. לכן כל שבר חיובי, ועם סימן המינוס לפניו – שלילי:
f′(x) < 0
הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה, ולכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.
✅ פתרון סופי: f′(x) < 0 בכל תחום ההגדרה – הפונקציה יורדת
סעיף ג – שני הערכים של a
האסימפטוטות האופקיות הן y = a ו־y = a − 2. אחת מהן היא y = 2:
a = 2
או
a − 2 = 2 ⟸ a = 4
✅ פתרון סופי: a = 2 או a = 4
סעיף ד – הצגה כשבר אחד
עם a = 2. נכנס למכנה משותף (ex − 1)(ex − 5):
(ex − 1)(ex − 5)
= e2x − 5ex − ex + 5
= e2x − 6ex + 5
נכתוב הכול על המכנה המשותף. המונה:
1 · (ex − 5) + 5(ex − 1)
+ 2(e2x − 6ex + 5)
והמכנה: e2x − 6ex + 5.
נפתח סוגריים במונה:
ex − 5 + 5ex − 5 + 2e2x
− 12ex + 10
נכנס איברים דומים:
2e2x + (ex + 5ex − 12ex)
+ (−5 − 5 + 10)
2e2x − 6ex + 0
f(x) = 2e2x − 6exe2x − 6ex + 5 ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: f(x) = 2e2x − 6exe2x − 6ex + 5
סעיף ה (1) – חיתוך עם ציר ה־x
נשווה את המונה ל־0 (y = 0):
2e2x − 6ex = 0
2ex(ex − 3) = 0
2ex תמיד חיובי, ולכן:
ex − 3 = 0
ex = 3
x = ln3📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
ln3 ≈ 1.10 נמצא בתחום ההגדרה (שונה מ־0 ומ־ln5 ≈ 1.61).
✅ פתרון סופי: (ln3 , 0) ≈ (1.10 , 0)
סעיף ה (2) – סקיצה
מה שמצאנו: אסימפטוטות אנכיות x = 0 ו־x = ln5 ≈ 1.61; אסימפטוטה אופקית y = 2 כש־x → ∞ ו־y = 2 − 2 = 0 (ציר ה־x) כש־x → −∞; הפונקציה יורדת בכל תחום; חיתוך עם ציר ה־x ב־(ln3 , 0); אין חיתוך עם ציר ה־y (כי x = 0 לא בתחום).
משמאל ל־0: הגרף יורד מציר ה־x (מתחתיו) אל −∞ ליד x = 0.
בין 0 ל־ln5: יורד מ־+∞ אל −∞ וחותך את ציר ה־x ב־ln3.
מימין ל־ln5: יורד מ־+∞ ומתקרב ל־y = 2 מלמעלה.
הגרף סורטט בקנה מידה מהפונקציה עצמה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ו – השטח
הגבולות: הישר x = ln2 ≈ 0.69 ונקודת החיתוך עם ציר ה־x, x = ln3 ≈ 1.10. הפונקציה יורדת ומתאפסת ב־ln3, ולכן בין ln2 ל־ln3 היא חיובית (למשל f(ln2) = 8 − 124 − 12 + 5 = 43 > 0) – השטח מעל ציר ה־x:
S📐 שטח מעל ציר ה־xS = ∫ba f(x) dx
= ∫ln3ln2 2e2x − 6exe2x − 6ex + 5 dx
נשים לב: הנגזרת של המכנה היא בדיוק המונה:
(e2x − 6ex + 5)′
= 2e2x − 6ex
S📐 אינטגרל מהצורה מנה∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)| + C
= [ ln|e2x − 6ex + 5| ]ln3ln2
נציב (e2ln3 = 9, eln3 = 3, e2ln2 = 4, eln2 = 2):
S
= ln|9 − 18 + 5| − ln|4
− 12 + 5|
S = ln|−4| − ln|−3|
S = ln4 − ln3
S = ln43 ≈ 0.288📐 חוק לוגריתמיםln a − ln b = lnab
✅ פתרון סופי: S = ln43 ≈ 0.288
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | x ≠ 0 , x ≠ ln5 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = 0 , x = ln5 , y = a , y = a − 2 |
| סעיף ב | f′(x) < 0 |
| סעיף ג | a = 2 או a = 4 |
| סעיף ד | הוכחה |
| סעיף ה (1) | (ln3 , 0) |
| סעיף ה (2) | סקיצה |
| סעיף ו | ln43 ≈ 0.288 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת אסימפטוטה אופקית (שאיפה לאינסוף ולמינוס אינסוף)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 5 פרמטר · גרף נגזרת · משיק
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 4ex − x + 9 · ln(4 − ex).
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).
ב. הראו כי f′(x) = −4(ex − 1)24 − ex.
ג. (1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה). (2) מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקצייה f(x) המקביל לציר ה־x.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
ה. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x). (2) לפונקצייה f(x) יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום x < ln 4.
נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + ax, שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). a הוא פרמטר.
ו. היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת f′(x), ומצאו בעבור אילו ערכים של a יש לפונקצייה g(x) שתי נקודות קיצון. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
הפונקצייה ln מוגדרת רק למספרים חיוביים, ולכן הביטוי שבתוך ה־ln חייב להיות חיובי:📐 משפט: תחום הגדרה של lnln u מוגדר כאשר u > 0
4 − ex > 0
ex < 4
x < ln 4📐 נוסחה: הגדרת הלוגריתםex = b ⟺ x = ln b
✅ פתרון סופי: x < ln 4 (≈ 1.386)
סעיף א (2) – אסימפטוטות של f(x)
אסימפטוטה אנכית. כש־x שואף ל־ln 4 משמאל, 4 − ex שואף ל־0 מימין, ולכן ln(4 − ex) שואף ל־−∞. שאר האיברים סופיים (4ex − x שואף ל־16 − ln 4), ולכן f(x) שואפת ל־−∞:
x = ln 4
זו אסימפטוטה אנכית.
אסימפטוטה אופקית. התחום פתוח רק שמאלה, ולכן בודקים כש־x שואף ל־−∞: 4ex שואף ל־0, 9ln(4 − ex) שואף ל־9 ln 4, אבל −x שואף ל־+∞. לכן f(x) שואפת ל־+∞ ואין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = ln 4 (אין אסימפטוטה אופקית)
סעיף ב – הנגזרת f'(x)
נגזור כל איבר בנפרד:
(4ex)' = 4ex📐 נוסחה: נגזרת ex(ex)' = ex
(−x)' = −1
(9 · ln(4 − ex))' = 9 · −ex4 − ex📐 נוסחה: נגזרת ln של פונקציה (כלל השרשרת)(ln u)' = u'u
f'(x) = 4ex − 1 − 9ex4 − ex
נכנס למכנה משותף 4 − ex:
f'(x) = (4ex − 1)(4 − ex) − 9ex4 − ex
נפתח את הסוגריים במונה:
(4ex − 1)(4 − ex) = 16ex − 4e2x − 4 + ex = −4e2x + 17ex − 4
−4e2x + 17ex − 4 − 9ex = −4e2x + 8ex − 4
= −4(e2x − 2ex + 1)
= −4(ex − 1)2📐 נוסחה: נוסחת הכפל המקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
f'(x) = −4(ex − 1)24 − ex ✓
✅ פתרון סופי: הוכחנו: f'(x) = −4(ex − 1)24 − ex
סעיף ג (1) – תחומי עלייה וירידה
בתחום ההגדרה x < ln 4 המכנה חיובי: 4 − ex > 0.
במונה: (ex − 1)2 ≥ 0, ולכן −4(ex − 1)2 ≤ 0.
f'(x) ≤ 0
בכל התחום.
הנגזרת מתאפסת רק כאשר ex = 1, כלומר רק ב־x = 0, ובכל שאר התחום היא שלילית. לכן הפונקצייה יורדת בכל התחום (בנקודה x = 0 יש משיק אופקי, אבל אין שינוי בכיוון).
✅ פתרון סופי: יורדת בכל התחום: x < ln 4; אין תחום עלייה
סעיף ג (2) – משיק המקביל לציר ה־x
משיק מקביל לציר ה־x – שיפועו 0:
f'(x) = 0📐 נוסחה: שיפוע המשיקm = f'(x0)
−4(ex − 1)2 = 0
ex = 1
x = 0
f(0) = 4e0 − 0 + 9 · ln(4 − e0) = 4 + 9 · ln 3
y = 4 + 9 ln 3 (≈ 13.89)
✅ פתרון סופי: y = 4 + 9 ln 3
סעיף ד – סקיצה של f(x)
הפונקצייה יורדת בכל התחום x < ln 4, שואפת ל־+∞ משמאל ול־−∞ ליד האסימפטוטה x = ln 4, ובנקודה (0 , 4 + 9 ln 3) יש משיק אופקי.
סקיצה של גרף הפונקציה f(x) (בקנה מידה). המשיק האופקי y = 4 + 9ln3 בתכלת
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו בגרף
סעיף ה (1) – אסימפטוטות של f'(x)
f′(x) = −4(ex − 1)24 − ex מוגדרת גם היא ב־x < ln 4.
אנכית: כש־x שואף ל־ln 4 משמאל, המכנה שואף ל־0 מימין והמונה ל־−4 · 32 = −36, ולכן f′(x) שואפת ל־−∞: x = ln 4.
אופקית: כש־x שואף ל־−∞, ex שואף ל־0:
f'(x) → −4(0 − 1)24 − 0 = -44 = −1
y = −1
אסימפטוטה אופקית משמאל (כאשר x שואף למינוס אינסוף).
✅ פתרון סופי: x = ln 4 , y = −1 (משמאל)
סעיף ה (2) – סקיצה של f'(x)
מה שידוע על f′(x): היא שלילית בכל התחום חוץ מ־x = 0, שם היא 0 (סעיף ג); משמאל היא מתקרבת ל־−1; ליד x = ln 4 היא שואפת ל־−∞.
הנקודה (0 , 0) היא הערך הגדול ביותר של f′ (כל שאר הערכים שליליים), ולכן זו נקודת מקסימום של f′ – וזו נקודת הפיתול היחידה של f. משמאל לה f′ עולה (מ־−1 ל־0), ומימינה יורדת (מ־0 ל־−∞).
סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f'(x) (בקנה מידה). האסימפטוטות x = ln4 ו־y = −1 מקווקוות
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו בגרף
סעיף ו – מתי ל־g(x) יש שתי נקודות קיצון
g'(x) = f'(x) + a📐 נוסחה: נגזרת של סכום(u + v)' = u' + v'(ax)' = a
נקודות קיצון של g הן נקודות שבהן g′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן:
f'(x) + a = 0 ⟺ f'(x) = −a
כלומר מחפשים את מספר נקודות החיתוך של גרף f′(x) עם הישר האופקי y = −a, שבהן הגרף חוצה את הישר.
לפי הגרף מסעיף ה: בתחום x < 0 הנגזרת f′ עולה מ־−1 (בלי להגיע אליו) עד 0, ובתחום 0 < x < ln 4 היא יורדת מ־0 עד −∞.
אם −1 < −a < 0: הישר חותך את הגרף פעמיים – פעם בענף העולה ופעם בענף היורד, ובכל חיתוך הגרף חוצה את הישר (מחליף סימן). לכן ל־g שתי נקודות קיצון.
אם −a = 0: נקודת השקה בלבד ב־x = 0 (בלי החלפת סימן) – אין קיצון. אם −a ≤ −1: רק חיתוך אחד (בענף היורד). אם −a > 0: אין חיתוך.
−1 < −a < 0
0 < a < 1
✅ פתרון סופי: 0 < a < 1
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x < ln 4 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = ln 4 (אין אופקית) |
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג (1) | יורדת בכל התחום x < ln 4 |
| סעיף ג (2) | y = 4 + 9 ln 3 |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה (1) | x = ln 4 , y = −1 (משמאל) |
| סעיף ה (2) | סקיצה |
| סעיף ו | 0 < a < 1 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – חקירת פונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2026, שאלה 4 פרמטר · שטח
📄 נוסח השאלה
f'(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x). g(x) היא פונקציה המקיימת g(x) = ef(x) · f'(x). הפונקציות f(x) , f'(x) ו־g(x) מוגדרות בתחום x ≠ 0.
נתון כי הפונקציה f(x) יורדת בתחום x > 0 ובתחום x < 0, וכי f'(x) ≠ 0 בכל תחום הגדרתה.
א. כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.
נתון כי f(x) = 1x.
ב. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
a הוא פרמטר גדול מ־1. נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 1ln a ו־x = 1ln(4a) הוא 5.
ד. מצאו את הערך של a.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – תחומי חיוביות ושליליות של g(x)
f(x) יורדת בכל אחד מהתחומים, ולכן f'(x) ≤ 0 בהם. נתון f'(x) ≠ 0, ולכן:
f'(x) < 0
(לכל x ≠ 0.)
חזקה של e תמיד חיובית:📐 פונקציה מעריכיתeu > 0 לכל u
ef(x) > 0
מכפלה של מספר חיובי במספר שלילי היא שלילית:
g(x) = ef(x) · f'(x) < 0
✅ פתרון סופי: תחומי שליליות: x < 0 וגם x > 0; אין תחומי חיוביות
סעיף ב (1) – אסימפטוטות של g(x)
f'(x) = −1x2📐 נגזרת של חזקה(xn)' = nxn−11x = x−1
g(x) = e1x · (−1x2) = −e1/xx2
אסימפטוטה אנכית – בדיקה ליד x = 0:
• כאשר x → 0+: 1x → ∞, ולכן e1/x → ∞, וגם 1x2 → ∞. לכן:
g(x) → −∞
• כאשר x → 0−: נסמן u = 1x → −∞. אז g = −eu · u2. הפונקציה eu שואפת ל־0 מהר יותר מכל חזקה של u, ולכן:
g(x) → 0
לכן x = 0 אסימפטוטה אנכית מימין בלבד.
אסימפטוטה אופקית: כאשר x → ±∞: 1x → 0, e1/x → e0 = 1, ו־1x2 → 0:
g(x) → −1 · 0 = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 (מימין) , y = 0
סעיף ב (2) – נקודת הקיצון של g(x)
g(x) = −e1/x · x−2
(e1/x)' = e1/x · (−1x2)📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(eu)' = eu · u'
g'(x)📐 נגזרת של מכפלה(u · v)' = u'v + uv'
= −[e1/x · (−1x2) · x−2
+ e1/x · (−2x−3)]
g'(x) = e1/x · [1x4 + 2x3]
g'(x) = e1/x · 1 + 2xx4
e1/x > 0 ו־x4 > 0, ולכן הסימן של g' הוא הסימן של 1 + 2x:
1 + 2x = 0 ⇒ x = −12
1 + 2x שלילי כאשר x < −12, וחיובי כאשר x > −12 (בלי x = 0).
לכן g יורדת ב־x < −12, ועולה ב־−12 < x < 0 וב־x > 0. ירידה ואחריה עלייה – מינימום ב־x = −12:
g(−12) = −e−2(14) = −4e−2
= −4e2 ≈ −0.541
✅ פתרון סופי: מינימום (−12 , −4e2) ≈ (−0.5 , −0.541)
סעיף ג – סקיצה של g(x)
• משמאל: מתחיל קרוב ל־0 (מתחת לציר), יורד עד המינימום (−½ , −0.541), ואז עולה ומתקרב ל־0 כאשר x → 0− (הגרף לא מגיע לראשית).
• מימין: יוצא מ־−∞ ליד x = 0, עולה ומתקרב לציר ה־x מלמטה.
• כל הגרף מתחת לציר ה־x (סעיף א).
✅ פתרון סופי: סקיצה – כל הגרף מתחת לציר ה־x, מינימום (−½ , −4/e²)
סעיף ד – מציאת a
שימו לב: g(x) היא בדיוק הנגזרת של ef(x) = e1/x:
(e1/x)' = e1/x · (−1x2)📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(eu)' = eu · u'
= g(x)
לכן e1/x היא פונקציה קדומה של g(x).
a > 1 ⇐ ln a > 0 ו־ln(4a) > ln a, ולכן שני הישרים מימין לציר ה־y, ו־1ln(4a) < 1ln a. בתחום הזה g(x) < 0 (סעיף א), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:
S📐 שטח מתחת לציר xS = −∫bag(x) dx(כאשר g(x) ≤ 0 בתחום)
= −∫1/ln a1/ln(4a)g(x) dx
S = −[e1/x]1/ln(4a)1/ln a
S = −(eln a − eln(4a))📐 חוק הלוגריתםeln u = u
S = −(a − 4a) = 3a
נתון שהשטח הוא 5:
3a = 5
a = 53
(53 > 1 – מתאים.)
✅ פתרון סופי: a = 53
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | שלילית ב־x < 0 וב־x > 0; אין חיוביות |
|---|---|
| סעיף ב (1) | x = 0 (מימין), y = 0 |
| סעיף ב (2) | מינימום (−½ , −4/e²) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | a = 53 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 25 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר · אינטגרל · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ex + xex − x + b, המוגדרת לכל x. b הוא פרמטר.
א. ענו על התת־סעיפים (1)–(3). הביעו את תשובותיכם באמצעות b, אם יש צורך.
(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.
(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y.
(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.
נתון כי לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 1.5.
ב. מצאו את הערך של b (מצאו את שתי האפשרויות).
הציבו בפונקציה f(x) את הערך של b הקטן ביותר שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ה.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ידוע כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y היא אחת משתי נקודות הפיתול של הפונקציה f(x). פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת לכל x.
ד. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f′(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).
(2) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).
ה. לפניכם טענה: ∫10 (f(x) − 1.5) dx > 1e − 1. האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – האסימפטוטות
המכנה ex − x תמיד חיובי (ex > x לכל x), ולכן אין אסימפטוטה אנכית.
כאשר x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־ex:
ex + xex − x = 1 + xex1 − xex → 1 + 01 − 0 = 1
(e בחזקת x גדל מהר בהרבה מ־x, ולכן xex → 0.)
y = 1 + b
כאשר x → −∞: ex → 0:
ex + xex − x → x−x = −1📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
y = −1 + b
✅ פתרון סופי: y = 1 + b (כש־x → ∞) , y = b − 1 (כש־x → −∞)
סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־y
f(0) = 1 + 01 − 0 + b = 1 + b
✅ פתרון סופי: (0 , 1 + b)
סעיף א (3) – נקודת הקיצון
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
= (ex + 1)(ex − x) − (ex + x)(ex − 1)(ex − x)2
נפתח את המונה:
e2x − xex + ex − x
− (e2x − ex + xex − x)
= 2ex − 2xex = 2ex(1 − x)
f′(x) = 2ex(1 − x)(ex − x)2
2ex והמכנה חיוביים, ולכן הסימן נקבע לפי 1 − x:
| x | x < 1 | 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − |
| f(x) | ↗ | מקסימום | ↘ |
f(1) = e + 1e − 1 + b
✅ פתרון סופי: מקסימום (1 , e + 1e − 1 + b)
סעיף ב – הערך של b
אחת משתי האסימפטוטות האופקיות היא y = 1.5:
1 + b = 1.5 ⟸ b = 0.5
b − 1 = 1.5 ⟸ b = 2.5
✅ פתרון סופי: b = 0.5 או b = 2.5
סעיף ג – סקיצה של f
עם b = 0.5: אסימפטוטות y = −0.5 (משמאל) ו־y = 1.5 (מימין); חיתוך עם ציר ה־y ב־(0 , 1.5); מקסימום:
f(1) = e + 1e − 1 + 0.5 ≈ 2.66
הגרף עולה מ־y = −0.5 עד המקסימום, ואחר כך יורד ומתקרב ל־y = 1.5 מלמעלה. (הוא חוצה את ציר ה־x בערך ב־x ≈ −1.05.)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד (1) – האסימפטוטות של f′
f′(x) = 2ex(1 − x)(ex − x)2
המכנה חיובי תמיד – אין אסימפטוטה אנכית.
x → ∞: המכנה מתנהג כמו e2x והמונה כמו −2xex; נחלק ב־e2x:
f′(x) = 2(1 − x)ex(1 − xex)2 → 01 = 0
x → −∞: ex → 0 וגם xex → 0, כלומר המונה שואף ל־0, והמכנה (−x)2 שואף ל־∞:
f′(x) → 0
בשני הכיוונים:
✅ פתרון סופי: y = 0
סעיף ד (2) – סקיצה של f′
מה אנחנו יודעים על הנגזרת:
• f′ > 0 עבור x < 1, f′(1) = 0, f′ < 0 עבור x > 1 (סעיף א(3)).
f′(0) = 2 · 1 · 112 = 2
• בנקודות הפיתול של f יש ל־f′ קיצון. x = 0 היא נקודת פיתול – שם f′ מקבלת מקסימום (2). נקודת הפיתול השנייה נמצאת מימין ל־1 (שם הגרף של f עובר מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה) – שם f′ מקבלת מינימום שלילי.
• אסימפטוטה y = 0 משני הצדדים.
הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ה – האם הטענה נכונה?
נסמן h(x) = f(x) − 1.5. אז h(0) = 0 ו־h(1) = e + 1e − 1 − 1 = 2e − 1.
קעירות: לפי סעיף ד, f′ יורדת מ־x = 0 (המקסימום שלה) ועד נקודת הפיתול השנייה, שנמצאת מימין ל־1. לכן בתחום 0 < x < 1 הגרף של f (וגם של h) קעור כלפי מטה (∩).
גרף קעור כלפי מטה נמצא מעל המיתר שמחבר את קצותיו. המיתר מחבר את (0 , 0) ו־(1 , 2e − 1), והשטח שמתחתיו הוא משולש ישר זווית:
S = 1 · 2e − 12 = 1e − 1📐 שטח משולשS = a · h2
h(x) חיובית בתחום ומעל המיתר, ולכן השטח מתחת לה גדול יותר:
∫10 (f(x) − 1.5) dx > 1e − 1
בדיקה: בחישוב מקורב האינטגרל שווה בערך 0.769, ו־1e − 1 ≈ 0.582.
✅ פתרון סופי: הטענה נכונה
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | y = 1 + b , y = b − 1 |
|---|---|
| סעיף א (2) | (0 , 1 + b) |
| סעיף א (3) | מקס׳ (1 , e + 1e − 1 + b) |
| סעיף ב | b = 0.5 או b = 2.5 |
| סעיף ד (1) | y = 0 |
| סעיף ה | נכונה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 11 – אסימפטוטה אופקית (בגרות 2025 מועד ב)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 4 פרמטר · אינטגרל · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = exa − ex, a הוא פרמטר שונה מ־0.
א. ענו על התת־סעיפים (1)–(3) בעבור a > 0 ובעבור a < 0. הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.
(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־y של הפונקציה f(x).
(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ב. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x) בעבור a = 3 ואיזה מן הגרפים מתאר את הפונקציה f(x) בעבור a = −3. נמקו את קביעותיכם.
הציבו a = 3 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ג–ה.
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) + 2.
ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x).
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
ה. לפניכם טענה: ∫−2−4 g(x) dx > ∫32 g(x) dx. האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
המכנה שונה מ־0: ex ≠ a.
a > 0:
ex ≠ a ⟸ x ≠ ln a📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
a < 0: ex > 0 > a, ולכן המכנה אף פעם לא 0 – מוגדרת לכל x.
✅ פתרון סופי: a > 0: x ≠ ln a ; a < 0: כל x
סעיף א (2) – אסימפטוטות אופקיות
x → −∞: ex → 0:
f(x) → 0a − 0 = 0📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־ex:
f(x) = 1aex − 1 → 10 − 1 = −1
אותה תוצאה בשני המקרים (a חיובי או שלילי).
✅ פתרון סופי: y = 0 , y = −1
סעיף א (3) – עלייה וירידה
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
= ex(a − ex) − ex · (−ex)(a − ex)2
f′(x) = aex − e2x + e2x(a − ex)2
= aex(a − ex)2
ex והמכנה חיוביים, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של a:
a > 0: f′ > 0 – עולה בתחומים x < ln a ו־x > ln a.
a < 0: f′ < 0 – יורדת לכל x.
✅ פתרון סופי: a > 0: עולה x < ln a , x > ln a ; a < 0: יורדת לכל x
סעיף ב – זיהוי הגרפים
a = 3: עולה, ויש אסימפטוטה אנכית ב־x = ln3 ≈ 1.1 – מימין לציר ה־y. החיתוך עם ציר ה־y:
f(0) = 13 − 1 = 12 > 0
הגרף שעולה, עם אסימפטוטה אנכית מימין לציר ה־y: גרף II. (בגרף I הענפים יורדים, ובגרף IV האסימפטוטה משמאל לציר ה־y.)
a = −3: מוגדרת לכל x (אין אסימפטוטה אנכית) ויורדת מ־y = 0 אל y = −1:
f(0) = 1−3 − 1 = −14
זה גרף III.
✅ פתרון סופי: a = 3: גרף II ; a = −3: גרף III
סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g
צריך ש־f תהיה מוגדרת (x ≠ ln3) ושהמכנה f(x) + 2 יהיה שונה מ־0:
ex3 − ex = −2
ex = −6 + 2ex
ex = 6 ⟸ x = ln6📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
נפשט את g לשימוש בהמשך:
f(x) + 2 = ex + 6 − 2ex3 − ex
= 6 − ex3 − ex
g(x) = 3 − ex6 − ex (x ≠ ln3)
✅ פתרון סופי: x ≠ ln3 , x ≠ ln6
סעיף ג (2) – האסימפטוטות של g
אנכית: ב־x = ln6 המכנה 0 והמונה 3 − 6 = −3 ≠ 0:
x = ln6
(ב־x = ln3 אין אסימפטוטה: שם f → ±∞ ולכן g → 0 – זו נקודה חסרה על ציר ה־x.)
אופקיות: לפי האסימפטוטות של f:
x → −∞: f → 0 ⟸ g → 10 + 2
= 12
x → ∞: f → −1 ⟸ g → 1−1 + 2
= 1
✅ פתרון סופי: x = ln6 , y = 12 , y = 1
סעיף ד – סקיצה של g
f עולה בכל תחום (a = 3), ולכן גם f + 2 עולה, ו־g = 1f + 2 יורדת בכל תחום שבו f + 2 לא מחליפה סימן.📐 הפונקציה 1 חלקי uבתחום שבו u לא מחליפה סימן: כש־u עולה, 1u יורדת (ולהפך)
g(0) = 3 − 16 − 1 = 0.4
משמאל: יורדת מ־y = 12 דרך (0 , 0.4), מגיעה לנקודה החסרה (ln3 , 0) וממשיכה לרדת אל −∞ ליד x = ln6. אין חיתוך עם ציר ה־x.
מימין ל־ln6: יורדת מ־+∞ ומתקרבת ל־y = 1 מלמעלה. הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ה – האם הטענה נכונה?
האינטגרל השמאלי: בתחום −4 ≤ x ≤ −2 הפונקציה יורדת מתחת ל־12 ונשארת חיובית (x < ln3):
0 < g(x) < 12
אורך התחום 2, ולכן השטח קטן משטח מלבן 2 · 12:
∫−2−4 g(x) dx < 1
האינטגרל הימני: ln6 ≈ 1.79 < 2, ולכן בתחום 2 ≤ x ≤ 3 הגרף בענף הימני, מעל y = 1:
g(x) > 1
אורך התחום 1:
∫32 g(x) dx > 1
כלומר האינטגרל השמאלי קטן מן הימני.
✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | a > 0: x ≠ ln a a < 0: כל x |
|---|---|
| סעיף א (2) | y = 0 , y = −1 |
| סעיף א (3) | a > 0 עולה a < 0 יורדת |
| סעיף ב | II (a = 3) , III (a = −3) |
| סעיף ג (1) | x ≠ ln3 x ≠ ln6 |
| סעיף ג (2) | x = ln6 y = 12 , y = 1 |
| סעיף ה | לא נכונה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 29 – פתרון בגרות 2025 א
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 4 פרמטר · שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ex − 11 − ex. הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x ≠ 0.
א. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).
(2) האם לגרף הפונקציה f(x) יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.
(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = −x + ln(ex − 1).
ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) הראו כי g′(x) = f(x) − ex לכל x בתחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
בנקודת הקיצון של הפונקציה f(x) מעבירים אנך לציר ה־x.
ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי ציר ה־x, על ידי האנך ועל ידי הישר x = ln(b). b > 2 הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות b.
נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל־b − 2 + ln(1.8).
ה. מצאו את הערך של b.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – האסימפטוטות
אנכית: ב־x = 0 המכנה 1 − ex מתאפס והמונה 1:
x = 0
x → −∞: ex → 0:
f(x) → 0 − 11 − 0 = −1📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
x → ∞: ex → ∞ ו־11 − ex → 0, ולכן f → ∞ – אין אסימפטוטה אופקית מימין.
y = −1
✅ פתרון סופי: x = 0 , y = −1
סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך.
ציר ה־x: נסמן m = ex (m > 0 , m ≠ 1):
m − 11 − m = 0
m(1 − m) = 1
m2 − m + 1 = 0
b2 − 4ac = 1 − 4 = −3 < 0📐 ביטוי ריבועי חיובי תמידat2 + bt + c > 0 כאשר a > 0 ו־b2 − 4ac < 0
אין פתרון – אין חיתוך עם ציר ה־x.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם הצירים
סעיף א (3) – נקודת הקיצון
נגזרת של −11 − ex: לפי כלל המנה, המונה 0 · (1 − ex) − 1 · (−ex) עם סימן מינוס:
f′(x) = ex − ex(1 − ex)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
f′(x) = ex · (1 − ex)2 − 1(1 − ex)2
(1 − ex)2 = 1
1 − ex = 1 ⟸ ex = 0
(אין פתרון) או:
1 − ex = −1 ⟸ ex = 2 ⟸ x📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
= ln2
f(ln2) = 2 − 11 − 2 = 3
הסימן של f′ נקבע לפי (1 − ex)2 − 1:
| x | x < 0 | 0 < x < ln2 | ln2 | x > ln2 |
|---|---|---|---|---|
| f′(x) | − | − | 0 | + |
| f(x) | ↘ | ↘ | מינימום | ↗ |
✅ פתרון סופי: מינימום (ln2 , 3)
סעיף ב – סקיצה של f
משמאל: יורדת מ־y = −1 אל −∞ ליד x = 0. מימין: יורדת מ־+∞ עד המינימום (ln2 , 3), ואחר כך עולה בלי הגבלה. הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g
ex − 1 > 0📐 תנאי ל־lnln(x) ⟸ x > 0
ex > 1 ⟸ x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ג (2) – g′(x) = f(x) − ex
g′(x) = −1 + exex − 1📐 נגזרת של ln מורכבת[ln g(x)]′ = g′(x)g(x)
g′(x) = −(ex − 1) + exex − 1
= 1ex − 1
ומהצד השני:
f(x) − ex = −11 − ex = 1ex − 1
g′(x) = f(x) − ex ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: g′(x) = f(x) − ex
סעיף ד – השטח
האנך בנקודת הקיצון: x = ln2. בתחום ln2 ≤ x ≤ ln b הפונקציה חיובית (המינימום שלה 3), ולכן השטח הוא האינטגרל.
לפי סעיף ג, f(x) = ex + g′(x), ולכן פונקציה קדומה של f היא ex + g(x):
S = ∫ln bln2 f(x) dx📐 שטח מעל ציר ה־xS = ∫ba g(x) dx
= [ ex − x + ln(ex − 1) ]ln bln2
x
= ln b: b − ln b + ln(b − 1)
x = ln2: 2 − ln2 + ln1
= 2 − ln2
S
= b − ln b + ln(b − 1) − 2 + ln2
S = b − 2 + ln2(b − 1)b📐 חוקי לוגריתמיםln a + ln c − ln d = lnacd
✅ פתרון סופי: S = b − 2 + ln2(b − 1)b
סעיף ה – הערך של b
b − 2 + ln2(b − 1)b
= b − 2 + ln1.8
2(b − 1)b = 1.8
2b − 2 = 1.8b
0.2b = 2
b = 10
✅ פתרון סופי: b = 10
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | x = 0 , y = −1 |
|---|---|
| סעיף א (2) | אין |
| סעיף א (3) | מינ׳ (ln2 , 3) |
| סעיף ג (1) | x > 0 |
| סעיף ד | b − 2 + ln2(b − 1)b |
| סעיף ה | b = 10 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 25 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה k(x) = xex ונתונה הפונקצייה m(x) = 2ex − 1, המוגדרות לכל x.
א. (1) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־y בעבור כל אחת מהפונקציות. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות (אם יש כאלה). (3) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של כל אחד מהגרפים עם ציר ה־y.
הגרפים של k(x) ו־m(x) נחתכים בשתי נקודות בדיוק: נקודה שבה x = a ונקודה שבה x = b, b > a.
ב. סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף k(x) ושל גרף m(x).
נתונה הפונקצייה f(x) = ex − 1x − 1, המוגדרת לכל x ≠ 1.
ג. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף f(x) עם ציר ה־x.
ד. הסבירו מדוע למשוואה f'(x) = 0 יש בדיוק שני פתרונות.
ה. (1) הסבירו מדוע 1 < b. (2) הביעו באמצעות a ו־b את תחומי העלייה והירידה של f(x).
ו. סרטטו סקיצה של גרף f(x).
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – אסימפטוטות אופקיות
k(x) = xex: כאשר x → −∞, ex שואפת ל־0 מהר יותר מכל חזקה של x, ולכן xex → 0. כאשר x → ∞, k → ∞.
k: y = 0 (x → −∞)
m(x) = 2ex − 1: כאשר x → −∞, ex → 0:
m: y = 2 · 0 − 1
= −1 (x → −∞)
✅ פתרון סופי: k: y = 0 ; m: y = −1 (שתיהן כאשר x → −∞)
סעיף א (2) – עלייה וירידה
k'(x) = 1 · ex + x · ex📐 נגזרת של מכפלה(u · v)' = u'v + uv'
= ex(1 + x)
ex > 0, ולכן הסימן של k' הוא הסימן של 1 + x:
x < −1: k' < 0
x > −1: k' > 0
m'(x) = 2ex > 0📐 נגזרת של e בחזקת x(ex)' = ex
✅ פתרון סופי: k: יורדת x < −1, עולה x > −1 ; m: עולה לכל x
סעיף א (3) – חיתוך עם ציר ה־y
k(0) = 0 · e0 = 0
m(0) = 2e0 − 1 = 2 − 1 = 1
✅ פתרון סופי: k: (0 , 0) ; m: (0 , 1)
סעיף ב – סקיצה של k ו־m
• k: מתקרבת ל־0 מלמטה משמאל, יורדת עד המינימום (−1 , −1e), עולה דרך הראשית ומטפסת מהר.
• m: עולה כל הזמן מ־y = −1 (משמאל) דרך (0 , 1).
• שתי נקודות חיתוך: x = a (שלילי) ו־x = b (חיובי). בין a ל־b הגרף של m מעל זה של k (למשל ב־x = 0: 1 > 0).
✅ פתרון סופי: סקיצה
סעיף ג (1) – אסימפטוטות של f
אנכית: ב־x = 1 המכנה מתאפס והמונה e − 1 ≠ 0.
אופקית: כאשר x → −∞: המונה שואף ל־−1 והמכנה ל־−∞, ולכן f → 0. כאשר x → ∞, ex גדלה מהר יותר מ־x, ולכן f → ∞.
✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 0 (כאשר x → −∞)
סעיף ג (2) – חיתוך עם ציר ה־x
ex − 1 = 0
ex = 1 ⇒ x = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0)
סעיף ד – למה לנגזרת של f יש בדיוק שני אפסים
f'(x)📐 נגזרת של מנה(uv)' = u'v − uv'v2
= ex(x − 1) − (ex − 1) · 1(x − 1)2
f'(x) = xex − 2ex + 1(x − 1)2
f'(x) = k(x) − m(x)(x − 1)2
f'(x) = 0 בדיוק כאשר k(x) = m(x) – כלומר בנקודות החיתוך של שני הגרפים. נתון שיש בדיוק שתיים (x = a, x = b), ושתיהן שונות מ־1 (ב־x = 1: k = e, m = 2e − 1).
✅ פתרון סופי: שני פתרונות: x = a , x = b
סעיף ה (1) – למה 1 < b
נבדוק את ההפרש k − m בשתי נקודות:
x = 1: k − m
= e − (2e − 1) = 1 − e < 0
x = 2: k − m
= 2e2 − 2e2 + 1 = 1 > 0
ההפרש עובר משלילי לחיובי בין 1 ל־2, ולכן אחת מנקודות החיתוך נמצאת בין 1 ל־2. נקודת החיתוך השנייה שלילית (ב־x = 0: k − m = −1 < 0, וב־x = −2: k − m = 1 − 4e−2 > 0). b היא הגדולה מביניהן:
1 < b < 2
✅ פתרון סופי: הוסבר ✓ (b ≈ 1.84, a ≈ −1.15)
סעיף ה (2) – עלייה וירידה של f
המכנה (x − 1)2 חיובי, ולכן הסימן של f' הוא הסימן של k − m. לפי הסקיצה בסעיף ב: k > m משמאל ל־a ומימין ל־b, ו־k < m בין a ל־b.
| x | x < a | a | a < x < 1 | 1 | 1 < x < b | b | x > b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | לא מוגדרת | − | 0 | + |
| f(x) | עולה ↗ | מקס. | יורדת ↘ | יורדת ↘ | מינ. | עולה ↗ |
✅ פתרון סופי: עולה: x < a , x > b ; יורדת: a < x < 1 , 1 < x < b
סעיף ו – סקיצה של f
• משמאל: מתקרבת ל־y = 0 (מלמעלה, כי המונה והמכנה שליליים), עולה עד מקסימום ב־x = a.
• יורדת דרך (0 , 0) אל −∞ כאשר x → 1−.
• מימין ל־1: יורדת מ־+∞ עד מינימום ב־x = b, ואז עולה לאין־סוף.
✅ פתרון סופי: סקיצה
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| א (1) | k: y = 0, m: y = −1 |
|---|---|
| א (2) | k: יורדת x < −1, עולה x > −1 m: עולה לכל x |
| א (3) | (0 , 0), (0 , 1) |
| ג (1) | x = 1, y = 0 |
| ג (2) | (0 , 0) |
| ה (2) | עולה x < a, x > b יורדת a < x < 1, 1 < x < b |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – נגזרת פונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 4 פרמטר · אינטגרל · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ex − b(ex − 4)2 , b הוא פרמטר חיובי, b ≠ 4.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. הביעו באמצעות b אם יש צורך.
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון שבה x = ln 12.
ב. מצאו את הערך של b, וקבעו את סוג הקיצון.
הציבו את הערך של b שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ו.
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x).
ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה g(x) המאונכות לצירים.
ד. סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה f(x) ושל גרף הפונקציה g(x).
ה. מהו שיעור ה־y של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם גרף הפונקציה g(x)? נמקו את תשובתכם.
ו. קבעו אם הערך של ∫−2−1 (f(x) − g(x))dx קטן או גדול מ־112. נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
המכנה חייב להיות שונה מ־0:
ex − 4 ≠ 0📐 נוסחה: תחום הגדרההמכנה שונה מ־0
ex ≠ 4
x ≠ ln 4📐 נוסחה: משוואה מעריכיתex = a ⟺ x = ln a (a > 0)
✅ פתרון סופי: x ≠ ln 4
סעיף א (2) – אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב־x = ln 4. נבדוק את המונה בנקודה זו:
eln 4 − b = 4 − b ≠ 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס
(כי נתון b ≠ 4), ולכן:
x = ln 4
אסימפטוטה אופקית כאשר x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־e2x:
f(x) = e−x − b · e−2x(1 − 4e−x)2📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקיתx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
x → ∞ : f(x) → 0 − 0(1 − 0)2 = 0
y = 0
אסימפטוטה אופקית כאשר x → −∞: ex → 0:
x → −∞ : f(x) → 0 − b(0 − 4)2 = −b16📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקיתx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
y = −b16
✅ פתרון סופי: x = ln 4 , y = 0 (מימין) , y = −b16 (משמאל)
סעיף א (3) – נקודות החיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־x (y = 0): מנה מתאפסת כשהמונה מתאפס:
ex − b = 0
ex = b
x = ln b📐 נוסחה: משוואה מעריכיתex = a ⟺ x = ln a (a > 0)
(b > 0, ולכן ln b מוגדר, ו־ln b ≠ ln 4 כי b ≠ 4.)
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = e0 − b(e0 − 4)2 = 1 − b(−3)2 = 1 − b9
✅ פתרון סופי: (ln b , 0) , (0 , 1 − b9)
סעיף ב – הערך של b וסוג הקיצון
נגזור לפי נגזרת של מנה. המונה u = ex − b, המכנה v = (ex − 4)2:
u′ = ex📐 נוסחה: נגזרת(ex)′ = ex
v′ = 2(ex − 4) · ex📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת((ex − 4)2)′ = 2(ex − 4) · ex
f′(x) = u′v − uv′v2 = u′v − uv′(ex − 4)4📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
נחשב את המונה:
u′v = ex(ex − 4)2
uv′ = (ex − b) · 2(ex − 4)ex
u′v − uv′ = ex(ex − 4)2 −
− 2ex(ex − b)(ex − 4)
נוציא גורם משותף ex(ex − 4) במונה ונצמצם:
f′(x) = ex[(ex − 4) − 2(ex − b)](ex − 4)3
f′(x) = ex(2b − 4 − ex)(ex − 4)3
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. נציב x = ln 12 (eln 12 = 12):
f′(ln 12) = 12(2b − 4 − 12)(12 − 4)3 = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0והנגזרת מחליפה סימן
2b − 16 = 0
b = 8
נציב b = 8 בנגזרת:
f′(x) = ex(12 − ex)(ex − 4)3
נבדוק את סימן הנגזרת משני צידי x = ln 12 (בתחום x > ln 4 המכנה חיובי):
x = ln 8 : f′ = 8(12 − 8)43 > 0
x = ln 16 : f′ = 16(12 − 16)123 < 0
הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – הפונקציה עולה ואחר כך יורדת, ולכן זו נקודת מקסימום:
f(ln 12) = 12 − 8(12 − 4)2 = 464 = 116
✅ פתרון סופי: b = 8 , נקודת מקסימום (ln 12 , 116)
סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g
עם b = 8:
g(x) = 1f(x) = (ex − 4)2ex − 8
g(x) מוגדרת רק כאשר f(x) מוגדרת ושונה מ־0.
f(x) לא מוגדרת ב־x = ln 4 (סעיף א).
f(x) = 0 כאשר ex = 8:
x = ln 8📐 נוסחה: משוואה מעריכיתex = a ⟺ x = ln a (a > 0)
✅ פתרון סופי: x ≠ ln 4 , x ≠ ln 8
סעיף ג (2) – אסימפטוטות של g
אנכית: המכנה של g מתאפס ב־x = ln 8, והמונה שם:
(8 − 4)2 = 16 ≠ 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס
x = ln 8
ב־x = ln 4 המונה מתאפס והמכנה 4 − 8 = −4, כלומר הביטוי שואף ל־0 – זו נקודה שחסרה בתחום ולא אסימפטוטה.
אופקית כאשר x → −∞ (ex → 0):
g(x) → (0 − 4)20 − 8 = 16−8 = −2📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקיתx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
y = −2
כאשר x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־ex:
g(x) = ex − 8 + 16e−x1 − 8e−x📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקיתx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
המונה שואף ל־∞ והמכנה ל־1, ולכן g(x) → ∞ – אין אסימפטוטה אופקית מימין.
✅ פתרון סופי: x = ln 8 , y = −2 (משמאל)
סעיף ד – סקיצה של f(x) ושל g(x)
הגרף של f(x) (עם b = 8):
• משמאל מתקרב לאסימפטוטה y = −816 = −12, חותך את ציר ה־y ב־(0 , −79) ויורד ל־−∞ ליד x = ln 4.
• בתחום x < ln 4 הנגזרת שלילית (המונה חיובי והמכנה (ex − 4)3 שלילי) – יורדת.
• מימין ל־x = ln 4 עולה מ־−∞, חותכת את ציר ה־x ב־(ln 8 , 0), מגיעה למקסימום (ln 12 , 116) ויורדת אל y = 0.
הגרף של g(x): בלי לגזור – קוראים אותו מתוך הגרף של f, קטע אחרי קטע:
g = 1f📐 משפט: הגרף של 1 חלקי ff עולה ⇐ 1f יורדת (ולהפך)
מקסימום של f ⇐ מינימום של 1f
כש־f = 0 ⇐ אסימפטוטה אנכית של 1f
כש־f → ±∞ ⇐ 1f → 0
אסימפטוטה y = c של f ⇐ אסימפטוטה y = 1c של 1f
מקסימום של f ⇐ מינימום של 1f
כש־f = 0 ⇐ אסימפטוטה אנכית של 1f
כש־f → ±∞ ⇐ 1f → 0
אסימפטוטה y = c של f ⇐ אסימפטוטה y = 1c של 1f
• x < ln 4: f יורדת מ־−12 אל −∞.
⇐ g עולה מ־−2 (אסימפטוטה) ומתקרבת ל־0 (בנקודה (ln 4 , 0) – עיגול ריק, היא לא בתחום).
• ln 4 < x < ln 8: f עולה מ־−∞ אל 0.
⇐ g יורדת מ־0 אל −∞ (ב־x = ln 8 יש f = 0, ולכן שם אסימפטוטה של g).
• ln 8 < x < ln 12: f עולה מ־0 עד המקסימום 116.
⇐ g יורדת מ־+∞ עד g(ln 12) = 11/16 = 16.
• מקסימום של f ב־(ln 12 , 116) ⇐ מינימום של g ב־(ln 12 , 16).
• x > ln 12: f יורדת מ־116 אל 0.
⇐ g עולה מ־16 אל ∞.
━ f(x) (כחול) ━ g(x) (ירוק) ━ נקודות החיתוך (סגול)
מימין ל־ln 8 הגרף של g יוצא מגבולות הסרטוט. כאן הוא בקנה מידה אחר, עם המינימום שלו:
סעיף ה – שיעור ה־y של נקודות החיתוך
בנקודת חיתוך f(x) = g(x), כלומר:
f(x) = 1f(x)
f2(x) = 1
f(x) = 1 או f(x) = −1
הערך הגדול ביותר של f הוא המקסימום 116 (משמאל ל־ln 4 הפונקציה שלילית), ולכן f(x) = 1 לא מתקבל.
הערך f(x) = −1 מתקבל: משמאל ל־ln 4 הפונקציה יורדת מ־−12 ל־−∞, ובין ln 4 ל־ln 8 היא עולה מ־−∞ ל־0.
בנקודות החיתוך y = f(x) = −1 (וגם g(x) = 1−1 = −1).
✅ פתרון סופי: y = −1
סעיף ו – האם האינטגרל קטן או גדול מ־1½
הקטע −2 ≤ x ≤ −1 נמצא כולו בתחום x < ln 4.
בתחום הזה f יורדת מהאסימפטוטה y = −12, ולכן:
f(x) < −12
בתחום הזה g עולה מהאסימפטוטה y = −2, ולכן:
g(x) > −2
−g(x) < 2
נחבר את שני אי־השוויונות:
f(x) − g(x) < −12 + 2 = 112
אורך הקטע הוא −1 − (−2) = 1. לכן:
∫−2−1 (f(x) − g(x))dx < 112 · 1📐 משפט: חסם לאינטגרלאם h(x) < c בכל הקטע [a , b] אז∫ab h(x)dx < c(b − a)
(לבדיקה במחשבון: ערך האינטגרל בערך 1.28.)
✅ פתרון סופי: הערך קטן מ־112
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | x ≠ ln 4 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = ln 4 y = 0 (מימין) y = −b16 (משמאל) |
| סעיף א (3) | (ln b , 0) , (0 , 1 − b9) |
| סעיף ב | b = 8 , מקסימום (ln 12 , 116) |
| סעיף ג (1) | x ≠ ln 4 , x ≠ ln 8 |
| סעיף ג (2) | x = ln 8 , y = −2 (משמאל) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | y = −1 |
| סעיף ו | קטן מ־1½ |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ואסימפטוטה והשלכה על 1 חלקי f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 4 פרמטר · שטח
📄 נוסח השאלה
נתונות הפונקציות: f(x) = a − x2ex , g(x) = (x + 1)2ex המוגדרות לכל x. a הוא פרמטר.
א. מצאו את הערך של a שבעבורו f(x) = g′(x) לכל ערך של x.
הציבו את הערך של a שמצאתם, וענו על הסעיפים ב–ה שלפניכם.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם הצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו באותה מערכת צירים סקיצות של גרף הפונקציה f(x) ושל גרף הפונקציה g(x).
ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x.
ה. חשבו את הערך של הביטוי: ∫12 (e2x(x + 1)4) · (x2 − 1ex) dx.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הערך של a
נגזור את g(x):
g′(x) = 2(x + 1) · ex − (x + 1)2 · exe2x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
הנגזרת של ex היא ex עצמה.📐 נגזרת של e בחזקת x(ex)′ = ex
נצמצם ב־ex:
g′(x) = 2(x + 1) − (x + 1)2ex
= (x + 1)(2 − x − 1)ex
= (x + 1)(1 − x)ex
= 1 − x2ex
נשווה ל־f(x) = a − x2ex לכל x:
a − x2 = 1 − x2
a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ב (1) – חיתוך של f עם הצירים
f(x) = 1 − x2ex
חיתוך עם ציר ה־x (y = 0). ex > 0 תמיד, ולכן רק המונה מתאפס:
1 − x2 = 0
x = 1
או
x = −1
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = 1 − 0e0 = 1
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (−1 , 0) , (0 , 1)
סעיף ב (2) – חיתוך של g עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־x:
(x + 1)2 = 0 ⟸ x = −1
חיתוך עם ציר ה־y:
g(0) = 12e0 = 1
✅ פתרון סופי: (−1 , 0) , (0 , 1)
סעיף ב (3) – נקודות קיצון
הפונקציה f(x):
f′(x) = −2x · ex − (1 − x2) · exe2x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= −2x − 1 + x2ex
= x2 − 2x − 1ex
x2 − 2x − 1 = 0
x = 2 ± √4 + 42📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
x = 1 ± √2
סימן f′ כסימן המונה (פרבולה "מחייכת"): חיובי משמאל ל־1 − √2, שלילי בין השורשים, חיובי מימין ל־1 + √2.
f(1 − √2) = 1 − (1 − √2)2e1 − √2
= 2√2 − 2e1 − √2 ≈ 1.25
f(1 + √2) = −2√2 − 2e1 + √2 ≈ −0.43
עלייה ואז ירידה – מקסימום ב־x = 1 − √2; ירידה ואז עלייה – מינימום ב־x = 1 + √2.
הפונקציה g(x): מסעיף א g′(x) = f(x) = 1 − x2ex.
g′(x) = 0 ⟸ x = ±1
סימן g′ כסימן 1 − x2: שלילי ב־x < −1, חיובי ב־−1 < x < 1, שלילי ב־x > 1.
g(−1) = 0
g(1) = 4e ≈ 1.47
ב־x = −1 מינימום, ב־x = 1 מקסימום.
✅ פתרון סופי: f: מקסימום (1 − √2 , 1.25), מינימום (1 + √2 , −0.43)
g: מינימום (−1 , 0), מקסימום (1 , 4e)
g: מינימום (−1 , 0), מקסימום (1 , 4e)
סעיף ג – סקיצה
גרף f (כחול) וגרף g (סגול), בקנה מידה. נקודות הקיצון מסומנות. כש־x גדל מאוד שתי הפונקציות שואפות ל־0 (המכנה ex גדל מהר מאוד), וכש־x קטן מאוד f שואפת למינוס אינסוף ו־g לאינסוף.
השטח הירוק (ירוק חלש) הוא השטח של סעיף ד.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – השטח
גרף f חותך את ציר ה־x ב־x = −1 וב־x = 1, וביניהן הוא מעל הציר. השטח הסגור:
S = ∫−11 f(x) dx📐 אינטגרל מסוים∫ab f(x) dx = G(b) − G(a)
מסעיף א g(x) היא פונקציה קדומה של f(x):
S = g(1) − g(−1)
= 4e − 0
= 4e ≈ 1.47
✅ פתרון סופי: 4e ≈ 1.47
סעיף ה – האינטגרל
נזהה את הגורמים לפי f ו־g:
e2x(x + 1)4 = 1((x + 1)2ex)2
= 1g2(x)
x2 − 1ex = −1 − x2ex
= −f(x) = −g′(x)
לכן הביטוי שבתוך האינטגרל:
−g′(x)g2(x)
זו הנגזרת של 1g(x):📐 נגזרת של 1 חלקי פונקציה(1u)′ = −u′u2
∫12 −g′(x)g2(x) dx = [1g(x)]12
= [ex(x + 1)2]12📐 אינטגרל מסוים∫ab f(x) dx = G(b) − G(a)
= e29 − e4
≈ 0.821 − 0.680
≈ 0.14
✅ פתרון סופי: e29 − e4 ≈ 0.14
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | a = 1 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | (1 , 0) , (−1 , 0) , (0 , 1) |
| סעיף ב (2) | (−1 , 0) , (0 , 1) |
| סעיף ב (3) | f: מקסימום (1 − √2 , 1.25), מינימום (1 + √2 , −0.43) g: מינימום (−1 , 0), מקסימום (1 , 4e) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | 4e ≈ 1.47 |
| סעיף ה | e29 − e4 ≈ 0.14 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 25 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4 פרמטר · אינטגרל
📄 נוסח השאלה
f(x) היא פונקצייה המוגדרת לכל x, ו־f′(x) היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל x.
נתון: f′(x) = −2x · e−x2a. a הוא פרמטר.
לפונקצייה f(x) יש נקודת פיתול בנקודה שבה x = √2.
א. מצאו את a.
נתון: f(0) = a.
ב. מצאו את הפונקצייה f(x).
ג. (1) האם הפונקצייה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).
(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונות הפונקציות h(x) = 1f′(x) , m(x) = eh(x).
שלושה מבין הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתארים את הפונקציות f′(x) , h(x) , m(x).
ד. התאימו לכל פונקצייה את הגרף המתאר אותה.
ה. (1) מצאו את תחומי הירידה של הפונקצייה m(x).
(2) קבעו אם הביטוי ∫21 h(x) · m(x) dx חיובי או שלילי. נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הערך של a
f″(x) = −2 · e−x2a + (−2x) · (−2xa)📐 נגזרת של מכפלה ושל e בחזקת פונקציה(uv)′ = u′v + uv′
(eu)′ = u′ · eu
(eu)′ = u′ · eu
· e−x2a
f″(x) = e−x2a(−2 + 4x2a)
בנקודת פיתול f″ = 0; e−x2a > 0:📐 נקודת פיתולf″ = 0 ומחליפה סימן
−2 + 4x2a = 0
x2 = a2
(√2)2 = a2
a = 4
בדיקה: הביטוי −2 + x2 מחליף סימן ב־x = √2.
✅ פתרון סופי: a = 4
סעיף ב – הפונקצייה f(x)
f′(x) = −2x · e−x24
נחפש פונקצייה שהנגזרת שלה היא f′. לפי (eu)′ = u′ · eu:
(e−x24)′ = −x2 · e−x24📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(eu)′ = u′ · eu
(4e−x24)′ = −2x · e−x24
f(x) = 4e−x24 + C
f(0) = 4 + C = 4 , C = 0
✅ פתרון סופי: f(x) = 4e−x24
סעיף ג (1) – זוגיות
f(−x) = 4e−(−x)24 = 4e−x24 = f(x)📐 פונקצייה זוגיתf(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: זוגית
סעיף ג (2) – אסימפטוטות
הפונקצייה מוגדרת לכל x – אין אסימפטוטה אנכית.
כאשר x → ±∞: −x24 → −∞, ולכן:
4e−x24 → 0
✅ פתרון סופי: y = 0
סעיף ג (3) – נקודת הקיצון
f′(x) = −2x · e−x24 = 0
x = 0
הסימן של f′ הפוך לסימן של x:
x < 0 : f′(x) > 0
x > 0 : f′(x) < 0
f(0) = 4e0 = 4
✅ פתרון סופי: (0 , 4) מקסימום
סעיף ג (4) – סקיצה
זוגית, עולה עד (0 , 4) ואחר כך יורדת, שואפת ל־0 משני הצדדים, ונקודות פיתול ב־x = ±√2.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד – התאמת הגרפים
f′(x) = −2x · e−x24
הנגזרת חיובית כאשר x < 0, שלילית כאשר x > 0, עוברת בראשית ושואפת ל־0. זה גרף I.
h(x) = 1f′(x) = −ex242x
הפונקצייה h לא מוגדרת ב־x = 0 (אסימפטוטה אנכית), חיובית כאשר x < 0, שלילית כאשר x > 0, ושואפת ל־±∞. זה גרף II.
m(x) = eh(x) > 0
כאשר x < 0 מתקיים h > 0, ולכן m > 1.
כאשר x > 0 מתקיים h < 0, ולכן 0 < m < 1.
ליד הראשית מימין h → −∞, ולכן m → 0. זה גרף III.
✅ פתרון סופי: f′(x) – גרף I
h(x) – גרף II
m(x) – גרף III
h(x) – גרף II
m(x) – גרף III
סעיף ה (1) – תחומי הירידה של m
לא גוזרים את h ואת m. קוראים מהגרפים: קודם f′, אחר כך h = 1f′, ובסוף m = eh.
סקיצה 1 – הגרף של f′(x) (כחול, גרף I):
ל־f יש נקודת פיתול ב־x = √2 (נתון), ומכיוון ש־f זוגית – גם ב־x = −√2. בנקודות האלה ל־f′ יש נקודות קיצון.📐 משפטנקודת פיתול של f היא נקודת קיצון של f′
f′(−√2) = 2√2 · e−0.5 ≈ 1.72
f′(√2) = −2√2 · e−0.5 ≈ −1.72
מהגרף: f′ עולה ב־x < −√2 וב־x > √2, ויורדת ב־−√2 < x < √2.
סקיצה 2 – הגרף של h(x) (סגול, גרף II):
f′ לא מחליפה סימן בתוך x < 0 ובתוך x > 0. לכן h יורדת איפה ש־f′ עולה, ועולה איפה ש־f′ יורדת. ב־x = 0 f′ = 0, ולכן ל־h יש שם אסימפטוטה אנכית.📐 הפונקציה 1 חלקי fבקטע שבו f לא מחליפה סימן: f עולה ⇐ 1f יורדת; f יורדת ⇐ 1f עולה
מהגרף: h יורדת ב־x < −√2 וב־x > √2.
הפונקציה m: m = eh, ו־et פונקציה עולה. לכן m יורדת בדיוק איפה ש־h יורדת.📐 פונקציה מעריכיתet עולה, ולכן eh(x) עולה ויורדת יחד עם h(x)
x < −√2 , x > √2
✅ פתרון סופי: x < −√2 , x > √2
סעיף ה (2) – סימן האינטגרל
בתחום 1 ≤ x ≤ 2:
h(x) = −ex242x < 0
m(x) = eh(x) > 0
h(x) · m(x) < 0
הפונקצייה שמתחת לאינטגרל שלילית בכל התחום, והגבול העליון גדול מן התחתון:📐 אינטגרל של פונקצייה שליליתf < 0 בתחום – האינטגרל שלילי
✅ פתרון סופי: שלילי
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | a = 4 |
|---|---|
| סעיף ב | f(x) = 4e−x24 |
| סעיף ג (1) | זוגית |
| סעיף ג (2) | y = 0 |
| סעיף ג (3) | (0 , 4) מקסימום |
| סעיף ג (4) | ראו סקיצה |
| סעיף ד | f′(x) – גרף I h(x) – גרף II m(x) – גרף III |
| סעיף ה (1) | x < −√2 , x > √2 |
| סעיף ה (2) | שלילי |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 30 – הרכבה על פונקציה: e בחזקת f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 5 שטח · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = exex − 4.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).
(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ב. נתונה הפונקציה g(x) המקיימת: g(x) = 1f(x). הפונקציות g(x) ו־f(x) מוגדרות באותו התחום.
(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה).
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
(3) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי האסימפטוטה האופקית שלה ועל ידי הישרים x = ln 5 ו־x = ln 8.
ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם גרף הפונקציה g(x).
נתונה הפונקציה s(x) = ∫xln 3 (f(t) − g(t)) dt , המוגדרת בתחום x < ln 3.
ד. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה s(x) וקבעו את סוגה.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
ex − 4 ≠ 0
ex ≠ 4
x ≠ ln 4📐 מעבר מ־e ל־lnex = b ⟺ x = ln b
✅ פתרון סופי: x ≠ ln 4
סעיף א (2) – אסימפטוטות
אנכית: ב־x = ln 4 המכנה מתאפס והמונה eln 4 = 4 ≠ 0:
x = ln 4
אופקית, כש־x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־ex:
f(x) = 11 − 4e−x → 11 − 0 = 1
y = 1
אופקית, כש־x → −∞: ex → 0:
f(x) → 00 − 4 = 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = ln 4 , y = 1 , y = 0
סעיף א (3) – עלייה וירידה
f′(x) = ex(ex − 4) − ex · ex(ex − 4)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= e2x − 4ex − e2x(ex − 4)2
= −4ex(ex − 4)2
המונה שלילי תמיד והמכנה חיובי.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־x < ln 4 וב־x > ln 4 (אין עלייה).
✅ פתרון סופי: עלייה: אין ; ירידה: x < ln 4 , x > ln 4
סעיף א (4) – סקיצה של f
בקטע x < ln 4: המכנה שלילי, ולכן f < 0. הגרף יורד מ־0 (כש־x → −∞) דרך (0 , −13) עד מינוס אינסוף.
בקטע x > ln 4: f > 0. הגרף יורד מאינסוף אל 1.
הסקיצה (כחול), האסימפטוטות מקווקוות (תכלת):
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ב (1) – האסימפטוטות של g
לא גוזרים את g. קוראים הכול מהסקיצה של f (סעיף א(4)), לפי הכללים של 1f:
אנכית: ל־f אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x (המונה ex > 0), כלומר f לא שואפת ל־0 באף נקודה סופית – ולכן ל־g אין אסימפטוטה אנכית.📐 הפונקציה 1 חלקי fכש־f → ±∞ ⇐ 1f → 0
כש־f → 0 ⇐ 1f → ±∞
כש־f → 1 ⇐ 1f → 1
כש־f → 0 ⇐ 1f → ±∞
כש־f → 1 ⇐ 1f → 1
ב־x = ln 4: f → ±∞, ולכן g → 0. הנקודה לא בתחום ההגדרה, ולכן בנקודה (ln 4 , 0) יש "חור" בגרף.
אופקית: כש־x → ∞: f → 1, ולכן g → 1:
y = 1
כש־x → −∞: f → 0 מלמטה (f < 0), ולכן g → −∞ – אין אסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: y = 1
סעיף ב (2) – סקיצה של g
סקיצה 1 היא הסקיצה של f (סעיף א(4)). ממנה בונים את סקיצה 2 – הגרף של g, בלי לגזור:
f יורדת בכל אחד משני הקטעים ולא מחליפה בהם סימן, ולכן g עולה בכל קטע. אין נקודות קיצון.📐 הפונקציה 1 חלקי fל־f ול־1f אותו סימן. בקטע שבו f לא מחליפה סימן: f יורדת ⇐ 1f עולה
f(0) = −13 ⟸ g(0) = −3
ב־x < ln 4: f < 0, ולכן גם g < 0. g עולה מ־−∞ דרך (0 , −3) אל החור (ln 4 , 0).
ב־x > ln 4: f > 1, ולכן 0 < g < 1. g עולה מ־0 אל 1 – מתחת לאסימפטוטה y = 1.
הסקיצה (סגול); השטח של סעיף ב(3) צבוע ירוק חלש:
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ב (3) – השטח
לחישוב השטח נכתוב את g בצורה פשוטה:
g(x) = 1f(x) = ex − 4ex
= 1 − 4ex = 1 − 4e−x
g(x) < 1 לכל x, ולכן האסימפטוטה y = 1 מעל הגרף:
S = ∫ln 5ln 8 (1 − g(x)) dx
= ∫ln 5ln 8 4e−x dx
= [−4e−x]ln 5ln 8📐 אינטגרל של e∫ e−x dx = −e−x + C
e−ln 8 = 18 , e−ln 5 = 15
= −48 + 45
= −0.5 + 0.8 = 0.3
✅ פתרון סופי: S = 0.3
סעיף ג – נקודת החיתוך
exex − 4 = ex − 4ex
e2x = (ex − 4)2
e2x = e2x − 8ex + 16
8ex = 16
ex = 2 ⟸ x = ln 2
f(ln 2) = 22 − 4 = −1
✅ פתרון סופי: (ln 2 , −1)
סעיף ד – הקיצון של s
s′(x) = −(f(x) − g(x))📐 נגזרת של אינטגרל עם גבול משתנה(∫xc h(t) dt)′ = −h(x)
f(x) − g(x) = exex − 4 − ex − 4ex
= e2x − (ex − 4)2ex(ex − 4)
= 8ex − 16ex(ex − 4)
s′(x) = −8(ex − 2)ex(ex − 4)
s′(x) = 0 ⟸ ex = 2 ⟸ x = ln 2
בתחום x < ln 3: ex < 3 < 4, ולכן ex(ex − 4) < 0. הסימן של s′:
• x < ln 2: ex − 2 < 0, השבר חיובי, ו־s′(x) < 0 – יורדת.
• ln 2 < x < ln 3: ex − 2 > 0, השבר שלילי, ו־s′(x) > 0 – עולה.
ירידה ואז עלייה – מינימום ב־x = ln 2.
✅ פתרון סופי: x = ln 2 – מינימום
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x ≠ ln 4 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = ln 4 , y = 1 , y = 0 |
| סעיף א (3) | עלייה: אין ; ירידה: x < ln 4 , x > ln 4 |
| סעיף א (4) | סקיצה |
| סעיף ב (1) | y = 1 |
| סעיף ב (2) | סקיצה |
| סעיף ב (3) | S = 0.3 |
| סעיף ג | (ln 2 , −1) |
| סעיף ד | x = ln 2 – מינימום |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה, אסימפטוטה והשלכה על 1 חלקי f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 4 שטח · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (ex − 1)n − 4 , המוגדרת לכל x. n הוא מספר טבעי גדול או שווה ל־2.
ענו על סעיף א עבור n זוגי ועבור n אי־זוגי.
א. (1) מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן (אם יש כאלה).
(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ענו על הסעיפים ב–ג עבור n = 2.
נתונה הפונקציה g(x) = 3ex − 7 , המוגדרת לכל x.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך שבין גרף הפונקציה f(x) ובין גרף הפונקציה g(x).
(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי גרף הפונקציה g(x).
נתונה הפונקציה h(x) = |f(x)| , המוגדרת לכל x.
ג. (1) כמה נקודות קיצון יש לפונקציה h(x)? מצאו את שיעורי הנקודות הללו, וקבעו את סוגן.
(2) מצאו את תחום הערכים של k שבעבורו הישר y = k חותך את גרף הפונקציה h(x) ב־3 נקודות.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – האסימפטוטה האופקית
כאשר x → ∞: ex − 1 → ∞, ולכן f(x) → ∞ – אין אסימפטוטה מימין.
כאשר x → −∞:
ex → 0 ⟹ (ex − 1)n → (−1)n📐 נוסחה: גבולx → −∞ ⟹ ex → 0
n זוגי:
(−1)n = 1 ⟹ y = 1 − 4 = −3
n אי־זוגי:
(−1)n = −1 ⟹ y = −1 − 4 = −5
✅ פתרון סופי: n זוגי: y = −3 ; n אי־זוגי: y = −5
סעיף א (2) – נקודות קיצון
f′(x) = n(ex − 1)n−1 · ex📐 נוסחה: נגזרת של חזקה (כלל השרשרת)((g(x))n)′ = n(g(x))n−1 · g′(x)(ex)′ = ex
n > 0 ו־ex > 0, ולכן:
f′(x) = 0 ⟺ ex − 1 = 0 ⟺ x = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
f(0) = 0n − 4 = −4
הסימן של ex − 1: שלילי עבור x < 0, חיובי עבור x > 0.
n זוגי: n − 1 אי־זוגי, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של ex − 1:
ב־x < 0 מתקיים f′ < 0, ולכן f יורדת.
ב־x > 0 מתקיים f′ > 0, ולכן f עולה.
לכן ב־(0 , −4) יש נקודת מינימום.
n אי־זוגי: n − 1 זוגי, ולכן (ex − 1)n−1 ≥ 0.
אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית, חוץ מ־x = 0 (שם היא 0 ולא מחליפה סימן), ולכן f עולה בכל התחום.
✅ פתרון סופי: n זוגי: (0 , −4) מינימום ; n אי־זוגי: אין קיצון
סעיף א (3) – סקיצה
n זוגי: משמאל הגרף מתקרב ל־y = −3 מלמטה, יורד עד המינימום (0 , −4) ואחר כך עולה ל־∞.
n אי־זוגי: משמאל הגרף מתקרב ל־y = −5 מלמעלה, עולה כל הזמן, עובר ב־(0 , −4) עם משיק אופקי וממשיך לעלות ל־∞.
━ n זוגי (כחול) ━ n אי־זוגי (ירוק)
סעיף ב (1) – נקודות החיתוך
עבור n = 2:
f(x) = (ex − 1)2 − 4
f(x) = e2x − 2ex + 1 − 4
f(x) = e2x − 2ex − 3
נשווה:
e2x − 2ex − 3 = 3ex − 7
e2x − 5ex + 4 = 0
נסמן t = ex:
t2 − 5t + 4 = 0
(t − 1)(t − 4) = 0
ex = 1 ⟹ x = 0📐 נוסחה: לוגריתםex = b ⟺ x = ln b
ex = 4 ⟹ x = ln 4
g(0) = 3 − 7 = −4
g(ln 4) = 3 · 4 − 7 = 5
✅ פתרון סופי: (0 , −4) , (ln 4 , 5)
סעיף ב (2) – השטח
בדיקה בנקודה x = ln 2 שבין נקודות החיתוך: g(ln 2) = −1 , f(ln 2) = −3 – הגרף של g מעל.
S = ∫0ln 4 (g(x) − f(x))dx📐 נוסחה: שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (g(x) − f(x))dx(g מעל f)
g(x) − f(x) = −e2x + 5ex − 4
S = [−12e2x + 5ex − 4x]0ln 4📐 נוסחה: אינטגרלים∫ ekxdx = 1kekx + c
S = (−162 + 20 − 4 ln 4) −
− (−12 + 5)
S = 12 − 4 ln 4 − 4.5
S = 7.5 − 4 ln 4 ≈ 1.955
━ f(x) (כחול) ━ g(x) (ירוק) ━ השטח (תכלת)
✅ פתרון סופי: S = 7.5 − 4 ln 4 ≈ 1.955
סעיף ג (1) – נקודות הקיצון של h(x)
חיתוך של f עם ציר ה־x:
(ex − 1)2 = 4
ex − 1 = 2 ⟹ x = ln 3📐 נוסחה: לוגריתםex = b ⟺ x = ln b
(ex − 1 = −2 אין פתרון, כי ex > 0.)
f < 0 עבור x < ln 3, ו־f > 0 עבור x > ln 3.
בתחום x < ln 3: h = −f. המינימום של f ב־(0 , −4) הופך למקסימום (0 , 4).📐 נוסחה: גרף של ערך מוחלטh(x) = |f(x)|החלק שמתחת לציר ה־x משתקף כלפי מעלה
ב־x = ln 3 הגרף של h יורד ל־0 ועולה שוב (חוד), ו־h ≥ 0 – נקודת מינימום (ln 3 , 0).
מימין ל־ln 3 h = f עולה, ומשמאל h עולה מ־3 (האסימפטוטה y = 3) עד 4.
━ h(x) (כחול) ━ ישר y = k עם 3 < k < 4 (סגול) ━ הפס 3 < y < 4 (צהוב)
✅ פתרון סופי: שתי נקודות: (0 , 4) מקסימום , (ln 3 , 0) מינימום
סעיף ג (2) – תחום הערכים של k
לפי הגרף של h:
• x < 0: h עולה מ־3 (לא כולל) עד 4 – ערכים 3 < y ≤ 4.
• 0 < x < ln 3: h יורדת מ־4 עד 0.
• x > ln 3: h עולה מ־0 ל־∞.
ישר y = k עם 3 < k < 4 חותך כל אחד משלושת החלקים פעם אחת – 3 נקודות.
עבור k = 4: 2 נקודות (המקסימום ועוד אחת מימין). עבור 0 < k ≤ 3: 2 נקודות. עבור k > 4: נקודה אחת.
✅ פתרון סופי: 3 < k < 4
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | זוגי y = −3 , אי־זוגי y = −5 |
|---|---|
| סעיף א (2) | זוגי (0 , −4) מינימום , אי־זוגי אין |
| סעיף א (3) | סקיצה |
| סעיף ב (1) | (0 , −4) , (ln 4 , 5) |
| סעיף ב (2) | 7.5 − 4 ln 4 ≈ 1.955 |
| סעיף ג (1) | 2: (0 , 4) מקסימום , (ln 3 , 0) מינימום |
| סעיף ג (2) | 3 < k < 4 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – פתרון בגרות קיץ 2023
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 4 שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 2e2xe2x − 5ex + 4.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = 5exe2x − 5ex + 4, המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך בין גרף הפונקצייה f(x) ובין גרף הפונקצייה g(x).
לפניכם סרטוט הגרפים של שתי הפונקציות f(x) ו־g(x). כל אחד מן החלקים של הגרפים מסומן בסרטוט בספרה אחרת.
ג. רשמו לאיזו פונקצייה שייך כל אחד מן החלקים המסומנים בסרטוט. נמקו את תשובתכם.
ד. לפניכם שני ביטויים, I–II. קבעו בנוגע לכל אחד מן הביטויים אם הוא שלילי או חיובי. נמקו ללא חישוב.
I. ∫−1−4 (f(x) − g(x)) dx II. ∫ln 8ln 5 (f(x) − g(x)) dx
ה. חשבו את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות f(x) ו־g(x) ובין הישרים x = ln 9 ו־x = ln 16.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
נסמן t = ex. המכנה:
t2 − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4)
ex ≠ 1 , x ≠ 0
ex ≠ 4 , x ≠ ln 4
✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ ln 4
סעיף א (2) – אסימפטוטות
ב־x = 0 וב־x = ln 4 המכנה מתאפס והמונה לא – אסימפטוטות אנכיות.
כאשר x → ∞ נחלק מונה ומכנה ב־e2x:
f(x) = 21 − 5e−x + 4e−2x → 21 = 2
כאשר x → −∞: ex → 0, המונה שואף ל־0 והמכנה ל־4:
f(x) → 04 = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = ln 4 , y = 2 , y = 0
סעיף א (3) – עלייה וירידה
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 4e2x(e2x − 5ex + 4) − 2e2x(2e2x − 5ex)(e2x − 5ex + 4)2
נפתח את המונה:
4e4x − 20e3x + 16e2x − 4e4x + 10e3x
= −10e3x + 16e2x = 2e2x(8 − 5ex)
המכנה בריבוע חיובי, ולכן הסימן של f′ כסימן של 8 − 5ex:
8 − 5ex = 0 , ex = 1.6 , x
= ln 1.6
x < ln 1.6 : f′(x) > 0
x > ln 1.6 : f′(x) < 0
✅ פתרון סופי: עלייה: x < 0 , 0 < x < ln 1.6
ירידה: ln 1.6 < x < ln 4 , x > ln 4
ירידה: ln 1.6 < x < ln 4 , x > ln 4
סעיף ב – נקודת החיתוך של f ו־g
למונים אותו מכנה, ולכן משווים מונים:
2e2x = 5ex
ex = 2.5 , x = ln 2.5
f(ln 2.5) = 2 · 6.256.25 − 12.5 + 4
= 12.5−2.25 = −509
✅ פתרון סופי: (ln 2.5 , −509)
סעיף ג – לאיזו פונקצייה שייך כל חלק
כאשר x → ∞: f → 2 ו־g → 0. לכן חלק 1 (שואף ל־2) שייך ל־f, וחלק 2 (שואף ל־0) שייך ל־g.
f(x) − g(x) = ex(2ex − 5)(ex − 1)(ex − 4)
כאשר x < 0: 2ex − 5 < 0 והמכנה חיובי, ולכן f < g. החלק העליון, 3, שייך ל־g, והתחתון, 4, ל־f.
בין 0 ל־ln 4 לפונקציות יש מקסימום: ל־f ב־x = ln 1.6 (הערך −329 ≈ −3.56), ול־g ב־x = ln 2 (הערך −5). המקסימום של חלק 5 גבוה יותר ושמאלי יותר – f; חלק 6 – g.
✅ פתרון סופי: f(x): חלקים 1 , 4 , 5
g(x): חלקים 2 , 3 , 6
g(x): חלקים 2 , 3 , 6
סעיף ד – סימן הביטויים
f(x) − g(x) = ex(2ex − 5)(ex − 1)(ex − 4)
I. בתחום −4 ≤ x ≤ −1: ex < 1, ולכן 2ex − 5 < 0 והמכנה חיובי (שני גורמים שליליים). f − g < 0 – האינטגרל שלילי.
II. בתחום ln 5 ≤ x ≤ ln 8: ex ≥ 5, כל הגורמים חיוביים. f − g > 0 – האינטגרל חיובי.
✅ פתרון סופי: I – שלילי ; II – חיובי
סעיף ה – השטח בין ln 9 ל־ln 16
בתחום הזה ex > 4, ולכן f − g > 0 (כמו בסעיף ד). נשים לב שהמונה הוא הנגזרת של המכנה:
(e2x − 5ex + 4)′ = 2e2x − 5ex
S = ∫ln 16ln 9 2e2x − 5exe2x − 5ex + 4 dx📐 אינטגרל של מנה שבה המונה הוא נגזרת המכנה∫ u′u dx = ln|u| + C
= [ ln|e2x − 5ex + 4| ]ln 9ln 16
x = ln 16 : 256 − 80 + 4 = 180
x = ln 9 : 81 − 45 + 4 = 40
S = ln 180 − ln 40 = ln 18040
= ln 4.5 ≈ 1.5
✅ פתרון סופי: S = ln 4.5 ≈ 1.5
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | x ≠ 0 , x ≠ ln 4 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = 0 , x = ln 4 , y = 2 , y = 0 |
| סעיף א (3) | עלייה: x < 0 , 0 < x < ln 1.6 ירידה: ln 1.6 < x < ln 4 , x > ln 4 |
| סעיף ב | (ln 2.5 , −509) |
| סעיף ג | f(x): חלקים 1 , 4 , 5 g(x): חלקים 2 , 3 , 6 |
| סעיף ד | I – שלילי ; II – חיובי |
| סעיף ה | S = ln 4.5 ≈ 1.5 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – פתרון בגרות חורף 2023: חקירת e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר · שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x2ea − x3 המוגדרת לכל x , a הוא פרמטר.
א. (1) מצאו את התחום שבו הפונקציה f(x) חיובית.
(2) מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
נתון כי השטח הכלוא בין הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) לבין ציר ה־x הוא ∛(4e9).
ב. מצאו את הערך של a.
הציבו a = 1 , וענו על הסעיפים ג–ה.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
הפונקציה f(x) היא נגזרת של הפונקציה g(x) (g′(x) = f(x)).
ד. (1) מהו תחום העלייה של הפונקציה g(x)? נמקו.
(2) כמה נקודות פיתול יש לפונקציה g(x)? נמקו.
נסמן ב־B את נקודת הפיתול שבה הערך של הפונקציה g(x) הוא הגבוה מבין כל נקודות הפיתול שלה. נתון כי שיעור ה־y של הנקודה B הוא e − ∛e3.
ה. מצאו את הפונקציה g(x).
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – תחום החיוביות
ea − x3 > 0 תמיד, ולכן הסימן של f הוא הסימן של x2:
x2 > 0 ⟺ x ≠ 0📐 נוסחה: חזקה של eet > 0 לכל t
✅ פתרון סופי: x ≠ 0
סעיף א (2) – נקודות הקיצון
f′(x) = 2x · ea − x3 +📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′
+ x2 · (−3x2)ea − x3
(נגזרת המעריך: (ea − x3)′ = −3x2ea − x3.)
f′(x) = x ea − x3(2 − 3x3)📐 נוסחה: נגזרת של e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = 0 ⟹ x = 0 או x3 = 23📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
x = 0 , x = ∛(23) ≈ 0.87
נסמן c = ∛(23):
הסימן של f′ הוא הסימן של x(2 − 3x3):
| x | x < 0 | 0 | 0 < x < c | c | x > c |
|---|---|---|---|---|---|
| f′ | − | 0 | + | 0 | − |
| f | ↘ | מינימום | ↗ | מקסימום | ↘ |
✅ פתרון סופי: x = 0 מינימום , x = ∛(23) מקסימום
סעיף ב – הערך של a
הנגזרת f′ מתאפסת ב־0 וב־∛(23), וביניהן היא חיובית (סעיף א). השטח הכלוא:
S = ∫0∛(2/3) f′(x)dx📐 נוסחה: אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S = f(∛(23)) − f(0)
f(∛(23)) = (23)2/3 · ea − 2/3
f(0) = 0
(23)2/3 · ea − 2/3 = ∛(4e9)
נכתוב ∛(4e9) = (23)2/3 · e1/3:
(23)2/3 · ea − 2/3 = (23)2/3 · e1/3
a − 23 = 13
a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ג – סקיצה
עם a = 1: מינימום (0 , 0), מקסימום (∛(23) , ∛(4e9)) ≈ (0.87 , 1.07). כאשר x → ∞: f → 0 (אסימפטוטה y = 0 מימין). כאשר x → −∞: f → ∞. הפונקציה לא שלילית.
━ f(x) (כחול)
סעיף ד (1) – תחום העלייה של g
g′(x) = f(x) ≥ 0 לכל x, ושווה ל־0 רק בנקודה בודדת x = 0.
לכן g עולה בכל התחום.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת
✅ פתרון סופי: עולה לכל x
סעיף ד (2) – נקודות פיתול של g
g″(x) = f′(x). נקודת פיתול של g היא נקודה שבה f′ מחליפה סימן – כלומר נקודת קיצון של f.
ל־f שתי נקודות קיצון (x = 0 ו־x = ∛(23)), ולכן ל־g שתי נקודות פיתול.📐 משפט: נקודת פיתולg″ מחליפה סימן ⟺ g′ עוברת מעלייה לירידה (או להפך)
✅ פתרון סופי: 2 נקודות פיתול
סעיף ה – הפונקציה g(x)
g(x) = ∫ x2e1 − x3dx
הנגזרת של המעריך 1 − x3 היא −3x2:
g(x) = −13e1 − x3 + c📐 נוסחה: אינטגרל עם זיהוי נגזרת פנימית∫ g′(x)eg(x)dx = eg(x) + c
g עולה, ולכן הערך הגבוה בין נקודות הפיתול הוא ב־x הגדול: x = ∛(23):
g(∛(23)) = −13e1 − 2/3 + c = −∛e3 + c
−∛e3 + c = e − ∛e3
c = e3
g(x) = e − e1 − x33
✅ פתרון סופי: g(x) = e − e1 − x33
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | x ≠ 0 |
|---|---|
| סעיף א (2) | מינימום x = 0 , מקסימום x = ∛(23) |
| סעיף ב | a = 1 |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד (1) | עולה לכל x |
| סעיף ד (2) | 2 |
| סעיף ה | e − e1 − x33 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – חקירת פונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 4 שטח
📄 נוסח השאלה
א. נתונה הפונקציה f(x) = xex − 2ex + 1.
(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־y, אם יש כאלה.
(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y.
(3) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ב. נתונה הפונקציה g(x) = 1 − exex − x , המוגדרת לכל x.
(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה g(x) המאונכות לציר ה־y.
(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.
(3) הראו כי g′(x) = f(x)(ex − x)2 .
ג. היעזרו בגרף הפונקציה f(x) שסרטטתם בתת־סעיף א(4), וקבעו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x). קבעו את סוגן, ונמקו את קביעתכם.
אין צורך למצוא את השיעורים של נקודות הקיצון.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = −1 .
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א(1) – אסימפטוטות אופקיות של f
כאשר x → −∞:📐 נוסחה: גבולות של ex → −∞ : ex → 0x → −∞ : x · ex → 0x → ∞ : ex → ∞
xex → 0 , 2ex → 0
f(x) → 0 − 0 + 1 = 1
בדיקה בהצבה:
f(−10) ≈ 0.9995
f(−20) ≈ 0.99999995
כאשר x → ∞: f(x) = (x − 2)ex + 1 → ∞ (לדוגמה f(10) ≈ 176213), אין אסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: y = 1 (כאשר x → −∞)
סעיף א(2) – חיתוך עם ציר y
x = 0
f(0) = 0 · e0 − 2e0 + 1
= 0 − 2 + 1 = −1
✅ פתרון סופי: (0 , −1)
סעיף א(3) – תחומי עלייה וירידה
נגזור (מכפלה):📐 נוסחה: נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′(ex)′ = ex
f′(x) = 1 · ex + x · ex − 2ex
f′(x) = xex − ex = ex(x − 1)
ex > 0 תמיד, לכן הסימן של f′(x) הוא הסימן של x − 1:
f′(x) = 0 ⟹ x = 1
x < 1 : f′(x) < 0 (ירידה)
x > 1 : f′(x) > 0 (עלייה)
f(1) = e − 2e + 1
= 1 − e ≈ −1.72
נקודת מינימום: (1 , 1 − e).
✅ פתרון סופי: עלייה: x > 1 , ירידה: x < 1
סעיף א(4) – סקיצה של f
הגרף יורד מהאסימפטוטה y = 1 עד המינימום (1 , 1 − e) ואז עולה. f(0) = −1 ו־f(2) = 1, לכן הוא חותך את ציר ה־x פעם אחת משמאל ל־x = 0 ופעם אחת בין x = 1 ל־x = 2.
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטה y = 1 (תכלת)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ב(1) – אסימפטוטות אופקיות של g
המכנה ex − x חיובי לכל x, ולכן g מוגדרת לכל x.
כאשר x → ∞ נחלק מונה ומכנה ב־ex:📐 נוסחה: גבולות של ex → −∞ : ex → 0x → −∞ : x · ex → 0x → ∞ : ex → ∞
g(x) = e−x − 11 − x · e−x → 0 − 11 − 0 = −1
כאשר x → −∞: ex → 0, המונה שואף ל־1 והמכנה −x שואף ל־∞:📐 נוסחה: גבולות של ex → −∞ : ex → 0x → −∞ : x · ex → 0x → ∞ : ex → ∞
g(x) → 0
בדיקה בהצבה:
g(10) ≈ −1.0004
g(20) ≈ −1.00000004
g(−10) ≈ 0.09999
g(−100) ≈ 0.01
✅ פתרון סופי: y = −1 (כאשר x → ∞) , y = 0 (כאשר x → −∞)
סעיף ב(2) – חיתוך עם ציר x
g(x) = 0 ⟹ 1 − ex = 0
ex = 1
x = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0)
סעיף ב(3) – הנגזרת של g
נגזרת מנה:📐 נוסחה: נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
u = 1 − ex , u′ = −ex
v = ex − x , v′ = ex − 1
g′(x) = u′v − uv′(ex − x)2
נחשב את המונה בחלקים:
u′v = −ex(ex − x)
= −e2x + xex
uv′ = (1 − ex)(ex − 1)
= −(ex − 1)2
= −e2x + 2ex − 1
u′v − uv′ = −e2x + xex
+ e2x − 2ex + 1
= xex − 2ex + 1
g′(x) = xex − 2ex + 1(ex − x)2 = f(x)(ex − x)2
✅ פתרון סופי: הוכח : g′(x) = f(x)(ex − x)2
סעיף ג – נקודות הקיצון של g
המכנה (ex − x)2 חיובי, לכן הסימן של g′(x) הוא הסימן של f(x).
מהגרף של f: הוא חותך את ציר ה־x בדיוק פעמיים – בנקודה x1 < 0 ובנקודה 1 < x2 < 2 – משמאל ל־x = 1 הוא יורד מ־1 ל־1 − e, ומימין הוא עולה מ־1 − e עד אין סוף.
x < x1 : f > 0 ⟹ g′ > 0 – g עולה
x1 < x < x2 : f < 0 ⟹ g′ < 0 – g יורדת
x > x2 : f > 0 ⟹ g′ > 0 – g עולה
ב־x1 הפונקציה עוברת מעלייה לירידה – מקסימום. ב־x2 מירידה לעלייה – מינימום.
✅ פתרון סופי: שתי נקודות קיצון: מקסימום אחד ב־x1 < 0 , מינימום אחד ב־1 < x2 < 2
סעיף ד – סקיצה של g
משמאל הגרף מתקרב ל־y = 0 מלמעלה (g > 0 כאשר x < 0), עולה למקסימום, יורד דרך (0 , 0) למינימום (שנמצא מתחת ל־y = −1, כי אחריו הגרף עולה אל y = −1), ואז עולה ומתקרב ל־y = −1 מלמטה.
(לשם הדיוק בציור: המקסימום בערך ב־x ≈ −1.15, המינימום בערך ב־x ≈ 1.84.)
▬ g(x) (סגול) · ▬ האסימפטוטה y = −1 (תכלת) · ▬ השטח של סעיף ה (ירוק חלש)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ה – השטח
בתחום −1 ≤ x ≤ 0 מתקיים g(x) ≥ 0 (הגרף מעל ציר ה־x), לכן:📐 נוסחה: חישוב שטחS = ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)כאשר f(x) ≥ 0 בתחום
S = ∫−10 1 − exex − x dx
נגזרת המכנה: (ex − x)′ = ex − 1 – זה בדיוק מינוס המונה:
1 − exex − x = −ex − 1ex − x📐 נוסחה: אינטגרל של נגזרת חלקי פונקציה∫ h′(x)h(x) dx = ln|h(x)| + c
∫ 1 − exex − x dx = −ln(ex − x) + c
(המכנה חיובי, לכן אין צורך בערך מוחלט.)
S = [−ln(ex − x)]−10📐 נוסחה: חישוב שטחS = ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)כאשר f(x) ≥ 0 בתחום
S = −ln(e0 − 0) + ln(e−1 + 1)
S = −ln 1 + ln(1 + 1e)
S = ln(1 + 1e) ≈ 0.313
✅ פתרון סופי: ln(1 + 1e) ≈ 0.313
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א(1) | y = 1 |
|---|---|
| סעיף א(2) | (0 , −1) |
| סעיף א(3) | עלייה x > 1 , ירידה x < 1 |
| סעיף ב(1) | y = −1 , y = 0 |
| סעיף ב(2) | (0 , 0) |
| סעיף ג | מקסימום אחד ומינימום אחד |
| סעיף ה | ln(1 + 1e) ≈ 0.313 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – חקירת פונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 5 פרמטר · אינטגרל
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 9−x − 6 · 3−x + m , m הוא פרמטר.
א. בתת־סעיפים (1)–(3) בטא את תשובותיך באמצעות m אם יש צורך.
(1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).
(3) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן (אם יש כאלה).
נתון כי גרף הפונקציה f(x) משיק לציר ה־x.
ב. מצא את הערך של הפרמטר m.
ג. (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
(2) היעזר בסקיצה של גרף הפונקציה f(x) וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה ln(f(x)).
ד. הסבר מדוע ∫01 [ln(f(x)) − ln 4] dx < ln94 .
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א(1) – תחום הגדרה
חזקות מוגדרות לכל x:
✅ פתרון סופי: כל x
סעיף א(2) – אסימפטוטות
אין אסימפטוטה אנכית (הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל x).
כאשר x → ∞:📐 נוסחה: גבול של פונקציה מעריכיתx → ∞ : 3−x → 0 , 9−x → 0
f(x) → 0 − 0 + m = m
כאשר x → −∞: f(x) = 3−x(3−x − 6) + m ושני הגורמים שואפים ל־∞ – אין אסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: y = m (כאשר x → ∞)
סעיף א(3) – נקודות קיצון
9−x = 3−2x
f′(x) = −2 ln 3 · 3−2x📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מעריכית(ah(x))′ = ah(x) · ln a · h′(x)
+ 6 ln 3 · 3−x
f′(x) = 2 ln 3 · 3−x(3 − 3−x)
f′(x) = 0
⟹ 3−x = 3
⟹ x = −1
2 ln 3 · 3−x > 0, לכן הסימן הוא הסימן של 3 − 3−x:
x < −1 : 3−x > 3
⟹ f′ < 0 (ירידה)
x > −1 : 3−x < 3
⟹ f′ > 0 (עלייה)
f(−1) = 9 − 6 · 3 + m = m − 9
✅ פתרון סופי: (−1 , m − 9) – מינימום
סעיף ב – הפרמטר m
הגרף משיק לציר ה־x – בנקודת המינימום (שבה f′ = 0) הערך הוא 0:📐 משפט: משיק לציר xבנקודת ההשקה f′(x) = 0 וגם f(x) = 0
m − 9 = 0
m = 9
✅ פתרון סופי: m = 9
סעיף ג(1) – סקיצה של f
f(x) = 9−x − 6 · 3−x + 9
= (3−x − 3)2
f(0) = 1 − 6 + 9 = 4
יורדת מ־∞ עד המינימום (−1 , 0) (נקודת ההשקה), ואז עולה ומתקרבת לאסימפטוטה y = 9 מלמטה.
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטה y = 9 (תכלת)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ג(2) – סקיצה של ln(f(x))
מוגדרת כאשר f(x) > 0, כלומר x ≠ −1.📐 נוסחה: הרכבה עם lnln(f(x)) מוגדרת כאשר f(x) > 0 ; ln פונקציה עולה – אותם תחומי עלייה וירידהf → 0+ ⟹ ln f → −∞
ליד x = −1: f → 0+, לכן ln f → −∞ – אסימפטוטה אנכית x = −1.
כאשר x → ∞: f → 9, לכן אסימפטוטה y = ln 9. כאשר x → −∞: ln f → ∞.
אותם תחומים כמו f: יורדת כאשר x < −1, עולה כאשר x > −1.
חיתוך עם ציר ה־x כאשר f(x) = 1:
(3−x − 3)2 = 1
⟹ 3−x = 4
או
3−x = 2
x ≈ −1.26
x ≈ −0.63
חיתוך עם ציר y : ln f(0) = ln 4
▬ ln(f(x)) (סגול) · ▬ האסימפטוטות (תכלת) · ▬ השטח של סעיף ד (ירוק חלש) · ▬ מלבן בגובה ln(9/4) (ירוק חזק)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – הסבר
בקטע 0 ≤ x ≤ 1 הפונקציה f עולה (כי x > −1), לכן:
f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)
f(0) = 4
f(1) = (13 − 3)2 = 649 ≈ 7.1
בפרט 4 ≤ f(x) < 9. ln עולה, לכן:📐 נוסחה: הרכבה עם lnln(f(x)) מוגדרת כאשר f(x) > 0 ; ln פונקציה עולה – אותם תחומי עלייה וירידהf → 0+ ⟹ ln f → −∞
ln 4 ≤ ln(f(x)) < ln 9
0 ≤ ln(f(x)) − ln 4
ln(f(x)) − ln 4 < ln 9 − ln 4
ln 9 − ln 4 = ln94
האינטגרל הוא השטח שבין הגרף של ln(f(x)) − ln 4 לציר ה־x בקטע שאורכו 1. הגרף נמצא כולו מתחת לגובה ln94, לכן השטח קטן משטח המלבן 1 · ln94:📐 משפט: חסם לאינטגרלאם 0 ≤ h(x) < c בקטע שאורכו 1, אז ∫ h(x) dx < c · 1
∫01 [ln(f(x)) − ln 4] dx < ln94
(בבדיקה: האינטגרל בערך 0.35, ו־ln94 ≈ 0.81.)
✅ פתרון סופי: הוסבר: הפונקציה בקטע קטנה מ־ln(9/4) והקטע באורך 1
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א(1) | כל x |
|---|---|
| סעיף א(2) | y = m |
| סעיף א(3) | (−1 , m − 9) מינימום |
| סעיף ב | m = 9 |
| סעיף ד | הסבר |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – בהינתן f(x), שרטוט ln(f(x))
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022, שאלה 4 פרמטר · אינטגרל · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = e2x − 3ex + m4 , m הוא פרמטר.
גרף הפונקציה f(x) שואף לישר y = −1 כאשר x שואף ל־−∞.
א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצא את הערך של m.
הצב m = −4 , וענה על הסעיפים ב–ה.
ב. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
ג. (1) מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
(2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) + 1 .
ד. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה g(x) המאונכות לצירים.
ה. מצא בעבור איזה ערך של t , 0 < t < ln 4 , הביטוי ∫0t g(x) dx מקבל ערך מקסימלי. נמק.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – תחום הגדרה והפרמטר m
(1) ex מוגדרת לכל x, והמכנה 4:
(2)📐 נוסחה: גבול של exx → −∞ : ex → 0x → ∞ : ex → ∞
x → −∞ : f(x) → 0 − 0 + m4 = m4
m4 = −1
⟹ m = −4
✅ פתרון סופי: (1) כל x ; m = −4
סעיף ב – חיתוך עם הצירים
f(x) = e2x − 3ex − 44
= (ex − 4)(ex + 1)4
ציר x: ex + 1 > 0, לכן:📐 נוסחה: משוואה מעריכיתex = c ⟺ x = ln c ( c > 0 )
ex = 4
⟹ x = ln 4
ציר y:
f(0) = 1 − 3 − 44 = −1.5
✅ פתרון סופי: (ln 4 , 0) , (0 , −1.5)
סעיף ג – קיצון וסקיצה
f′(x) = 2e2x − 3ex4 = ex(2ex − 3)4📐 נוסחה: נגזרת של e(ekx)′ = k ekx
f′(x) = 0
⟹ ex = 1.5
⟹ x = ln 1.5
ex > 0, לכן הסימן הוא של 2ex − 3: שלילי כאשר x < ln 1.5 (ירידה), חיובי כאשר x > ln 1.5 (עלייה).
f(ln 1.5) = 1.52 − 3 · 1.5 − 44
= 2.25 − 4.5 − 44 = −1.5625
(2) אסימפטוטה y = −1 כאשר x → −∞; כאשר x → ∞ , f → ∞.
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטה y = −1 (תכלת)
✅ פתרון סופי: (ln 1.5 , −1.5625) – מינימום
סעיף ד – g(x)
(1) g מוגדרת כאשר f(x) ≠ 0:
x ≠ ln 4
(2) אנכית – היכן שהמכנה מתאפס:
x = ln 4
אופקיות:
x → −∞ : f → −1
⟹ g → 1−1 + 1 = 0
x → ∞ : f → ∞
⟹ g → 0 + 1 = 1
✅ פתרון סופי: x ≠ ln 4 ; x = ln 4 , y = 0 , y = 1
סעיף ה – ערך t שבו האינטגרל מקסימלי
נסמן S(t) = ∫0t g(x) dx:📐 משפט: נגזרת של פונקציית שטחS(t) = ∫0t g(x) dx⟹ S′(t) = g(t)
S′(t) = g(t)
נמצא היכן g = 0:
1f(t) + 1 = 0
⟹ f(t) = −1
e2t − 3et − 4 = −4
et(et − 3) = 0
⟹ et = 3
t = ln 3
בקטע 0 < t < ln 4 הפונקציה f שלילית. g = f + 1f:
כאשר 0 < t < ln 3: f < −1, כלומר f + 1 < 0 – לכן g > 0 , S עולה.
כאשר ln 3 < t < ln 4: −1 < f < 0 – לכן g < 0 , S יורדת.
לכן ב־t = ln 3 מקסימום.
▬ g(x) (סגול) · ▬ השטח עד t = ln 3 (ירוק חלש)
✅ פתרון סופי: t = ln 3
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | כל x ; m = −4 |
|---|---|
| סעיף ב | (ln 4 , 0) , (0 , −1.5) |
| סעיף ג | (ln 1.5 , −1.5625) מינימום |
| סעיף ד | x ≠ ln 4 ; x = ln 4 , y = 0 , y = 1 |
| סעיף ה | t = ln 3 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 -אסימפטוטה אופקית והשלכה על 1 חלקי f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il