בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – חורף 2024

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות לבחירה, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה יחידה (במועד זה פורסם מפתח אחד)

📄 השאלון המלא – חורף 2024

שאלון 572 חורף 2024 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2024 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2024 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2024 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2024 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – מקום גאומטרי, פרבולה, משיק ומעגל

📄 נוסח השאלה

במשולש ישר זווית ABC (∢BAC = 90) הקודקוד A נמצא על ציר ה־x, ושיעוריו (a , 0), a ≠ 0.

שיעור ה־x של הקודקוד B הוא −a. הצלע BC מקבילה לציר ה־x. M היא אמצע הצלע BC.

א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות M. הביעו את תשובתכם באמצעות a.

ב. סרטטו סקיצה של המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. סרטטו את שתי האפשרויות במערכת צירים אחת.

נתון כי a > 0. מעבירים ישר ℓ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א בנקודה M הנמצאת ברביע הראשון.

ג. הוכיחו כי הישר ℓ מקביל לצלע AC.

נתון: AM = 10 (M ברביע הראשון), הקודקוד B נמצא על הישר x = −2.

ד. מצאו את שיעורי הקודקודים B ו־C.

ה. דרך הקודקוד A העבירו מעגל המשיק לישרים ℓ ו־AC. מצאו את שיעורי מרכז המעגל.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

נסמן את אמצע הצלע M(x , y). BC מקבילה לציר ה־x, ולכן ל־B, ל־C ול־M אותו שיעור y:
B(−a , y) , C(c , y) , y ≠ 0
(y ≠ 0, אחרת B ו־C על ציר ה־x ואין משולש.)
שיפועי הצלעות AB ו־AC:
mAB = y − 0−a − a = y−2a📐 שיפוע ישר דרך שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
mAC = y − 0c − a = yc − a
∢BAC = 90, ולכן הצלעות מאונכות:
y−2a · yc − a = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y22a(c − a) = 1
c − a = y22a
c = a + y22a
M אמצע BC:
x = −a + c2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
x = −a + a + y22a2
x = y24a
y2 = 4ax
זו פרבולה שהקודקוד שלה בראשית. הנקודה (0 , 0) לא שייכת למקום הגאומטרי, כי y ≠ 0.
✅ פתרון סופי: y2 = 4ax, בלי הנקודה (0 , 0)

סעיף ב – סקיצה

y2 = 4ax היא פרבולה שהקודקוד שלה בראשית וציר הסימטרייה שלה ציר ה־x:
• כש־a > 0: הפרבולה פתוחה ימינה (כחול). בסרטוט לדוגמה a = 1.
• כש־a < 0: הפרבולה פתוחה שמאלה (סגול). בסרטוט לדוגמה a = −1.
בשתי האפשרויות הראשית (0 , 0) מסומנת בעיגול ריק – היא לא שייכת למקום הגאומטרי.
−4−224−4−224xya > 0a < 0
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה (שתי פרבולות, בלי הראשית)

סעיף ג – ℓ מקביל ל־AC

נסמן את הנקודה ברביע הראשון M(x1 , y1), y1 > 0. משוואת הפרבולה y2 = 4ax בצורה y2 = 2px:
2p = 4a ⟸ p = 2a
ℓ: y · y1 = 2a(x + x1)📐 משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1)y · y1 = p(x + x1)
y = 2ay1x + 2ax1y1
mℓ = 2ay1
מסעיף א, עבור הנקודה M: c − a = y122a. לכן שיפוע הצלע AC:
mAC = y1c − a📐 שיפוע ישר דרך שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
mAC = y1y122a
mAC = 2ay1
השיפועים שווים: mℓ = mAC, ולכן הישר ℓ מקביל לצלע AC.📐 ישרים מקביליםm1 = m2
✅ פתרון סופי: הוכחה – mℓ = mAC = 2ay1

סעיף ד – הקודקודים B ו־C

B על הישר x = −2, ושיעור ה־x שלו הוא −a:
−a = −2 ⟸ a = 2
y2 = 8x
2p = 8 ⟸ p = 4
המוקד של הפרבולה הוא (p2 , 0) = (2 , 0) – זו בדיוק הנקודה A. והמדריך הוא x = −2.
לכן AM הוא המרחק של M מהמוקד, והוא שווה למרחק של M מהמדריך:
AM = xM + 2📐 פרבולה – הגדרהכל נקודה על הפרבולה נמצאת במרחק שווה מהמוקד ומהמדריך. בפרבולה y2 = 2px: מוקד (p2 , 0), מדריך x = −p2
xM + 2 = 10
xM = 8
yM2 = 8 · 8 = 64
M ברביע הראשון, ולכן:
yM = 8
M(8 , 8)
B ו־C באותו גובה כמו M:
B(−2 , 8)
8 = −2 + xC2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
16 = −2 + xC
xC = 18
C(18 , 8)
בדיקה – הזווית ב־A ישרה:
mAB = 8 − 0−2 − 2 = −2
mAC = 8 − 018 − 2 = 12
−2 · 12 = −1 ✓📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
✅ פתרון סופי: B(−2 , 8) , C(18 , 8)

סעיף ה – מרכז המעגל

משוואת ℓ (המשיק בנקודה M(8 , 8), p = 4):
8y = 4(x + 8)📐 משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1)y · y1 = p(x + x1)
y = 12x + 4
משוואת AC (דרך A(2 , 0), שיפוע 12):
y − 0 = 12(x − 2)📐 ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y = 12x − 1
המעגל עובר דרך A ומשיק לישר AC, והנקודה A נמצאת על AC. לכן A היא נקודת ההשקה, והמרכז נמצא על האנך ל־AC בנקודה A – זה הישר AB:
האנך ל־AC בנקודה A הוא הישר AB, כי ∢BAC = 90.📐 רדיוס ומשיקהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
AB: y − 0 = −2(x − 2)📐 ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y = −2x + 4
המעגל משיק לשני ישרים מקבילים (ℓ ו־AC), ולכן המרכז נמצא באמצע ביניהם – על הישר המקביל שהחותך שלו הוא ממוצע החותכים:
n = 4 + (−1)2 = 1.5
y = 12x + 1.5
נחתוך עם הישר AB:
−2x + 4 = 12x + 1.5
2.5 = 2.5x
x = 1
y = −2 · 1 + 4 = 2
נסמן את המרכז O(1 , 2). בדיקה – הרדיוס הוא חצי מהמרחק בין הישרים:
AC: x − 2y − 2 = 0
ℓ: x − 2y + 8 = 0
d = |8 − (−2)|√1 + 4 = 10√5 = 2√5📐 מרחק בין ישרים מקביליםd = |C1 − C2|√A2 + B2
R = √5
|OA| = √(2 − 1)2 + (0 − 2)2
= √5 ✓
הסרטוט בקנה מידה: הפרבולה (כחול), המשולש ABC (תכלת), המשיק ℓ (סגול) והמעגל (ירוק חזק):
51015510xyOABCMℓ
✅ פתרון סופי: (1 , 2)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy2 = 4ax
סעיף בסקיצה
סעיף גהוכחה
סעיף דB(−2 , 8)
C(18 , 8)
סעיף ה(1 , 2)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 64 – משיק לפרבולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים: ישר ומישור במרחב

📄 נוסח השאלה

נתונים הישר ℓ: x = (−1 , 5 , −11) + t(m − 1 , 5 − m , −2)

והמישור P: 3x + my + (m + 6)z + 4 = 0. m הוא פרמטר.

(בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו P.)

א. הראו כי לכל ערך של m הישר ℓ אינו מקביל למישור P.

נתון כי הישר ℓ ניצב למישור P וחותך אותו בנקודה A.

ב. מצאו את הערך של הפרמטר m.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד. לפניכם טענה: קיים מישור אחד בלבד המכיל את הישר ℓ ועובר דרך הנקודה (5 , −5 , −9). קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הישר אינו מקביל למישור

וקטור הכיוון של הישר והנורמל של המישור:
u = (m − 1 , 5 − m , −2)
n = (3 , m , m + 6)
הישר מקביל למישור (או מוכל בו) רק אם u · n = 0. נחשב:📐 ישר מקביל למישורוקטור הכיוון של הישר מאונך לנורמל: u · n = 0
נחשב את המכפלה הסקלרית:📐 מכפלה סקלריתu · n = u1n1 + u2n2 + u3n3
u · n
= 3(m − 1) + m(5 − m) − 2(m + 6)
= 3m − 3 + 5m − m2 − 2m − 12
= −m2 + 6m − 15
נבדוק אם הביטוי יכול להתאפס:
−m2 + 6m − 15 = 0
m2 − 6m + 15 = 0
b2 − 4ac = 36 − 60 = −24 < 0📐 מספר הפתרונות של משוואה ריבועיתb2 − 4ac < 0 – אין פתרון
למשוואה אין פתרון, ולכן לכל ערך של m המכפלה הסקלרית שונה מאפס:
u · n ≠ 0
כלומר הישר אינו מקביל למישור (הוא תמיד חותך אותו).
✅ פתרון סופי: הוכחה – u · n = −m2 + 6m − 15 ≠ 0

סעיף ב – הערך של m

הישר ניצב למישור, ולכן וקטור הכיוון מקביל לנורמל:📐 ישר ניצב למישורוקטור הכיוון של הישר מקביל לנורמל: u = k · n
(m − 1 , 5 − m , −2)
= k(3 , m , m + 6)
משוואה לכל רכיב:
(1) m − 1 = 3k
(2) 5 − m = mk
(3) −2 = k(m + 6)
מ־(1):
k = m − 13
נציב ב־(3):
−2 = (m − 1)(m + 6)3
−6 = m2 + 5m − 6
m2 + 5m = 0
m(m + 5) = 0
m = 0
או
m = −5
נבדוק ב־(2):
m = 0: k = −13
5 − 0 = 0 · k ⟸ 5 = 0 ✗
m = −5: k = −63 = −2
5 + 5 = (−5)(−2) ⟸ 10 = 10 ✓
✅ פתרון סופי: m = −5

סעיף ג – הנקודה A

נציב m = −5:
ℓ: x = (−1 , 5 , −11)
+ t(−6 , 10 , −2)
P: 3x − 5y + z + 4 = 0
נקודה כללית על הישר:
(−1 − 6t , 5 + 10t , −11 − 2t)
נציב במשוואת המישור:
3(−1 − 6t) − 5(5 + 10t)
+ (−11 − 2t) + 4 = 0
−3 − 18t − 25 − 50t − 11 − 2t
+ 4 = 0
−35 − 70t = 0
t = −0.5
x = −1 − 6 · (−0.5) = 2
y = 5 + 10 · (−0.5) = 0
z = −11 − 2 · (−0.5) = −10
בדיקה במישור:
3 · 2 − 5 · 0 + (−10) + 4 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: A(2 , 0 , −10)

סעיף ד – הטענה

נבדוק אם הנקודה (5 , −5 , −9) נמצאת על הישר ℓ (עם m = −5):
−1 − 6t = 5 ⟸ t = −1
y: 5 + 10 · (−1) = −5 ✓
z: −11 − 2 · (−1) = −9 ✓
עבור t = −1 מתקבלת בדיוק הנקודה (5 , −5 , −9), ולכן היא נמצאת על הישר ℓ.
ישר ונקודה שעליו אינם קובעים מישור אחד: אפשר "לסובב" מישור סביב הישר, וכל מישור כזה מכיל גם את הנקודה. יש אינסוף מישורים כאלה.📐 מישור דרך ישר ונקודהישר ונקודה שאינה עליו קובעים מישור אחד בלבד. אם הנקודה על הישר – יש אינסוף מישורים המכילים אותם.
✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה – הנקודה על הישר, ויש אינסוף מישורים כאלה.

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה
סעיף בm = −5
סעיף גA(2 , 0 , −10)
סעיף דלא נכונה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: מעגל במישור גאוס וסדרה הנדסית

📄 נוסח השאלה

z = x + yi הוא מספר מרוכב (x ו־y ממשיים). z הוא המספר הצמוד ל־z.

נתון: |6 − z − 8i|2 − |10i| = |9 + 12i|.

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל המספרים z המקיימים את המשוואה הנתונה הוא מעגל. מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

M היא מרכז המעגל שמצאתם בסעיף א, והיא מייצגת את המספר המרוכב zM.

A היא נקודה על המעגל המייצגת את המספר המרוכב zA. נתון: 2|zA| = |zM|, והזווית של zA שווה לזווית של zM.

ב. מצאו את zA.

נתונה סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: z1 , z2 , z3 , … שהמנה שלה היא q. נתון: z1 = zA , z5 = zM.

ג. מצאו את כל הערכים האפשריים של q.

ד. חשבו את הסכום z1 · z1 + z2 · z2 + … + z10 · z10.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי

z = x − yi📐 המספר הצמודz = x + yi ⟸ z = x − yi
6 − z − 8i = 6 − x + yi − 8i
= (6 − x) + (y − 8)i
נחשב את הערכים המוחלטים הידועים:
|9 + 12i| = √81 + 144 = √225📐 הערך המוחלט (האורך)|a + bi| = √a2 + b2
= 15
|10i| = √0 + 100 = 10
נציב במשוואה:
|(6 − x) + (y − 8)i|2📐 הערך המוחלט (האורך)|a + bi| = √a2 + b2
= (6 − x)2 + (y − 8)2
(6 − x)2 + (y − 8)2 − 10 = 15
(6 − x)2 + (y − 8)2 = 25
(x − 6)2 + (y − 8)2 = 25📐 מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
זו משוואת מעגל שמרכזו (6 , 8) והרדיוס שלו √25 = 5.
✅ פתרון סופי: מעגל, מרכז (6 , 8), רדיוס 5

סעיף ב – המספר zA

המרכז M(6 , 8), ולכן:
zM = 6 + 8i
|zM| = √36 + 64 = 10📐 הערך המוחלט (האורך)|a + bi| = √a2 + b2
2|zA| = 10
|zA| = 5
ל־zA אותה זווית כמו ל־zM, והאורך שלו חצי – לכן הוא חצי מ־zM:📐 הצגה קוטביתמספר מרוכב נקבע לפי האורך שלו |z| והזווית שלו. שני מספרים עם אותה זווית – אחד הוא כפולה חיובית של השני.
zA = 12 · zM
= 12(6 + 8i)
= 3 + 4i
בדיקה – A(3 , 4) על המעגל:
(3 − 6)2 + (4 − 8)2 = 9 + 16
= 25 ✓
בסרטוט במישור גאוס: המעגל (כחול), הקטע OM (תכלת), A באמצע הקטע OM:
24681024681012xyM(6 , 8)A(3 , 4)Oמדומהממשי
✅ פתרון סופי: zA = 3 + 4i

סעיף ג – המנה q

z5 = z1 · q4📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
6 + 8i = (3 + 4i) · q4
q4 = 6 + 8i3 + 4i
q4 = 2
בהצגה קוטבית:
2 = 2 cis(0)
q = 4√2 · cis(0 + 360k4)📐 שורשים מסדר nw = r cis(t)
q = n√r · cis(t + 360kn)
q = 4√2 · cis(90k)
k = 0 , 1 , 2 , 3
k = 0: q = 4√2 cis(0) = 4√2
k = 1: q = 4√2 cis(90) = 4√2 i
k = 2: q = 4√2 cis(180) = −4√2
k = 3: q = 4√2 cis(270) = −4√2 i
✅ פתרון סופי: q = ±4√2 או q = ±4√2 i

סעיף ד – הסכום

zn · zn = |zn|2📐 מכפלת מספר בצמוד שלוz · z = |z|2
בכל אחד מהערכים של q מסעיף ג:
|q| = 4√2
|zn| = |z1| · |q|n − 1📐 ערך מוחלט של מכפלה|z · w| = |z| · |w|
|zn| = 5 · (4√2)n − 1
|zn|2 = 25 · (√2)n − 1
כלומר המחוברים בסכום הם סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה 25 והמנה שלה √2:
S10 = 25((√2)10 − 1)√2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
(√2)10 = 25 = 32
S10 = 25 · 31√2 − 1
= 775√2 − 1
≈ 1,871.02
✅ פתרון סופי: 775√2 − 1 ≈ 1,871.02

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אמרכז (6 , 8), רדיוס 5
סעיף ב3 + 4i
סעיף ג±4√2 , ±4√2 i
סעיף ד≈ 1,871.02
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציות e, נגזרת, שטח ואינטגרל

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות: f(x) = a − x2ex , g(x) = (x + 1)2ex המוגדרות לכל x. a הוא פרמטר.

א. מצאו את הערך של a שבעבורו f(x) = g′(x) לכל ערך של x.

הציבו את הערך של a שמצאתם, וענו על הסעיפים ב–ה שלפניכם.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם הצירים.

(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x), וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו באותה מערכת צירים סקיצות של גרף הפונקציה f(x) ושל גרף הפונקציה g(x).

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x.

ה. חשבו את הערך של הביטוי: ∫12 (e2x(x + 1)4) · (x2 − 1ex) dx.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הערך של a

נגזור את g(x):
g′(x) = 2(x + 1) · ex − (x + 1)2 · exe2x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
הנגזרת של ex היא ex עצמה.📐 נגזרת של e בחזקת x(ex)′ = ex
נצמצם ב־ex:
g′(x) = 2(x + 1) − (x + 1)2ex
= (x + 1)(2 − x − 1)ex
= (x + 1)(1 − x)ex
= 1 − x2ex
נשווה ל־f(x) = a − x2ex לכל x:
a − x2 = 1 − x2
a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ב (1) – חיתוך של f עם הצירים

f(x) = 1 − x2ex
חיתוך עם ציר ה־x (y = 0). ex > 0 תמיד, ולכן רק המונה מתאפס:
1 − x2 = 0
x = 1
או
x = −1
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = 1 − 0e0 = 1
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (−1 , 0) , (0 , 1)

סעיף ב (2) – חיתוך של g עם הצירים

חיתוך עם ציר ה־x:
(x + 1)2 = 0 ⟸ x = −1
חיתוך עם ציר ה־y:
g(0) = 12e0 = 1
✅ פתרון סופי: (−1 , 0) , (0 , 1)

סעיף ב (3) – נקודות קיצון

הפונקציה f(x):
f′(x) = −2x · ex − (1 − x2) · exe2x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= −2x − 1 + x2ex
= x2 − 2x − 1ex
x2 − 2x − 1 = 0
x = 2 ± √4 + 42📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
x = 1 ± √2
סימן f′ כסימן המונה (פרבולה "מחייכת"): חיובי משמאל ל־1 − √2, שלילי בין השורשים, חיובי מימין ל־1 + √2.
f(1 − √2) = 1 − (1 − √2)2e1 − √2
= 2√2 − 2e1 − √2 ≈ 1.25
f(1 + √2) = −2√2 − 2e1 + √2 ≈ −0.43
עלייה ואז ירידה – מקסימום ב־x = 1 − √2; ירידה ואז עלייה – מינימום ב־x = 1 + √2.
הפונקציה g(x): מסעיף א g′(x) = f(x) = 1 − x2ex.
g′(x) = 0 ⟸ x = ±1
סימן g′ כסימן 1 − x2: שלילי ב־x < −1, חיובי ב־−1 < x < 1, שלילי ב־x > 1.
g(−1) = 0
g(1) = 4e ≈ 1.47
ב־x = −1 מינימום, ב־x = 1 מקסימום.
✅ פתרון סופי: f: מקסימום (1 − √2 , 1.25), מינימום (1 + √2 , −0.43)
g: מינימום (−1 , 0), מקסימום (1 , 4e)

סעיף ג – סקיצה

גרף f (כחול) וגרף g (סגול), בקנה מידה. נקודות הקיצון מסומנות. כש־x גדל מאוד שתי הפונקציות שואפות ל־0 (המכנה ex גדל מהר מאוד), וכש־x קטן מאוד f שואפת למינוס אינסוף ו־g לאינסוף.
השטח הירוק (ירוק חלש) הוא השטח של סעיף ד.
−2−112345−1123xy(1−√2 , 1.25)(1+√2 , −0.43)(1 , 4/e)(−1 , 0)gf
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – השטח

גרף f חותך את ציר ה־x ב־x = −1 וב־x = 1, וביניהן הוא מעל הציר. השטח הסגור:
S = ∫−11 f(x) dx📐 אינטגרל מסוים∫ab f(x) dx = G(b) − G(a)
מסעיף א g(x) היא פונקציה קדומה של f(x):
S = g(1) − g(−1)
= 4e − 0
= 4e ≈ 1.47
✅ פתרון סופי: 4e ≈ 1.47

סעיף ה – האינטגרל

נזהה את הגורמים לפי f ו־g:
e2x(x + 1)4 = 1((x + 1)2ex)2
= 1g2(x)
x2 − 1ex = −1 − x2ex
= −f(x) = −g′(x)
לכן הביטוי שבתוך האינטגרל:
−g′(x)g2(x)
זו הנגזרת של 1g(x):📐 נגזרת של 1 חלקי פונקציה(1u)′ = −u′u2
∫12 −g′(x)g2(x) dx = [1g(x)]12
= [ex(x + 1)2]12📐 אינטגרל מסוים∫ab f(x) dx = G(b) − G(a)
= e29 − e4
≈ 0.821 − 0.680
≈ 0.14
✅ פתרון סופי: e29 − e4 ≈ 0.14

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אa = 1
סעיף ב (1)(1 , 0) , (−1 , 0) , (0 , 1)
סעיף ב (2)(−1 , 0) , (0 , 1)
סעיף ב (3)f: מקסימום (1 − √2 , 1.25), מינימום (1 + √2 , −0.43)
g: מינימום (−1 , 0), מקסימום (1 , 4e)
סעיף גסקיצה
סעיף ד4e ≈ 1.47
סעיף הe29 − e4 ≈ 0.14
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 25 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln, מנה והרכבה עם e

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של הפונקציה f(x) = ln(x) המוגדרת בתחום x > 0, ומתוארים הישרים y = x ו־y = −x.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם אחד מן הישרים. נסמן את שיעור ה־x של הנקודה A ב־a.

היעזרו בסרטוט, וענו על הסעיפים א–ה שלפניכם. הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.

נתונה הפונקציה: g(x) = ln(x) − xln(x) + x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x (אם יש כאלה).

(3) מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה g(x).

ב. הסבירו מדוע מתקיים 0 < a < 1.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.

(2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה h(x) = eg(x).

הסרטוט מתוך השאלון: הגרף של ln x והישרים y = x ו־y = −x

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

ln x מוגדר רק ל־x > 0.📐 תחום ההגדרה של lnln(u) מוגדר רק כש־u > 0
המכנה לא יכול להיות 0:
ln x + x ≠ 0
ln x ≠ −x
השוויון ln x = −x מתקיים בדיוק בנקודת החיתוך של גרף f(x) = ln x עם הישר y = −x. מהסרטוט, זו הנקודה A (ברביע הרביעי – הגרף של ln x לא פוגש את y = x, ראו סעיף א(2)). לכן:
x ≠ a
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ a

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x

חיתוך עם ציר ה־x: המונה מתאפס.
ln x − x = 0
ln x = x
זו נקודת חיתוך של גרף ln x עם הישר y = x. מהסרטוט, הגרף של ln x נמצא כולו מתחת לישר y = x ולא חותך אותו. לכן אין פתרון.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x

סעיף א (3) – אסימפטוטה אופקית

נחלק את המונה ואת המכנה ב־x (x > 0):
g(x) = ln xx − 1ln xx + 1
כש־x → ∞, x גדל הרבה יותר מהר מ־ln x, ולכן ln xx → 0:📐 שאיפה לאינסוףx → ∞ ⟸ ln xx → 0
g(x) → 0 − 10 + 1 = −1
✅ פתרון סופי: y = −1 כש־x → ∞

סעיף ב – למה 0 < a < 1

A נמצאת על גרף ln x, ולכן a > 0 (תחום ההגדרה).
A נמצאת גם על הישר y = −x, ולכן שיעור ה־y שלה שלילי:
ln a = −a < 0
ln a < 0 רק כש־0 < a < 1.📐 סימן של lnln x < 0 ⟺ 0 < x < 1
0 < a < 1
✅ פתרון סופי: הסבר – a > 0 ו־ln a = −a < 0

סעיף ג (1) – נקודת קיצון

נסמן מונה u = ln x − x ומכנה v = ln x + x:
u′ = 1x − 1 , v′ = 1x + 1📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
g′(x) = u′v − uv′v2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
נפתח את המונה:
(1x − 1)(ln x + x)
= ln xx + 1 − ln x − x
(ln x − x)(1x + 1)
= ln xx + ln x − 1 − x
נחסר:
u′v − uv′
= 1 − ln x − (ln x − 1)
= 2 − 2ln x
g′(x) = 2(1 − ln x)(ln x + x)2
g′(x) = 0 ⟸ ln x = 1 ⟸ x = e
g(e) = 1 − e1 + e ≈ −0.46
המכנה חיובי, ולכן סימן g′ כסימן 1 − ln x: חיובי ב־x < e ושלילי ב־x > e. עלייה ואז ירידה – מקסימום.
✅ פתרון סופי: מקסימום (e , 1 − e1 + e) ≈ (e , −0.46)

סעיף ג (2) – עלייה וירידה

מסעיף ג(1), ובלי הנקודה x = a שאינה בתחום ההגדרה:
תחומי עלייה:
0 < x < a , a < x < e
תחום ירידה:
x > e
✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < a , a < x < e
ירידה: x > e

סעיף ד – סקיצה של g

מה שמצאנו: תחום x > 0 , x ≠ a; אין חיתוך עם ציר ה־x; אסימפטוטה y = −1; מקסימום (e , −0.46); עלייה עד a ובין a ל־e, ירידה אחרי e.
עוד שני דברים לסקיצה:
• ב־x = a המכנה מתאפס, והמונה לא מתאפס:
ln a − a = −2a ≠ 0
לכן x = a אסימפטוטה אנכית. משמאל ל־a המונה והמכנה שליליים, ולכן g → ∞. מימין ל־a המכנה חיובי, ולכן g → −∞.
• כש־x → 0 מימין, ln x → −∞, ולכן g(x) → 1. בנקודה (0 , 1) מסמנים עיגול ריק.
הסקיצה (כחול), בקנה מידה עם a ≈ 0.57; האסימפטוטות מקווקוות (תכלת):
1234567−3−2−1123xy(e , −0.46)x = ay = −1
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – סקיצה של h

h(x) = eg(x) מוגדרת היכן ש־g מוגדרת, וכל ערכיה חיוביים. היא עולה ויורדת באותם תחומים כמו g.📐 פונקציה מעריכיתet > 0 לכל t, והיא עולה – שומרת על תחומי העלייה והירידה של המעריך
נעביר כל תכונה של g:
x → 0: h → e1 = e
כש־x שואף ל־a משמאל:
h → e∞ = ∞
כש־x שואף ל־a מימין:
h → e−∞ = 0
h(e) = e−0.46 ≈ 0.63
x → ∞: h → e−1 = 1e ≈ 0.37
כלומר: אסימפטוטה אנכית x = a (רק משמאל), ליד x = a מימין הגרף מתקרב לנקודה (a , 0) בלי להגיע אליה, מקסימום (e , 0.63), ואסימפטוטה אופקית y = 1e.
הסקיצה (סגול), בקנה מידה עם a ≈ 0.57:
1234567123xy(e , 0.63)(0 , e)y = 1/ex = a
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x > 0 , x ≠ a
סעיף א (2)אין
סעיף א (3)y = −1
סעיף בהסבר
סעיף ג (1)מקסימום (e , 1 − e1 + e)
סעיף ג (2)עלייה: 0 < x < a , a < x < e
ירידה: x > e
סעיף דסקיצה
סעיף הסקיצה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 32 – תרגול הרכבת פונקציה (מבוסס על בגרות 2024)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 572 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות