שיעור 29 – פתרון בגרות 2025 א

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו את שאלת חקירת פונקציית e מבגרות 2025 מועד א: פרמטר מאסימפטוטה אנכית, תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון, סקיצה, ומספר נקודות החיתוך של −f(x) + e⁹ עם ציר x.

🔵 סעיף א: מציאת הפרמטר a לפי האסימפטוטה האנכית x = 2

נתונה הפונקציה f(x) = e^2xx² − 4x + a , a הוא פרמטר. לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה x = 2. מצאו את הערך של a.

אסימפטוטה אנכית – ההפך מתחום ההגדרה: המכנה שווה 0.

x² − 4x + a = 0

מציבים x = 2:

2² − 4·2 + a = 0

4 − 8 + a = 0

תשובה: a = 4

🟢 סעיף ב1: תחום ההגדרה של הפונקציה

הציבו a = 4 ועננו: f(x) = e^2xx² − 4x + 4. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

e^2x מוגדר לכל x, יש מכנה:

x² − 4x + 4 ≠ 0

x ≠ 2

תשובה: x ≠ 2

🟣 סעיף ב2: נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ציר x – y = 0:

e^2xx² − 4x + 4 = 0

/·(x² − 4x + 4)

e^2x = 0 ← אין פתרון (תמיד > 0)

ציר y – x = 0:

f(0) = e⁰0 − 0 + 4 = 14

תשובה: עם ציר x אין, עם ציר y: (0 , 14)

🔷 סעיף ב3: נקודת הקיצון של הפונקציה וסוגה – נגזרת מנה

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) וקבעו את סוגה.

נגזרת מנה: fg → f'·g − g'·fg²

f'(x) =

2e^2x·(x² − 4x + 4) − (2x − 4)e^2x(x² − 4x + 4)²

= 0

מכנה ≠ 0 ← נשאר המונה, מחלקים ב־e^2x ≠ 0:

2x² − 8x + 8 − 2x + 4 = 0

2x² − 10x + 12 = 0

x₁ = 3

x₂ = 2

x = 2 – אסימפטוטה אנכית ← נפסל

f(3) = e⁶9 − 12 + 4 = e⁶

סוג: מציבים ב־2x² − 10x + 12:

x = 212: −0.5 < 0

x = 4: 32 − 40 + 12 = 4 > 0

x	2	212	3	4
f'(x)	אס'	−	0	+
f(x)	⋮	↘	min	↗

תשובה: (3 , e⁶) min

🔵 סעיף ג: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

מסמנים את (0 , 14), את המינימום (3 , e⁶) ואת האסימפטוטה x = 2.

אין חיתוך עם ציר x – לכן משמאל ל־2 הגרף עולה אל האסימפטוטה, ומימין יורד למינימום ועולה.

תשובה: סקיצה עם x = 2 , (0 , 14) , min (3 , e⁶)

🟢 סעיף ד: כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה h(x) = −f(x) + e⁹ עם ציר x

נתונה הפונקציה h(x) = −f(x) + e⁹ שתחום הגדרתה הוא תחום ההגדרה של f(x). כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה h(x) עם ציר ה־x?

−f(x) – ה־x־ים לא משתנים וכל ה־y־ים הופכים סימן: המינימום הופך למקסימום (3 , −e⁶), והגרף משמאל ל־2 יורד (כחול).

מוסיפים e⁹ – מעלים את כל הגרף למעלה (ירוק).

החלק השמאלי עולה מעל ציר x (e⁹ הרבה יותר גדול מ־14) ← נקודת חיתוך אחת.

המקסימום: y = −e⁶ + e⁹ > 0 (e⁹ > e⁶) – עולה לחלק החיובי ← עוד שתי נקודות חיתוך.

תשובה: 3 נקודות חיתוך עם ציר x

💡 לזכור

−f(x) הופכת את הגרף סביב ציר x (מינימום ← מקסימום), ו־+ e⁹ מעלה אותו. סופרים נקודות חיתוך לפי הסקיצה החדשה.

📌 סיכום כל הטרנספורמציות — לחצו כאן

חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים