בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2023 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות על שאלה אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 טופס✅ פתרון סופי

📄 טופס הבחינה

📥 הורדה🖨️ הדפסה

🔍 אפשר להגדיל באצבעות, או להקיש על עמוד כדי לפתוח אותו בגודל מלא.

טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2023 מועד ב – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 4
טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2023 מועד ב – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 4
טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2023 מועד ב – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 4
טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2023 מועד ב – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 4

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – מקום גאומטרי, מעגל, אליפסה ומעגלים משיקים

📄 נוסח השאלה

נתונות הנקודות A(0 , 24) ו־B(18 , 0). הנקודה C מקיימת: AC2 + BC2 = 1250.

א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות C.

את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א הזיזו 9 יחידות שמאלה ו־12 יחידות למטה.

המקום הגאומטרי שהתקבל אחרי ההזזה חותך את ציר ה־y בנקודות E ו־G (yE > yG).

אליפסה שמשוואתה קנונית עוברת דרך הנקודות E ו־G. מוקדי האליפסה הם F1 ו־F2 (xF1 > 0). נתון כי הישר EF1 מקביל לישר GF2, והמרחק בין שני הישרים הוא 24 (ראו סרטוט).

ב. (1) מצאו את שיעורי הנקודה F1.

(2) מצאו את משוואת האליפסה.

ג. מצאו את המשוואות של שני מעגלים שמשיקים לישר EF1, לציר ה־x ולציר ה־y, ונמצאים ברביעים שונים.

הסרטוט מתוך השאלון: האליפסה, הנקודות E ו־G והמוקדים

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

נסמן C(x , y):
AC2 = x2 + (y − 24)2📐 מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
BC2 = (x − 18)2 + y2
x2 + (y − 24)2 + (x − 18)2 + y2
= 1250
x2 + y2 − 48y + 576 + x2 − 36x
+ 324 + y2 = 1250
2x2 + 2y2 − 36x − 48y + 900
= 1250
x2 + y2 − 18x − 24y = 175
נשלים לריבוע:📐 השלמה לריבועx2 − 2bx = (x − b)2 − b2
(x − 9)2 − 81 + (y − 12)2 − 144
= 175
(x − 9)2 + (y − 12)2 = 400📐 מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
זה מעגל שמרכזו (9 , 12) והרדיוס שלו 20.
✅ פתרון סופי: (x − 9)2 + (y − 12)2 = 400

סעיף ב (1) – המוקד F1

אחרי ההזזה (9 שמאלה, 12 למטה) המרכז עובר ל־(0 , 0):
x2 + y2 = 400
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
y2 = 400 ⟸ y = ±20
E(0 , 20) , G(0 , −20)
E ו־G הן קודקודי האליפסה על ציר ה־y, ולכן b = 20. המוקדים על ציר ה־x: ‏F1(c , 0) , F2(−c , 0).📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1
a2 = b2 + c2 , מוקדים (±c , 0)
משוואת EF1:
m = 0 − 20c − 0 = −20c📐 שיפוע ישר דרך שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
y = −20cx + 20
20x + cy − 20c = 0
משוואת GF2:
m = 0 − (−20)−c − 0 = −20c
y = −20cx − 20
20x + cy + 20c = 0
(השיפועים שווים – הישרים מקבילים.) המרחק בין הישרים הוא 24:
|20c − (−20c)|√202 + c2 = 24📐 מרחק בין ישרים מקביליםd = |C1 − C2|√A2 + B2
40c√400 + c2 = 24
5c = 3√400 + c2
25c2 = 9(400 + c2)
16c2 = 3600
c2 = 225 ⟸ c = 15
✅ פתרון סופי: F1(15 , 0)

סעיף ב (2) – משוואת האליפסה

a2 = b2 + c2📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1
a2 = b2 + c2 , מוקדים (±c , 0)
a2 = 400 + 225 = 625
x2625 + y2400 = 1
בסרטוט (בקנה מידה): המעגל המוזז (תכלת), האליפסה (כחול), הישרים המקבילים EF1 ו־GF2 (סגול):
−20−101020−20−101020xyEGF₁F₂
✅ פתרון סופי: x2625 + y2400 = 1

סעיף ג – מעגלים המשיקים לישר ולצירים

EF1: 20x + 15y − 300 = 0
4x + 3y − 60 = 0
מעגל שמשיק לשני הצירים: המרכז במרחק R מכל ציר, כלומר המרכז הוא (±R , ±R). המרחק מהמרכז לישר EF1 שווה גם הוא ל־R:
נבדוק כל רביע:📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
רביע ראשון – מרכז (R , R):
|4R + 3R − 60|5 = R
|7R − 60| = 5R
7R − 60 = 5R ⟸ R = 30
60 − 7R = 5R ⟸ R = 5
רביע שני – מרכז (−R , R):
|−4R + 3R − 60|5 = R
R + 60 = 5R ⟸ R = 15
רביע שלישי – מרכז (−R , −R):
|−7R − 60| = 5R ⟸ 7R + 60 = 5R
אין פתרון חיובי.
רביע רביעי – מרכז (R , −R):
|R − 60| = 5R ⟸ 60 − R
= 5R ⟸ R = 10
מעגלים מתאימים: ברביע הראשון (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25 או (x − 30)2 + (y − 30)2 = 900; ברביע השני (x + 15)2 + (y − 15)2 = 225; ברביע הרביעי (x − 10)2 + (y + 10)2 = 100. כל שניים מהם ברביעים שונים הם תשובה נכונה, למשל:
(x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225
בסרטוט: הישר EF1 (סגול) והמעגלים ברביע הראשון (ירוק חזק), בשני (כחול) וברביע הרביעי (תכלת):
−30−20−101020−20−10102030xyEF₁
✅ פתרון סופי: (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 9)2 + (y − 12)2
= 400
סעיף ב (1)F1(15 , 0)
סעיף ב (2)x2625 + y2400 = 1
סעיף ג(x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225
(גם R = 10 ברביע הרביעי או R = 30 ברביע הראשון)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 – מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים: פירמידה, מקביל למישור ונפח

📄 נוסח השאלה

בפירמידה ABCD המקצוע DC מאונך למישור ABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע AD.

הנקודה F נמצאת על הפאה BCD, ומקיימת: DF = k2 · DB + k · DC (k פרמטר) (ראו סרטוט).

נסמן: AB = u , AC = v , CD = w.

א. הביעו את EF באמצעות u, ‏v, ‏w ו־k.

נתון כי הישר EF מקביל למישור ABC.

ב. מצאו את הערך של k.

נתון: A(0 , 0 , 0) , B(p , 3 , 0) , C(0 , n , 0); ‏p ו־n הם פרמטרים חיוביים.

נתון גם: u · v = 24 , BD = (−4 , 5 , 12).

ג. מצאו את השיעורים של הנקודות B, ‏C ו־D.

ד. מצאו את הנפח של הפירמידה ABCD.

ה. קבעו מהו המצב ההדדי בין הישר EF ובין הישר AB. נמקו את קביעתכם.

סרטוט הפירמידה מתוך השאלון

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הווקטור EF

נבטא כל וקטור באמצעות u, ‏v, ‏w:
AD = AC + CD = v + w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
ED = 12AD = 12v + 12w
DB = DA + AB
= −v − w + u
DC = −w
נציב בנתון על DF:
DF = k2(u − v − w) − kw
= k2u − k2v − 3k2w
EF = ED + DF📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
= 12v + 12w + k2u − k2v − 3k2w
= k2u + 1 − k2v + 1 − 3k2w
✅ פתרון סופי: EF = k2u + 1 − k2v + 1 − 3k2w

סעיף ב – הערך של k

CD מאונך למישור ABC, ולכן w מאונך לכל וקטור במישור:📐 מאונך לווקטוריםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
u · w = 0 , v · w = 0
EF מקביל למישור ABC, ולכן גם הוא מאונך ל־w:
EF · w = 0
k2·0 + 1 − k2·0 + 1 − 3k2|w|2 = 0
|w| ≠ 0, ולכן:
1 − 3k = 0
k = 13
✅ פתרון סופי: k = 13

סעיף ג – הנקודות B, C, D

u = AB = (p , 3 , 0)
v = AC = (0 , n , 0)
u · v = p · 0 + 3n + 0 = 3n📐 מכפלה סקלריתu · n = u1n1 + u2n2 + u3n3
3n = 24 ⟸ n = 8
C(0 , 8 , 0)
D = B + BD
= (p − 4 , 3 + 5 , 0 + 12)
D(p − 4 , 8 , 12)
המישור ABC הוא המישור z = 0, והמקצוע DC מאונך לו. לכן D נמצאת בדיוק מעל C, עם אותם שיעורי x ו־y:
p − 4 = 0 ⟸ p = 4
✅ פתרון סופי: B(4 , 3 , 0) , C(0 , 8 , 0) , D(0 , 8 , 12)

סעיף ד – נפח הפירמידה

הבסיס הוא המשולש ABC במישור z = 0. הצלע AC על ציר ה־y, ו־B במרחק 4 ממנו (שיעור ה־x של B):
AC = 8
SABC = 8 · 42 = 16📐 שטח משולשS = a · h2
הגובה הוא DC, כי DC מאונך לבסיס:
DC = 12
V = 13 · 16 · 12 = 64📐 נפח פירמידהV = 13 · S · h (S – שטח הבסיס, h – הגובה)
✅ פתרון סופי: V = 64

סעיף ה – המצב ההדדי של EF ו־AB

עם k = 13, מסעיף א:
EF = 16u + 13v + 0 · w
= 16(4 , 3 , 0) + 13(0 , 8 , 0)
= (23 , 196 , 0)
מקבילים? AB = (4 , 3 , 0). היחס בין הרכיבים הראשונים הוא 16 ובין השניים 1918 – לא שווה, ולכן הישרים לא מקבילים.
נחתכים?
E = A + D2 = (0 , 4 , 6)📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
EF: (0 , 4 , 6) + t(23 , 196 , 0)
AB: s(4 , 3 , 0)
בכל נקודה של EF מתקיים z = 6, ובכל נקודה של AB מתקיים z = 0. אין להם נקודה משותפת.
ישרים שאינם מקבילים ואינם נחתכים הם ישרים מצטלבים.
בסרטוט (בקנה מידה, היטל משופע): הפירמידה, המשולש ABC (תכלת) והקטע EF (סגול):
ABCDEF
✅ פתרון סופי: הישרים מצטלבים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אEF = k2u + 1 − k2v + 1 − 3k2w
סעיף בk = 13
סעיף גB(4 , 3 , 0)
C(0 , 8 , 0)
D(0 , 8 , 12)
סעיף דV = 64
סעיף המצטלבים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: סדרה הנדסית והצגה קוטבית

📄 נוסח השאלה

z1 , z2 , z3 , … היא סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים שהמנה שלה היא q. ‏z1 נמצא ברביע הראשון.

נתון: z13 = z3 , −2z1 = z3.

א. הראו כי q = z1 או q = −z1.

ב. מצאו את z1. הציגו את תשובתכם בהצגה קוטבית.

ענו על הסעיפים ג–ד בעבור q = z1.

ג. z4n − 2 ו־z4n הם שני איברים בסדרה (n הוא מספר טבעי). קבעו בעבור כל אחד מן האיברים אם הוא מספר ממשי או מספר מדומה. נמקו את קביעתכם.

ד. חשבו את הסכום: z1√2 + z2(√2)2 + … + z64(√2)64.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המנה q

z3 = z1 · q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
נתון:
z3 = z13
z1 · q2 = z13
z1 ≠ 0 (הוא ברביע הראשון), ולכן נחלק ב־z1:
q2 = z12
q2 − z12 = 0
(q − z1)(q + z1) = 0
q = z1
או
q = −z1
✅ פתרון סופי: הוכחה – q = ±z1

סעיף ב – המספר z1

נסמן z1 = r cis(t), ו־0 < t < 90 (רביע ראשון).
z3 הוא הצמוד של z3 = z13:
z13 = r3 cis(3t)📐 הצגה קוטבית ומשפט דה־מואברz = r cis(t) ⟸ zn = rn cis(nt)
z = r cis(−t)
z3 = r3 cis(−3t)
ו־−2z1: כפל ב־−1 מוסיף 180 מעלות לזווית:
−2z1 = 2r cis(t + 180)
נשווה את האורכים:
r3 = 2r
r2 = 2 ⟸ r = √2
נשווה את הזוויות (עד כדי 360 מעלות):
−3t = t + 180 + 360k
−4t = 180 + 360k
t = −45 − 90k
הזווית היחידה בין 0 ל־90 מתקבלת עבור k = −1:
t = 45
z1 = √2 cis(45) = 1 + i
✅ פתרון סופי: z1 = √2 cis(45)

סעיף ג – ממשי או מדומה

עם q = z1:
zn = z1 · z1n − 1 = z1n📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
zn = (√2)n cis(45n)📐 הצגה קוטבית ומשפט דה־מואברz = r cis(t) ⟸ zn = rn cis(nt)
z = r cis(−t)
האיבר z4n:
z4n = (√2)4n cis(180n)
sin(180n) = 0
החלק המדומה הוא 0, ולכן z4n ממשי. הערך שלו:
z4n = 4n · (−1)n
האיבר z4n − 2:
z4n − 2
= (√2)4n − 2 cis(180n − 90)
cos(180n − 90) = 0
החלק הממשי הוא 0, ולכן z4n − 2 מדומה.
✅ פתרון סופי: z4n – ממשי , z4n − 2 – מדומה

סעיף ד – הסכום

כל מחובר בסכום:
zk(√2)k = (√2)k cis(45k)(√2)k
= cis(45k)
המחוברים הם סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה cis(45) והמנה שלה cis(45):
S64 = cis(45) · (cis64(45) − 1)cis(45) − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
cis64(45) = cis(64 · 45)📐 הצגה קוטבית ומשפט דה־מואברz = r cis(t) ⟸ zn = rn cis(nt)
z = r cis(−t)
= cis(2880)
2880 = 8 · 360 ⟸ cis(2880) = 1
S64 = cis(45) · (1 − 1)cis(45) − 1 = 0
כל 8 מחוברים רצופים הם 8 נקודות שמתפזרות באופן שווה על מעגל היחידה (בסרטוט: הזוויות 45, 90, …, 360), והסכום שלהן 0. ב־64 מחוברים יש 8 סיבובים כאלה:
−11−11xy4590135180225270315360
✅ פתרון סופי: 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אהוכחה
סעיף בz1 = √2 cis(45)
= 1 + i
סעיף גz4n – ממשי
z4n − 2 – מדומה
סעיף ד0
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 32 – משפט דה־מואבר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית ln עם פרמטר ו־ln של פונקציה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ln x + ln aln x − ln a , a הוא פרמטר גדול מ־1.

בסעיפים א–ג הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).

(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(4) מצאו את תחומי הירידה של הפונקציה f(x).

(5) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

לפניכם טענה: למשוואה f(x) = f′(x) קיים בדיוק פתרון אחד בתחום x > a.

ב. קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה g(x), המקיימת: g(x) = ln(f(x)).

ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 2 ו־x = 5. נתון: 1 < a < 2.

ד. הביעו באמצעות S את ערך האינטגרל ∫25 ln(2 · f(x)) dx.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

ln x מוגדר ל־x > 0.📐 תחום ההגדרה של lnln(u) מוגדר רק כש־u > 0
המכנה שונה מאפס:
ln x − ln a ≠ 0
ln x ≠ ln a ⟸ x ≠ a📐 ln עולהln x = ln a ⟺ x = a
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ a

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: ב־x = a המכנה מתאפס, והמונה לא:
ln a + ln a = 2ln a ≠ 0 (a > 1)
x = a
אופקית: נחלק מונה ומכנה ב־ln x:
f(x) = 1 + ln aln x1 − ln aln x
כש־x → ∞: ‏ln x → ∞, ולכן ln aln x → 0:
f(x) → 1 + 01 − 0 = 1
y = 1
שימו לב: כש־x → 0 מימין גם f(x) → 1, אבל זה קצה התחום ולא אסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: x = a , y = 1

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה־x: המונה מתאפס.
ln x + ln a = 0
ln x = −ln a
ln x = ln 1a ⟸ x = 1a📐 חוקי לוגריתמים−ln a = ln 1a
חיתוך עם ציר ה־y: ‏x = 0 לא בתחום ההגדרה, ולכן אין.
✅ פתרון סופי: (1a , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y

סעיף א (4) – תחומי ירידה

נסמן u = ln x + ln a , v = ln x − ln a:
u′ = 1x , v′ = 1x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 1x(ln x − ln a) − (ln x + ln a)1x(ln x − ln a)2
= 1x(ln x − ln a − ln x − ln a)(ln x − ln a)2
= −2ln ax(ln x − ln a)2
a > 1, ולכן ln a > 0: המונה שלילי והמכנה חיובי.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־0 < x < a וב־x > a.
✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < a , x > a

סעיף א (5) – סקיצה של f

מה שמצאנו: תחום x > 0 , x ≠ a; אסימפטוטות x = a ו־y = 1; חיתוך (1a , 0); יורדת בכל קטע.
כש־x → 0 מימין f(x) → 1, ולכן בנקודה (0 , 1) מסמנים עיגול ריק. בקטע 0 < x < a הגרף יורד מ־1 דרך (1a , 0) עד מינוס אינסוף.
בקטע x > a הגרף יורד מאינסוף אל 1.
הסקיצה (כחול), מצוירת עם a = 1.6 לדוגמה; האסימפטוטות מקווקוות (תכלת):
1234567−3−2−11234xy(1/a , 0)x = ay = 1
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב – הטענה

בתחום x > a: ‏ln x > ln a > 0, ולכן המונה והמכנה של f חיוביים – f(x) > 0 (למעשה f(x) > 1).
מסעיף א(4): f′(x) < 0 בכל התחום.
f(x) > 0 > f′(x)
לכן בתחום x > a אין אף פתרון למשוואה f(x) = f′(x).
✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה – אין פתרון בתחום x > a

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g

g(x) = ln(f(x)) מוגדרת כש־f(x) > 0.📐 תחום ההגדרה של lnln(u) מוגדר רק כש־u > 0
מהסקיצה של f: בקטע 0 < x < a הפונקציה חיובית רק משמאל לנקודת החיתוך x = 1a, ובקטע x > a היא חיובית תמיד:
0 < x < 1a
או
x > a
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1a או x > a

סעיף ג (2) – סקיצה של g

מעבירים כל תכונה של f דרך ln (ln פונקציה עולה, ולכן g יורדת בשני הקטעים):
בקטע 0 < x < 1a: ‏f יורדת מ־1 ל־0, ולכן g יורדת מ־ln 1 = 0 למינוס אינסוף. הישר x = 1a הוא אסימפטוטה אנכית.
בקטע x > a: ‏f יורדת מאינסוף ל־1, ולכן g יורדת מאינסוף ל־ln 1 = 0. הישר x = a הוא אסימפטוטה אנכית, והישר y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית.
הסקיצה (סגול), עם a = 1.6 לדוגמה:
1234567−3−2−1123xyx = 1/ax = a
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – האינטגרל

ln(2 · f(x)) = ln 2 + ln(f(x))📐 לוגריתם של מכפלהln(b · c) = ln b + ln c
= ln 2 + g(x)
∫25 ln(2f(x)) dx
= ∫25 ln 2 dx + ∫25 g(x) dx
∫25 ln 2 dx = (5 − 2) ln 2
= 3ln 2
1 < a < 2, ולכן כל הקטע 2 ≤ x ≤ 5 נמצא בתחום x > a, שבו g(x) > 0. לכן האינטגרל של g שווה לשטח S:
∫25 g(x) dx = S📐 אינטגרל ושטחכשהפונקציה חיובית בקטע, האינטגרל המסוים שווה לשטח שבין הגרף לציר ה־x
∫25 ln(2f(x)) dx = 3ln 2 + S
✅ פתרון סופי: 3ln 2 + S

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)x > 0 , x ≠ a
סעיף א (2)x = a , y = 1
סעיף א (3)(1a , 0)
סעיף א (4)ירידה: 0 < x < a , x > a
סעיף א (5)סקיצה
סעיף בלא נכונה
סעיף ג (1)0 < x < 1a או x > a
סעיף ג (2)סקיצה
סעיף ד3ln 2 + S
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – שרטוט ln(f(x)) בהינתן f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית e, הפונקציה 1 חלקי f ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = exex − 4.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).

(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ב. נתונה הפונקציה g(x) המקיימת: g(x) = 1f(x). הפונקציות g(x) ו־f(x) מוגדרות באותו התחום.

(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה).

(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

(3) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי האסימפטוטה האופקית שלה ועל ידי הישרים x = ln 5 ו־x = ln 8.

ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם גרף הפונקציה g(x).

נתונה הפונקציה s(x) = ∫xln 3 (f(t) − g(t)) dt , המוגדרת בתחום x < ln 3.

ד. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה s(x) וקבעו את סוגה.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

ex − 4 ≠ 0
ex ≠ 4
x ≠ ln 4📐 מעבר מ־e ל־lnex = b ⟺ x = ln b
✅ פתרון סופי: x ≠ ln 4

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: ב־x = ln 4 המכנה מתאפס והמונה eln 4 = 4 ≠ 0:
x = ln 4
אופקית, כש־x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־ex:
f(x) = 11 − 4e−x → 11 − 0 = 1
y = 1
אופקית, כש־x → −∞: ‏ex → 0:
f(x) → 00 − 4 = 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = ln 4 , y = 1 , y = 0

סעיף א (3) – עלייה וירידה

f′(x) = ex(ex − 4) − ex · ex(ex − 4)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= e2x − 4ex − e2x(ex − 4)2
= −4ex(ex − 4)2
המונה שלילי תמיד והמכנה חיובי.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־x < ln 4 וב־x > ln 4 (אין עלייה).
✅ פתרון סופי: עלייה: אין ; ירידה: x < ln 4 , x > ln 4

סעיף א (4) – סקיצה של f

בקטע x < ln 4: המכנה שלילי, ולכן f < 0. הגרף יורד מ־0 (כש־x → −∞) דרך (0 , −13) עד מינוס אינסוף.
בקטע x > ln 4: ‏f > 0. הגרף יורד מאינסוף אל 1.
הסקיצה (כחול), האסימפטוטות מקווקוות (תכלת):
−3−2−11234−3−2−11234xy(0 , −1/3)x = ln 4y = 1
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב (1) – האסימפטוטות של g

לא גוזרים את g. קוראים הכול מהסקיצה של f (סעיף א(4)), לפי הכללים של 1f:
אנכית: ל־f אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x (המונה ex > 0), כלומר f לא שואפת ל־0 באף נקודה סופית – ולכן ל־g אין אסימפטוטה אנכית.📐 הפונקציה 1 חלקי fכש־f → ±∞ ⇐ 1f → 0
כש־f → 0 ⇐ 1f → ±∞
כש־f → 1 ⇐ 1f → 1
ב־x = ln 4: ‏f → ±∞, ולכן g → 0. הנקודה לא בתחום ההגדרה, ולכן בנקודה (ln 4 , 0) יש "חור" בגרף.
אופקית: כש־x → ∞: ‏f → 1, ולכן g → 1:
y = 1
כש־x → −∞: ‏f → 0 מלמטה (f < 0), ולכן g → −∞ – אין אסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: y = 1

סעיף ב (2) – סקיצה של g

סקיצה 1 היא הסקיצה של f (סעיף א(4)). ממנה בונים את סקיצה 2 – הגרף של g, בלי לגזור:
f יורדת בכל אחד משני הקטעים ולא מחליפה בהם סימן, ולכן g עולה בכל קטע. אין נקודות קיצון.📐 הפונקציה 1 חלקי fל־f ול־1f אותו סימן. בקטע שבו f לא מחליפה סימן: f יורדת ⇐ 1f עולה
f(0) = −13 ⟸ g(0) = −3
ב־x < ln 4: ‏f < 0, ולכן גם g < 0. ‏g עולה מ־−∞ דרך (0 , −3) אל החור (ln 4 , 0).
ב־x > ln 4: ‏f > 1, ולכן 0 < g < 1. ‏g עולה מ־0 אל 1 – מתחת לאסימפטוטה y = 1.
הסקיצה (סגול); השטח של סעיף ב(3) צבוע ירוק חלש:
−11234−3−2−11xy(ln 4 , 0)y = 1(0 , −3)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב (3) – השטח

לחישוב השטח נכתוב את g בצורה פשוטה:
g(x) = 1f(x) = ex − 4ex
= 1 − 4ex = 1 − 4e−x
g(x) < 1 לכל x, ולכן האסימפטוטה y = 1 מעל הגרף:
S = ∫ln 5ln 8 (1 − g(x)) dx
= ∫ln 5ln 8 4e−x dx
= [−4e−x]ln 5ln 8📐 אינטגרל של e∫ e−x dx = −e−x + C
e−ln 8 = 18 , e−ln 5 = 15
= −48 + 45
= −0.5 + 0.8 = 0.3
✅ פתרון סופי: S = 0.3

סעיף ג – נקודת החיתוך

exex − 4 = ex − 4ex
e2x = (ex − 4)2
e2x = e2x − 8ex + 16
8ex = 16
ex = 2 ⟸ x = ln 2
f(ln 2) = 22 − 4 = −1
✅ פתרון סופי: (ln 2 , −1)

סעיף ד – הקיצון של s

s′(x) = −(f(x) − g(x))📐 נגזרת של אינטגרל עם גבול משתנה(∫xc h(t) dt)′ = −h(x)
f(x) − g(x) = exex − 4 − ex − 4ex
= e2x − (ex − 4)2ex(ex − 4)
= 8ex − 16ex(ex − 4)
s′(x) = −8(ex − 2)ex(ex − 4)
s′(x) = 0 ⟸ ex = 2 ⟸ x = ln 2
בתחום x < ln 3: ‏ex < 3 < 4, ולכן ex(ex − 4) < 0. הסימן של s′:
• x < ln 2: ‏ex − 2 < 0, השבר חיובי, ו־s′(x) < 0 – יורדת.
• ln 2 < x < ln 3: ‏ex − 2 > 0, השבר שלילי, ו־s′(x) > 0 – עולה.
ירידה ואז עלייה – מינימום ב־x = ln 2.
✅ פתרון סופי: x = ln 2 – מינימום

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x ≠ ln 4
סעיף א (2)x = ln 4 , y = 1 , y = 0
סעיף א (3)עלייה: אין ; ירידה: x < ln 4 , x > ln 4
סעיף א (4)סקיצה
סעיף ב (1)y = 1
סעיף ב (2)סקיצה
סעיף ב (3)S = 0.3
סעיף ג(ln 2 , −1)
סעיף דx = ln 2 – מינימום
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה, אסימפטוטה והשלכה על 1 חלקי f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 572 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות