בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2023 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ורבע. כאן פתורות כל 5 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד א'

שאלון 572 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 4
שאלון 572 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 4
שאלון 572 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 4
שאלון 572 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 4

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: אליפסה, פרבולה ומעגל

📄 נוסח השאלה

נתונה האליפסה x2144 + y2144 − 4k2 = 1 , k הוא פרמטר, 0 < k < 6.

א. מצאו את שיעורי המוקדים F1 ו־F2 של האליפסה (F1 נמצא בחלק החיובי של ציר ה־x). הביעו באמצעות k.

נתונה פרבולה קנונית שהמוקד שלה הוא F1. הנקודה A נמצאת על הפרבולה ברביע הראשון, ונתון AF1 = 10k.

ב. (1) מצאו את משוואת המדריך של הפרבולה. הביעו באמצעות k.

(2) מצאו את שיעורי הנקודה A. הביעו באמצעות k.

נתון: הישר 5x + 12y = 138 משיק למעגל שהקטע AF1 הוא קוטר שלו.

ג. מצאו את k.

הנקודה D נמצאת על האליפסה.

ד. קבעו אם היקף המשולש F1AF2 גדול מהיקף המשולש F1DF2, קטן ממנו או שווה לו. נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המוקדים

a2 = 144 , b2 = 144 − 4k2📐 נוסחה: אליפסהx2a2 + y2b2 = 1 , c2 = a2 − b2מוקדים (±c , 0)
c2 = a2 − b2
c2 = 144 − (144 − 4k2) = 4k2
c = 2k (k > 0)
F1(2k , 0) , F2(−2k , 0)
✅ פתרון סופי: F1(2k , 0) , F2(−2k , 0)

סעיף ב (1) – משוואת המדריך

לפרבולה קנונית y2 = 2px המוקד ב־(p2 , 0). המוקד הוא F1(2k , 0):
p2 = 2k📐 נוסחה: פרבולה קנוניתy2 = 2pxמוקד (p2 , 0) , מדריך x = −p2
p = 4k
משוואת הפרבולה והמדריך:
y2 = 8kx
x = −p2 = −2k
✅ פתרון סופי: x = −2k

סעיף ב (2) – הנקודה A

המרחק של A מהמוקד שווה למרחקו מהמדריך x = −2k:
AF1 = xA + 2k📐 משפט: הגדרת הפרבולהמרחק נקודה מהמוקד = מרחקה מהמדריך
xA + 2k = 10k
xA = 8k
נציב במשוואת הפרבולה:
y2 = 8k · 8k = 64k2
A ברביע הראשון, ולכן y > 0:
yA = 8k
✅ פתרון סופי: A(8k , 8k)

סעיף ג – הערך של k

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר AF1, והרדיוס הוא חצי מהקוטר:
M = (8k + 2k2 , 8k + 02)📐 נוסחה: אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
M = (5k , 4k)
R = AF12 = 10k2 = 5k
הישר 5x + 12y − 138 = 0 משיק למעגל, ולכן מרחקו מהמרכז שווה לרדיוס:
|5 · 5k + 12 · 4k − 138|√(52 + 122) = 5k📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√(A2 + B2)
|73k − 138|13 = 5k📐 משפט: ישר משיק למעגלמרחק המרכז מהישר = הרדיוס
|73k − 138| = 65k
שתי אפשרויות:
73k − 138 = 65k
8k = 138
k = 17.25
נפסל, כי k < 6.
73k − 138 = −65k
138k = 138
k = 1
✅ פתרון סופי: k = 1

סעיף ד – השוואת ההיקפים

עם k = 1: a = 12 , F1(2 , 0) , F2(−2 , 0) , A(8 , 8) , והאליפסה x2144 + y2140 = 1.
היקף F1DF2: D על האליפסה:
DF1 + DF2 = 2a = 24📐 משפט: הגדרת האליפסהPF1 + PF2 = 2a
PF1DF2 = 24 + F1F2 = 24 + 4 = 28
היקף F1AF2:
AF1 = 10k = 10
AF2 = √((8 + 2)2 + 82)📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
AF2 = √164 ≈ 12.81
PF1AF2 = 10 + 12.81 + 4 ≈ 26.81
(אפשר גם בלי חישוב: 64144 + 64140 ≈ 0.90 < 1, כלומר A בתוך האליפסה, ולכן AF1 + AF2 < 2a.)
הצלע F1F2 משותפת, ולכן ההיקף של F1AF2 קטן יותר.📐 משפט: נקודה בתוך אליפסהx2a2 + y2b2 < 1 ⟺ PF1 + PF2 < 2a
xy128F₁(2 , 0)F₂A(8 , 8)D
━ האליפסה (כחול) ━ הפרבולה (ירוק) ━ המעגל (סגול) ━ המשיק (אפור)
הסרטוט בקנה מידה עם k = 1. D מסומנת כדוגמה לנקודה על האליפסה.
✅ פתרון סופי: היקף F1AF2 קטן מהיקף F1DF2 (26.81 < 28)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אF1(2k , 0) , F2(−2k , 0)
סעיף ב (1)x = −2k
סעיף ב (2)A(8k , 8k)
סעיף גk = 1
סעיף דקטן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 66 – הגדרת האליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים: קובייה, מישור ואנך

📄 נוסח השאלהסרטוט הקובייה מתוך השאלון

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ (ראו סרטוט). נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w.

א. הוכיחו כי הישר CA′ מאונך למישור BC′D.

הנקודה E היא נקודת מפגש התיכונים במשולש BC′D.

ב. (1) הביעו את הווקטור CE באמצעות u , v ו־w.

(2) הוכיחו כי הנקודות A′ , E ו־C נמצאות על ישר אחד.

נתון: A(4 , n , p) , C(3 , 4 , 0) , D(0 , 0 , 0) , n ו־p פרמטרים. שיעור ה־z של הנקודה C′ חיובי.

ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודה A, והראו כי המישור ABCD הוא המישור z = 0.

(2) מצאו את שיעורי הנקודה C′.

הישר ℓ הוא ישר החיתוך של המישור BC′D עם המישור BCC′B′.

ד. מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ.

ה. מצאו הצגה פרמטרית של מישור שמכיל את הישר ℓ ואינו חותך את ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – CA′ מאונך למישור BC′D

נביע את CA′ בדרך C → B → A → A′:
CA′ = CB + BA + AA′ = −v − u + w
שני וקטורים לא מקבילים במישור BC′D:
BD = BA + AD = −u + v
BC′ = BC + CC′ = v + w
נסמן את אורך המקצוע a. נכפול סקלרית:
CA′ · BD =📐 נוסחה: קובייההווקטורים u , v , w מאונכים זה לזה ושווים באורכםu · v = u · w = v · w = 0
= (−u − v + w) · (−u + v)
= |u|2 − |v|2 = a2 − a2 = 0
CA′ · BC′ =
= (−u − v + w) · (v + w)
= −|v|2 + |w|2 = −a2 + a2 = 0
CA′ מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור, ולכן מאונך למישור BC′D.📐 משפט: ישר מאונך למישורישר מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור ⟸ מאונך למישור
✅ פתרון סופי: הוכח: CA′ · BD = 0 , CA′ · BC′ = 0

סעיף ב (1) – הווקטור CE

E מפגש התיכונים של המשולש BC′D. ניקח X = C:
CE = 13(CB + CC′ + CD)📐 נוסחה: מפגש התיכוניםXE = 13(XB + XC′ + XD)לכל נקודה X
CB = −v , CC′ = w , CD = −u
CE = 13(−u − v + w)
✅ פתרון סופי: CE = −13u − 13v + 13w

סעיף ב (2) – A′, E, C על ישר אחד

מסעיף א: CA′ = −u − v + w. ולכן:
CA′ = 3 · CE📐 משפט: נקודות על ישר אחדPQ = t · PR⟸ P , Q , R על ישר אחד
הווקטורים מקבילים ויש להם נקודה משותפת C, ולכן A′ , E , C על ישר אחד.
✅ פתרון סופי: הוכח: CA′ = 3CE

סעיף ג (1) – הנקודה A והמישור ABCD

DA = (4 , n , p)
DC = (3 , 4 , 0)
הצלעות DA ו־DC של הריבוע ABCD מאונכות:
DA · DC = 12 + 4n + 0 = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלרית(a , b , c) · (d , e , f) == ad + be + cf
n = −3
הצלעות שוות באורכן:
|DC| = √(9 + 16 + 0) = 5📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
|DA|2 = 16 + 9 + p2 = 25📐 נוסחה: ריבועצלעות סמוכות מאונכות ושוותDA · DC = 0 , |DA| = |DC|
p2 = 0
p = 0
הנקודות A(4 , −3 , 0) , C(3 , 4 , 0) , D(0 , 0 , 0) – לכולן z = 0, והן לא על ישר אחד. לכן המישור ABCD הוא המישור z = 0.
✅ פתרון סופי: A(4 , −3 , 0) , המישור z = 0

סעיף ג (2) – הנקודה C′

המקצוע CC′ מאונך למישור z = 0, ולכן מקביל לציר ה־z, ואורכו 5 (מקצוע הקובייה):
CC′ = (0 , 0 , ±5)📐 נוסחה: ישר מאונך למישורוקטור הכיוון של האנך = הנורמל של המישור
שיעור ה־z של C′ חיובי:
C′ = (3 , 4 , 0) + (0 , 0 , 5)
C′ = (3 , 4 , 5)
✅ פתרון סופי: C′(3 , 4 , 5)

סעיף ד – הישר ℓ

שני המישורים מכילים את הנקודות B ו־C′, ולכן ישר החיתוך הוא BC′.
B = A + DC
B = (4 , −3 , 0) + (3 , 4 , 0)
B = (7 , 1 , 0)
BC′ = (3 − 7 , 4 − 1 , 5 − 0)
BC′ = (−4 , 3 , 5)
ℓ : x = (7 , 1 , 0) +📐 נוסחה: הצגה פרמטרית של ישרx = A + t · d
+ t(−4 , 3 , 5)
✅ פתרון סופי: ℓ : x = (7 , 1 , 0) + t(−4 , 3 , 5)

סעיף ה – מישור שמכיל את ℓ ולא חותך את ציר x

מישור שאינו חותך את ציר ה־x מקביל לו. ניקח את וקטור הכיוון של ציר ה־x, (1 , 0 , 0), כווקטור כיוון שני:
x = (7 , 1 , 0) +📐 נוסחה: הצגה פרמטרית של מישורx = A + t · d1 + s · d2
+ t(−4 , 3 , 5) +
+ s(1 , 0 , 0)
נוודא שציר ה־x לא מוכל במישור: הנורמל (0 , 5 , −3) מאונך לשני וקטורי הכיוון, ומשוואת המישור:
5(y − 1) − 3z = 0
5y − 3z − 5 = 0
נקודה על ציר ה־x, (t , 0 , 0), נותנת −5 ≠ 0 – אין נקודה משותפת.
✅ פתרון סופי: x = (7 , 1 , 0) + t(−4 , 3 , 5) + s(1 , 0 , 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)13(−u − v + w)
סעיף ב (2)הוכחה
סעיף ג (1)A(4 , −3 , 0)
סעיף ג (2)C′(3 , 4 , 5)
סעיף ד(7 , 1 , 0) + t(−4 , 3 , 5)
סעיף ה(7 , 1 , 0) + t(−4 , 3 , 5) + s(1 , 0 , 0)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: שורשים, משולש במישור גאוס וחזקות

📄 נוסח השאלה

נתונה המשוואה z3 = 1z3.

א. מצאו את z0, הפתרון של המשוואה שנמצא ברביע הרביעי.

הנקודות A , B ו־C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים המרוכבים d · z0 , di · z0 ו־d · (z0)4 בהתאמה, d > 0 פרמטר ממשי.

נתון כי שטח המשולש ABC הוא 5d + 6.

ב. מצאו את d.

נתון: w = ((z0)2 − 1(z0)2)(1 + i).

ג. מצאו את |w| ואת arg w.

ד. מצאו את n הטבעי הקטן ביותר שבעבורו wn הוא מספר מדומה טהור, והנקודה המייצגת אותו נמצאת מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הפתרון z0

נכפיל ב־z3 (z ≠ 0):
z6 = 1
z = cis 360k6 = cis(60k)📐 נוסחה: שורשים מסדר nwn = 1 ⟹ w = cis 360knk = 0 , 1 , … , n − 1
k = 0 , 1 , … , 5
הפתרונות: cis 0 , cis 60 , cis 120 , cis 180 , cis 240 , cis 300. ברביע הרביעי הזווית בין 270 ל־360:
z0 = cis 300
z0 = cos 300 + i sin 300
z0 = 12 − √32i
✅ פתרון סופי: z0 = cis 300 = 12 − √32i

סעיף ב – הערך של d

נעבור להצגה קוטבית:
A : d · z0 = d cis 300
B : di · z0 = d cis(90 + 300)📐 נוסחה: כפל בהצגה קוטביתr1 cis a · r2 cis b == r1r2 cis(a + b)
= d cis 390 = d cis 30
C : d · (z0)4 = d cis(4 · 300)📐 נוסחה: דה מואבר(r cis a)n = rn cis(na)
= d cis 1200
1200 − 3 · 360 = 120
C : d cis 120
לשלושת המספרים מודול d – הנקודות על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו d.
ההפרש בין הזוויות של A ו־C: 300 − 120 = 180 – AC הוא קוטר. לכן:
∢ABC = 90📐 משפט: זווית היקפית על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
הזווית המרכזית ∢BOC = 120 − 30 = 90 וגם ∢AOB = 30 + 60 = 90, כלומר OB מאונך ל־AC והוא גובה במשולש:
S = AC · OB2 = 2d · d2 = d2📐 נוסחה: שטח משולשS = צלע · גובה2
נשווה לשטח הנתון:
d2 = 5d + 6
d2 − 5d − 6 = 0
(d − 6)(d + 1) = 0
d = 6 או d = −1
d > 0, ולכן:
d = 6
xy66ABC
━ המשולש (כחול) ━ המעגל החוסם, רדיוס d (סגול)
✅ פתרון סופי: d = 6

סעיף ג – המודול והזווית של w

(z0)2 = cis 600 = cis 240📐 נוסחה: דה מואבר(r cis a)n = rn cis(na)
1(z0)2 = cis(−240) = cis 120📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)
cis 240 = −12 − √32i
cis 120 = −12 + √32i
(z0)2 − 1(z0)2 = cis 240 − cis 120
= −12 − √32i + 12 − √32i
= −√3i
w = −√3i(1 + i) = −√3i − √3i2
w = √3 − √3i
|w| = √(3 + 3) = √6📐 נוסחה: מודול וזווית|x + yi| = √(x2 + y2)tan a = yx
הנקודה (√3 , −√3) ברביע הרביעי, ו־tan a = −1:
arg w = 315
✅ פתרון סופי: |w| = √6 , arg w = 315

סעיף ד – הערך של n

wn = (√6)n cis(315n)📐 נוסחה: דה מואבר(r cis a)n = rn cis(na)
תנאי 1 – מחוץ למעגל: המעגל החוסם הוא המעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו d = 6:
(√6)n > 6 = (√6)2
n > 2
תנאי 2 – מדומה טהור: נבדוק את הזווית 315n עבור n = 3 , 4 , 5 , 6:
n = 3 : 945 − 720 = 225📐 נוסחה: מדומה טהורהזווית היא 90 או 270 (ועוד כפולות של 360)
n = 4 : 1260 − 1080 = 180
n = 5 : 1575 − 1440 = 135
n = 6 : 1890 − 1800 = 90 ✓
w6 = (√6)6 cis 90 = 216i
(עבור n = 2: w2 = 6 cis 270 = −6i – מדומה טהור, אבל על המעגל ולא מחוצה לו.)
✅ פתרון סופי: n = 6 (w6 = 216i)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אz0 = cis 300
סעיף בd = 6
סעיף ג|w| = √6 , arg w = 315
סעיף דn = 6
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם חזקה n, שטח וערך מוחלט

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = (ex − 1)n − 4 , המוגדרת לכל x. n הוא מספר טבעי גדול או שווה ל־2.

ענו על סעיף א עבור n זוגי ועבור n אי־זוגי.

א. (1) מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן (אם יש כאלה).

(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ענו על הסעיפים ב–ג עבור n = 2.

נתונה הפונקציה g(x) = 3ex − 7 , המוגדרת לכל x.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך שבין גרף הפונקציה f(x) ובין גרף הפונקציה g(x).

(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי גרף הפונקציה g(x).

נתונה הפונקציה h(x) = |f(x)| , המוגדרת לכל x.

ג. (1) כמה נקודות קיצון יש לפונקציה h(x)? מצאו את שיעורי הנקודות הללו, וקבעו את סוגן.

(2) מצאו את תחום הערכים של k שבעבורו הישר y = k חותך את גרף הפונקציה h(x) ב־3 נקודות.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – האסימפטוטה האופקית

כאשר x → ∞: ex − 1 → ∞, ולכן f(x) → ∞ – אין אסימפטוטה מימין.
כאשר x → −∞:
ex → 0 ⟹ (ex − 1)n → (−1)n📐 נוסחה: גבולx → −∞ ⟹ ex → 0
n זוגי:
(−1)n = 1 ⟹ y = 1 − 4 = −3
n אי־זוגי:
(−1)n = −1 ⟹ y = −1 − 4 = −5
✅ פתרון סופי: n זוגי: y = −3 ; n אי־זוגי: y = −5

סעיף א (2) – נקודות קיצון

f′(x) = n(ex − 1)n−1 · ex📐 נוסחה: נגזרת של חזקה (כלל השרשרת)((g(x))n)′ = n(g(x))n−1 · g′(x)(ex)′ = ex
n > 0 ו־ex > 0, ולכן:
f′(x) = 0 ⟺ ex − 1 = 0 ⟺ x = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
f(0) = 0n − 4 = −4
הסימן של ex − 1: שלילי עבור x < 0, חיובי עבור x > 0.
n זוגי: n − 1 אי־זוגי, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של ex − 1:
ב־x < 0 מתקיים f′ < 0, ולכן f יורדת.
ב־x > 0 מתקיים f′ > 0, ולכן f עולה.
לכן ב־(0 , −4) יש נקודת מינימום.
n אי־זוגי: n − 1 זוגי, ולכן (ex − 1)n−1 ≥ 0.
אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית, חוץ מ־x = 0 (שם היא 0 ולא מחליפה סימן), ולכן f עולה בכל התחום.
✅ פתרון סופי: n זוגי: (0 , −4) מינימום ; n אי־זוגי: אין קיצון

סעיף א (3) – סקיצה

n זוגי: משמאל הגרף מתקרב ל־y = −3 מלמטה, יורד עד המינימום (0 , −4) ואחר כך עולה ל־∞.
n אי־זוגי: משמאל הגרף מתקרב ל־y = −5 מלמעלה, עולה כל הזמן, עובר ב־(0 , −4) עם משיק אופקי וממשיך לעלות ל־∞.
xy−3−4−5(0 , −4)
━ n זוגי (כחול) ━ n אי־זוגי (ירוק)

סעיף ב (1) – נקודות החיתוך

עבור n = 2:
f(x) = (ex − 1)2 − 4
f(x) = e2x − 2ex + 1 − 4
f(x) = e2x − 2ex − 3
נשווה:
e2x − 2ex − 3 = 3ex − 7
e2x − 5ex + 4 = 0
נסמן t = ex:
t2 − 5t + 4 = 0
(t − 1)(t − 4) = 0
ex = 1 ⟹ x = 0📐 נוסחה: לוגריתםex = b ⟺ x = ln b
ex = 4 ⟹ x = ln 4
g(0) = 3 − 7 = −4
g(ln 4) = 3 · 4 − 7 = 5
✅ פתרון סופי: (0 , −4) , (ln 4 , 5)

סעיף ב (2) – השטח

בדיקה בנקודה x = ln 2 שבין נקודות החיתוך: g(ln 2) = −1 , f(ln 2) = −3 – הגרף של g מעל.
S = ∫0ln 4 (g(x) − f(x))dx📐 נוסחה: שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (g(x) − f(x))dx(g מעל f)
g(x) − f(x) = −e2x + 5ex − 4
S = [−12e2x + 5ex − 4x]0ln 4📐 נוסחה: אינטגרלים∫ ekxdx = 1kekx + c
S = (−162 + 20 − 4 ln 4) −
− (−12 + 5)
S = 12 − 4 ln 4 − 4.5
S = 7.5 − 4 ln 4 ≈ 1.955
xyln 45−4
━ f(x) (כחול) ━ g(x) (ירוק) ━ השטח (תכלת)
✅ פתרון סופי: S = 7.5 − 4 ln 4 ≈ 1.955

סעיף ג (1) – נקודות הקיצון של h(x)

חיתוך של f עם ציר ה־x:
(ex − 1)2 = 4
ex − 1 = 2 ⟹ x = ln 3📐 נוסחה: לוגריתםex = b ⟺ x = ln b
(ex − 1 = −2 אין פתרון, כי ex > 0.)
f < 0 עבור x < ln 3, ו־f > 0 עבור x > ln 3.
בתחום x < ln 3: h = −f. המינימום של f ב־(0 , −4) הופך למקסימום (0 , 4).📐 נוסחה: גרף של ערך מוחלטh(x) = |f(x)|החלק שמתחת לציר ה־x משתקף כלפי מעלה
ב־x = ln 3 הגרף של h יורד ל־0 ועולה שוב (חוד), ו־h ≥ 0 – נקודת מינימום (ln 3 , 0).
מימין ל־ln 3 h = f עולה, ומשמאל h עולה מ־3 (האסימפטוטה y = 3) עד 4.
xyln 334maxmin
━ h(x) (כחול) ━ ישר y = k עם 3 < k < 4 (סגול) ━ הפס 3 < y < 4 (צהוב)
✅ פתרון סופי: שתי נקודות: (0 , 4) מקסימום , (ln 3 , 0) מינימום

סעיף ג (2) – תחום הערכים של k

לפי הגרף של h:
• x < 0: h עולה מ־3 (לא כולל) עד 4 – ערכים 3 < y ≤ 4.
• 0 < x < ln 3: h יורדת מ־4 עד 0.
• x > ln 3: h עולה מ־0 ל־∞.
ישר y = k עם 3 < k < 4 חותך כל אחד משלושת החלקים פעם אחת – 3 נקודות.
עבור k = 4: 2 נקודות (המקסימום ועוד אחת מימין). עבור 0 < k ≤ 3: 2 נקודות. עבור k > 4: נקודה אחת.
✅ פתרון סופי: 3 < k < 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)זוגי y = −3 , אי־זוגי y = −5
סעיף א (2)זוגי (0 , −4) מינימום , אי־זוגי אין
סעיף א (3)סקיצה
סעיף ב (1)(0 , −4) , (ln 4 , 5)
סעיף ב (2)7.5 − 4 ln 4 ≈ 1.955
סעיף ג (1)2: (0 , 4) מקסימום , (ln 3 , 0) מינימום
סעיף ג (2)3 < k < 4
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – פתרון בגרות קיץ 2023
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln, הנגזרת ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ln(x) + 1x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = (x + 1)(1 − ln(x)) , המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקציה f(x).

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.

(2) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה).

(3) מצאו את תחום הקעירות כלפי מעלה ∪ ואת תחום הקעירות כלפי מטה ∩ של הפונקציה g(x).

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

נתונה הפונקציה h(x) = 1x · g′(x) , המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקציה g(x).

ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה h(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = e ו־x = 1.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

x > 0📐 נוסחה: תחום הגדרהln x מוגדר רק עבור x > 0 ; במכנה x ≠ 0
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף א (2) – נקודת הקיצון

f′(x) = 1x − 1x2 = x − 1x2📐 נוסחה: נגזרות(ln x)′ = 1x(1x)′ = −1x2
f′(x) = 0 ⟹ x = 1📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
f(1) = ln 1 + 1 = 1
המכנה x2 חיובי, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של x − 1:
ב־0 < x < 1 מתקיים f′ < 0, ולכן f יורדת.
ב־x > 1 מתקיים f′ > 0, ולכן f עולה.
לכן ב־(1 , 1) יש נקודת מינימום.
✅ פתרון סופי: (1 , 1) מינימום

סעיף א (3) – סקיצה

כאשר x → 0+: 1x → ∞ ומכריע את ln x → −∞ (f(x) = x ln x + 1x, והמונה שואף ל־1), ולכן f → ∞. כאשר x → ∞: f → ∞. המינימום (1 , 1), ולכן f(x) ≥ 1 > 0 לכל x > 0.
xy11(1 , 1)
━ f(x) (כחול)

סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר x

(x + 1)(1 − ln x) = 0
x + 1 > 0 בתחום, ולכן:
1 − ln x = 0
ln x = 1
x = e📐 נוסחה: לוגריתםln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: (e , 0)

סעיף ב (2) – עלייה וירידה

g′(x) = 1 · (1 − ln x) +📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′
+ (x + 1) · (−1x)
g′(x) = 1 − ln x − 1 − 1x
g′(x) = −(ln x + 1x) = −f(x)
מסעיף א: f(x) ≥ 1 > 0 לכל x > 0, ולכן g′(x) < 0:
אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית, ולכן g יורדת בכל התחום.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת
✅ פתרון סופי: יורדת לכל x > 0 ; אין תחום עלייה

סעיף ב (3) – תחומי קעירות

g″(x) = −f′(x) = −x − 1x2 = 1 − xx2
0 < x < 1: g″ > 0 – קעורה כלפי מעלה.
x > 1: g″ < 0 – קעורה כלפי מטה.📐 משפט: קעירותקעורה כלפי מעלה ⟸ f″ > 0 ⟸ f′ עולה
✅ פתרון סופי: ∪: 0 < x < 1 ; ∩: x > 1

סעיף ב (4) – סקיצה

כאשר x → 0+: (x + 1) → 1 ו־(1 − ln x) → ∞, ולכן g → ∞. הגרף יורד בכל התחום, נקודת פיתול ב־(1 , 2) (g(1) = 2 · 1 = 2), חותך את ציר ה־x ב־(e , 0) וממשיך לרדת.
xy1e2(1 , 2)
━ g(x) (ירוק)

סעיף ג – השטח

h(x) = 1x · g′(x) = −1x(ln x + 1x)
h(x) = −ln xx − 1x2
בקטע 1 ≤ x ≤ e: ln x ≥ 0, ולכן h(x) < 0 – השטח מתחת לציר ה־x:
S = −∫1e h(x)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר xS = −∫ab h(x)dx(כאשר h ≤ 0 בקטע)
S = ∫1e (ln xx + 1x2)dx
S = [(ln x)22 − 1x]1e📐 נוסחה: אינטגרלים∫ ln xxdx = (ln x)22 + c∫ 1x2dx = −1x + c
S = (12 − 1e) − (0 − 1)
S = 32 − 1e ≈ 1.132
✅ פתרון סופי: S = 32 − 1e ≈ 1.132

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x > 0
סעיף א (2)(1 , 1) מינימום
סעיף א (3)סקיצה
סעיף ב (1)(e , 0)
סעיף ב (2)יורדת לכל x > 0
סעיף ב (3)∪ 0 < x < 1 , ∩ x > 1
סעיף ב (4)סקיצה
סעיף ג32 − 1e ≈ 1.132
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – חקירה ברמת בגרות 5 יח
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות