בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2025 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטריה אנליטית, וקטורים, טריגונומטריה במרחב, מספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ושלושה רבעים. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד ב'

שאלון 572 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – אליפסה, מעגל, משיק וריבוע

📄 נוסח השאלה

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x225k2 + y216k2 = 1. k הוא פרמטר חיובי.

הנקודה F היא המוקד הימני של האליפסה.

נתון מעגל שמרכזו בנקודה F והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־x.

א. הביעו באמצעות k את משוואת המעגל.

הנקודה B היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־y.

הנקודה D היא נקודת החיתוך של הקטע BF עם המעגל.

ב. (1) מצאו את היחס בין הקטע BD ובין הקטע DF.

(2) הביעו באמצעות k את שיעורי הנקודה D.

ג. הביעו באמצעות k את משוואת המשיק למעגל בנקודה D.

בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 15. אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת בתוך הריבוע.

ד. הביעו באמצעות k את משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

נתון כי הנקודה B היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע.

ה. מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואת המעגל

נקרא מן המשוואה את a ו־b:
a2 = 25k2 ⟸ a = 5k📐 אליפסהx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2 , F(c , 0)
b2 = 16k2 ⟸ b = 4k
c2 = 25k2 − 16k2 = 9k2
c = 3k ⟸ F(3k , 0)
החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה־x הוא קצה הציר הגדול (5k , 0). הרדיוס הוא המרחק מ־F:
R = 5k − 3k = 2k
(x − 3k)2 + y2 = 4k2📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 3k)2 + y2 = 4k2

סעיף ב (1) – היחס BD : DF

B הוא קצה הציר הקטן: B(0 , 4k).
BF = √(3k − 0)2 + (0 − 4k)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √25k2 = 5k
D על המעגל, ולכן DF הוא רדיוס:
DF = 2k
BD = BF − DF = 5k − 2k = 3k
BDDF = 3k2k = 32
✅ פתרון סופי: BD : DF = 3 : 2

סעיף ב (2) – שיעורי D

D מחלקת את BF ביחס 3 : 2 (מ־B):
xD = 2 · 0 + 3 · 3k3 + 2 = 9k5📐 חלוקת קטע ביחסP מחלקת את AB ביחס m : n (מ־A):x = n · xA + m · xBm + n
yD = 2 · 4k + 3 · 03 + 2 = 8k5
✅ פתרון סופי: D(9k5 , 8k5)

סעיף ג – המשיק בנקודה D

המשיק מאונך לרדיוס FD. השיפוע של FD:
mFD = 8k5 − 09k5 − 3k = 8k5−6k5 = −43📐 שיפוע ישר דרך שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
שיפוע המשיק (מכפלת השיפועים −1):
m = 34📐 משיק למעגלהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 8k5 = 34(x − 9k5)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
y = 34x − 27k20 + 32k20
y = 34x + k4
✅ פתרון סופי: y = 34x + k4

סעיף ד – הצלע המקבילה למשיק

נכתוב את המשיק בצורה כללית (נכפול ב־4):
3x − 4y + k = 0
הצלע המקבילה נמצאת על ישר עם אותו שיפוע:
3x − 4y + C = 0📐 ישרים מקביליםm1 = m2
המרחק בין שתי הצלעות הוא צלע הריבוע, 15. ניקח נקודה על המשיק, למשל (0 , k4):
|3 · 0 − 4 · k4 + C|5 = 15📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
|C − k| = 75
C = k + 75
או
C = k − 75
איזו אפשרות? B(0 , 4k) נמצאת בתוך הריבוע, כלומר בין שני הישרים. נציב את B בביטוי 3x − 4y + k:
3 · 0 − 16k + k = −15k < 0
הנקודה B בצד שבו הביטוי שלילי, ולכן הישר השני צריך להיות "מעבר" ל־B: בצד הזה הערך של 3x − 4y + C ב־B חיובי:
−16k + C > 0 ⟸ C > 16k
עם C = k − 75: k − 75 > 16k – בלתי אפשרי (k > 0). לכן C = k + 75 (וזה מתאים כאשר k < 5, כלומר כשהמרחק 3k של B מן המשיק קטן מ־15):
3x − 4y + k + 75 = 0
y = 34x + k + 754
✅ פתרון סופי: y = 34x + k + 754

סעיף ה – הערך של k

נקודת המפגש של האלכסונים היא מרכז הריבוע, ולכן המרחק שלה מכל צלע הוא חצי צלע: 7.5. המרחק של B(0 , 4k) מן המשיק:
d = |3 · 0 − 4 · 4k + k|√32 + 42 = 15k5📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
= 3k
3k = 7.5
k = 2.5
בדיקה: המרחק של B מן הצלע המקבילה:
|−16 · 2.5 + 2.5 + 75|5
= 37.55 = 7.5 ✓
הסרטוט בקנה מידה עבור k = 2.5 (הריבוע בסגול, המשיק בכתום):
-10-5510-101020xyFBD
✅ פתרון סופי: k = 2.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 3k)2 + y2 = 4k2
סעיף ב (1)3 : 2
סעיף ב (2)D(9k5 , 8k5)
סעיף גy = 34x + k4
סעיף דy = 34x + k + 754
סעיף הk = 2.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 66 – הגדרת האליפסה ותרגיל בסיסי
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים במרחב: מנסרה ישרה ופירמידה

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′ שבסיסה AOB הוא משולש ישר זווית, ∢AOB = 90.

הנקודה K היא אמצע המקצוע AB.

הנקודה E נמצאת על הקטע O′B כך ש־O′E = 13 · O′B.

הנקודה N נמצאת על הקטע AE כך ש־AN = 34 · AE.

נסמן: OA = u , OB = v , OO′ = w.

א. (1) הביעו באמצעות u , v , w את O′N.

(2) הוכיחו כי הנקודות O′ , N , K נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין O′N ובין O′K.

נתון: O(0 , 0 , 0) , A(4 , 0 , 0) , E(0 , 1 , 6). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y, והקודקוד O′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.

ב. מצאו את שיעורי הנקודות B ו־N.

ג. מצאו את משוואת המישור A′KB′.

ד. (1) מצאו את המרחק בין הנקודה N ובין המישור A′KB′.

(2) מצאו את נפח הפירמידה NA′KB′.

סרטוט המנסרה מתוך השאלון

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – הווקטור O′N

נבנה את הווקטור צעד אחר צעד:
O′N = O′A + AN📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
O′A = O′O + OA = −w + u
AE = AO′ + O′E
O′B = O′O + OB = −w + v
AE = (w − u) + 13(−w + v)
AE = −u + 13v + 23w
AN = 34AE = −34u + 14v + 12w
O′N = u − w − 34u + 14v + 12w
O′N = 14u + 14v − 12w
OABO′A′B′KEN
✅ פתרון סופי: O′N = 14u + 14v − 12w

סעיף א (2) – O′, N, K על ישר אחד

K אמצע AB, ולכן OK = 12(u + v):
O′K = O′O + OK📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
O′K = 12u + 12v − w
נשווה לתוצאה של (1):
O′N = 12(12u + 12v − w)
O′N = 12O′K📐 נקודות על ישר אחדאם PQ = t · PR – הנקודות P, Q, R על ישר אחד
הווקטורים יוצאים מאותה נקודה O′ ומקבילים, ולכן O′ , N , K על ישר אחד, ו־N היא אמצע O′K.
✅ פתרון סופי: על ישר אחד, O′N : O′K = 1 : 2

סעיף ב – שיעורי B ו־N

נסמן B(0 , b , 0) ו־O′(0 , 0 , h). לפי הנתון על E:
E = O′ + 13O′B📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
O′B = (0 , b , −h)
E = (0 , b3 , h − h3)
= (0 , b3 , 2h3)
b3 = 1 ⟸ b = 3
2h3 = 6 ⟸ h = 9
B(0 , 3 , 0) , O′(0 , 0 , 9)
עכשיו u = (4 , 0 , 0) , v = (0 , 3 , 0) , w = (0 , 0 , 9). לפי סעיף א:
O′N
= (1 , 0 , 0) + (0 , 0.75 , 0)
− (0 , 0 , 4.5)
O′N = (1 , 0.75 , −4.5)
N = O′ + O′N📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
N
= (0 + 1 , 0 + 0.75 , 9 − 4.5)
N = (1 , 0.75 , 4.5)
✅ פתרון סופי: B(0 , 3 , 0) , N(1 , 0.75 , 4.5)

סעיף ג – משוואת המישור A′KB′

A′(4 , 0 , 9) , B′(0 , 3 , 9) ,
K(2 , 1.5 , 0)
A′B′ = (−4 , 3 , 0)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
A′K = (−2 , 1.5 , −9)
נחפש נורמל (a , b , c) המאונך לשני הווקטורים:
−4a + 3b = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
−2a + 1.5b − 9c = 0
מהמשוואה הראשונה b = 4a3. נציב בשנייה: −2a + 2a − 9c = 0, כלומר c = 0. ניקח a = 3:
(a , b , c) = (3 , 4 , 0)
3x + 4y + d = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
A′: 12 + 0 + d = 0 ⟸ d
= −12
3x + 4y − 12 = 0
בדיקה: K: 6 + 6 − 12 = 0 ✓ , B′: 0 + 12 − 12 = 0 ✓
(זו בעצם הפאה ABB′A′ של המנסרה: K נמצא על AB.)
✅ פתרון סופי: 3x + 4y − 12 = 0

סעיף ד (1) – המרחק של N מן המישור

d📐 מרחק נקודה ממישורd = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
= |3 · 1 + 4 · 0.75 + 0 − 12|√32 + 42 + 02
d = |3 + 3 − 12|5 = 65 = 1.2
✅ פתרון סופי: d = 1.2

סעיף ד (2) – נפח הפירמידה NA′KB′

בסיס הפירמידה: המשולש A′KB′ שבמישור. הגובה: המרחק של N מן המישור, 1.2.
A′B′ = √(−4)2 + 32 + 02 = 5📐 מרחק בין שתי נקודות במרחבd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
המשולש נמצא בפאה המלבנית ABB′A′. K על הצלע AB, ולכן הגובה מ־K לצלע A′B′ שווה לגובה המנסרה, 9:
SA′KB′ = 5 · 92 = 22.5📐 שטח משולשS = a · h2
V = 13 · 22.5 · 1.2📐 נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס, h – הגובה
V = 9
✅ פתרון סופי: V = 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)14u + 14v − 12w
סעיף א (2)1 : 2
סעיף בB(0 , 3 , 0)
N(1 , 0.75 , 4.5)
סעיף ג3x + 4y − 12 = 0
סעיף ד (1)1.2
סעיף ד (2)V = 9
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה במישור גאוס

📄 נוסח השאלה

נתונים שני מספרים מרוכבים z1 ו־z2 שמכפלתם היא −19 + 4i. z1 = 2 + 3i.

א. מצאו את המספר z2.

נתונה המשוואה w3 = z1 + z2, w הוא משתנה מרוכב.

ב. מצאו את פתרונות המשוואה.

נתון מספר מרוכב z = 2(cos t + i · sin t), 0 ≤ t < 360.

נתון כי המספרים z ו־z3 נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

ג. מצאו את ארבע האפשרויות של המספר z.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

ד. (1) סרטטו את המצולע במערכת צירים.

(2) חשבו את השטח של המצולע.

נתון מספר מרוכב 3(cos a + i sin a), 0 ≤ a < 360.

מכפילים כל אחד מן המספרים המייצגים את קודקודי המצולע במספר מרוכב זה, כך שנוצר מצולע חדש.

ה. פי כמה גדול שטח המצולע החדש משטח המצולע שמצאתם בסעיף ד.

(בשאלון הזוויות מסומנות באותיות יווניות; כאן הן מסומנות t ו־a. הזוויות במעלות.)

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המספר z2

z2 = −19 + 4i2 + 3i
z2 = (−19 + 4i)(2 − 3i)22 + 32📐 חילוק מספרים מרוכביםa + bic + di = (a + bi)(c − di)c2 + d2
(−19 + 4i)(2 − 3i)
= −38 + 57i + 8i − 12i2
= −38 + 65i + 12 = −26 + 65i
z2 = −26 + 65i13 = −2 + 5i
בדיקה: (2 + 3i)(−2 + 5i)
= −4 + 10i − 6i + 15i2
= −19 + 4i ✓
✅ פתרון סופי: z2 = −2 + 5i

סעיף ב – פתרון המשוואה

z1 + z2 = (2 − 2) + (3 + 5)i
= 8i
8i נמצא על החלק החיובי של הציר המדומה: גודל 8, זווית 90:
w3 = 8 cis 90📐 סימוןcis(a) = cos a + i sin a
wk = 2 cis(90 + 360k3)📐 פתרון משוואה מהצורה wn = r cis awk = r1/n cis(a + 360kn)k = 0 , 1 , … , n − 1
= 2 cis(30 + 120k)
k = 0: w = 2 cis 30 = √3 + i
k = 1: w = 2 cis 150
= −√3 + i
k = 2: w = 2 cis 270 = −2i
✅ פתרון סופי: √3 + i , −√3 + i , −2i

סעיף ג – ארבע האפשרויות של z

z3 = 23 cis(3t) = 8 cis(3t)📐 משפט דה־מואבר[r cis(a)]n = rn cis(na)
שני מספרים נמצאים על ישר אחד דרך הראשית כאשר הזוויות שלהם שוות או נבדלות ב־180 (באותו כיוון או בכיוון ההפוך):
3t = t + 180m
2t = 180m
t = 90m
בתחום 0 ≤ t < 360: t = 0 , 90 , 180 , 270:
z = 2 cis 0 = 2
z = 2 cis 90 = 2i
z = 2 cis 180 = −2
z = 2 cis 270 = −2i
✅ פתרון סופי: 2 , 2i , −2 , −2i

סעיף ד (1) – סרטוט המצולע

כל המספרים מסעיפים ב ו־ג הם בגודל 2, כלומר על מעגל שרדיוסו 2. המספר −2i מופיע בשני הסעיפים, ולכן יש 6 קודקודים שונים, בזוויות:
0 , 30 , 90 , 150 , 180 , 270
המצולע הוא משושה (בקנה מידה):
-22-2i2ixy2√3 + i2i−√3 + i−2−2i
✅ פתרון סופי: משושה – ראו סרטוט

סעיף ד (2) – שטח המצולע

נחלק את המשושה ל־6 משולשים שקודקודם בראשית. בכל משולש שתי צלעות הן רדיוסים (2), והזווית שביניהן היא ההפרש בין הזוויות של הקודקודים:
30 , 60 , 60 , 30 , 90 , 90
S = 12 · 2 · 2 · (sin30 + sin60📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢∢ – הזווית שבין a ו־b
+ sin60 + sin30 + sin90 + sin90)
S
= 2 · (12 + √32 + √32 + 12 + 1 + 1)
S = 2 · (3 + √3)
S = 6 + 2√3 ≈ 9.46
✅ פתרון סופי: S = 6 + 2√3 ≈ 9.46

סעיף ה – פי כמה גדל השטח

r cis(x) · 3 cis(a)📐 כפל בהצגה קוטביתr1cis(a) · r2cis(b)= r1r2 cis(a + b)
= 3r cis(x + a)
כל קודקוד מסתובב באותה זווית a סביב הראשית (סיבוב לא משנה שטח), והמרחק שלו מן הראשית גדל פי 3. כלומר המצולע החדש דומה למצולע המקורי ביחס 3.
יחס השטחים של מצולעים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:
32 = 9📐 מצולעים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)2
✅ פתרון סופי: פי 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א−2 + 5i
סעיף ב√3 + i , −√3 + i , −2i
סעיף ג2 , 2i , −2 , −2i
סעיף ד (2)6 + 2√3 ≈ 9.46
סעיף הפי 9
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם פרמטר, הנגזרת ואינטגרל

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ex + xex − x + b, המוגדרת לכל x. b הוא פרמטר.

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(3). הביעו את תשובותיכם באמצעות b, אם יש צורך.

(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y.

(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

נתון כי לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 1.5.

ב. מצאו את הערך של b (מצאו את שתי האפשרויות).

הציבו בפונקציה f(x) את הערך של b הקטן ביותר שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ידוע כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y היא אחת משתי נקודות הפיתול של הפונקציה f(x). פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת לכל x.

ד. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f′(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(2) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).

ה. לפניכם טענה: ∫10 (f(x) − 1.5) dx > 1e − 1. האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – האסימפטוטות

המכנה ex − x תמיד חיובי (ex > x לכל x), ולכן אין אסימפטוטה אנכית.
כאשר x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־ex:
ex + xex − x = 1 + xex1 − xex → 1 + 01 − 0 = 1
(e בחזקת x גדל מהר בהרבה מ־x, ולכן xex → 0.)
y = 1 + b
כאשר x → −∞: ex → 0:
ex + xex − x → x−x = −1📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
y = −1 + b
✅ פתרון סופי: y = 1 + b (כש־x → ∞) , y = b − 1 (כש־x → −∞)

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־y

f(0) = 1 + 01 − 0 + b = 1 + b
✅ פתרון סופי: (0 , 1 + b)

סעיף א (3) – נקודת הקיצון

f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
= (ex + 1)(ex − x) − (ex + x)(ex − 1)(ex − x)2
נפתח את המונה:
e2x − xex + ex − x
− (e2x − ex + xex − x)
= 2ex − 2xex = 2ex(1 − x)
f′(x) = 2ex(1 − x)(ex − x)2
2ex והמכנה חיוביים, ולכן הסימן נקבע לפי 1 − x:
xx < 11x > 1
f′(x)+0−
f(x)↗מקסימום↘
f(1) = e + 1e − 1 + b
✅ פתרון סופי: מקסימום (1 , e + 1e − 1 + b)

סעיף ב – הערך של b

אחת משתי האסימפטוטות האופקיות היא y = 1.5:
1 + b = 1.5 ⟸ b = 0.5
b − 1 = 1.5 ⟸ b = 2.5
✅ פתרון סופי: b = 0.5 או b = 2.5

סעיף ג – סקיצה של f

עם b = 0.5: אסימפטוטות y = −0.5 (משמאל) ו־y = 1.5 (מימין); חיתוך עם ציר ה־y ב־(0 , 1.5); מקסימום:
f(1) = e + 1e − 1 + 0.5 ≈ 2.66
הגרף עולה מ־y = −0.5 עד המקסימום, ואחר כך יורד ומתקרב ל־y = 1.5 מלמעלה. (הוא חוצה את ציר ה־x בערך ב־x ≈ −1.05.)
-4-21246-0.51.52.66xyמקסימום-1.05
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד (1) – האסימפטוטות של f′

f′(x) = 2ex(1 − x)(ex − x)2
המכנה חיובי תמיד – אין אסימפטוטה אנכית.
x → ∞: המכנה מתנהג כמו e2x והמונה כמו −2xex; נחלק ב־e2x:
f′(x) = 2(1 − x)ex(1 − xex)2 → 01 = 0
x → −∞: ex → 0 וגם xex → 0, כלומר המונה שואף ל־0, והמכנה (−x)2 שואף ל־∞:
f′(x) → 0
בשני הכיוונים:
✅ פתרון סופי: y = 0

סעיף ד (2) – סקיצה של f′

מה אנחנו יודעים על הנגזרת:
• f′ > 0 עבור x < 1, f′(1) = 0, f′ < 0 עבור x > 1 (סעיף א(3)).
f′(0) = 2 · 1 · 112 = 2
• בנקודות הפיתול של f יש ל־f′ קיצון. x = 0 היא נקודת פיתול – שם f′ מקבלת מקסימום (2). נקודת הפיתול השנייה נמצאת מימין ל־1 (שם הגרף של f עובר מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה) – שם f′ מקבלת מינימום שלילי.
• אסימפטוטה y = 0 משני הצדדים.
הגרף בקנה מידה:
-4-2124621xy(0 , 2)1מינימום
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ה – האם הטענה נכונה?

נסמן h(x) = f(x) − 1.5. אז h(0) = 0 ו־h(1) = e + 1e − 1 − 1 = 2e − 1.
קעירות: לפי סעיף ד, f′ יורדת מ־x = 0 (המקסימום שלה) ועד נקודת הפיתול השנייה, שנמצאת מימין ל־1. לכן בתחום 0 < x < 1 הגרף של f (וגם של h) קעור כלפי מטה (∩).
גרף קעור כלפי מטה נמצא מעל המיתר שמחבר את קצותיו. המיתר מחבר את (0 , 0) ו־(1 , 2e − 1), והשטח שמתחתיו הוא משולש ישר זווית:
S = 1 · 2e − 12 = 1e − 1📐 שטח משולשS = a · h2
h(x) חיובית בתחום ומעל המיתר, ולכן השטח מתחת לה גדול יותר:
∫10 (f(x) − 1.5) dx > 1e − 1
בדיקה: בחישוב מקורב האינטגרל שווה בערך 0.769, ו־1e − 1 ≈ 0.582.
✅ פתרון סופי: הטענה נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)y = 1 + b , y = b − 1
סעיף א (2)(0 , 1 + b)
סעיף א (3)מקס׳ (1 , e + 1e − 1 + b)
סעיף בb = 0.5 או b = 2.5
סעיף ד (1)y = 0
סעיף הנכונה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 11 – אסימפטוטה אופקית (בגרות 2025 מועד ב)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln, הפונקציה ההופכית 1/f ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x · ln(x)1 + ln(x).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקציה f(x).

(3) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = 1 + ln(x)x · ln(x).

ד. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x).

(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

נתון הביטוי ∫e2kek (1x · ln(x) + 1x) dx, k הוא פרמטר גדול מ־1.

ה. (1) קבעו איזה מן הביטויים I–II שווה לערך של הביטוי הנתון. נמקו את קביעתכם.

I. k + ln(k)    II. k + ln2

(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = e3 ו־x = e6.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

x > 0📐 תנאי ל־lnln(x) ⟸ x > 0
המכנה שונה מ־0:
1 + ln(x) ≠ 0
ln(x) ≠ −1 ⟸ x ≠ e−1 = 1e📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1e

סעיף א (2) – האסימפטוטה האנכית

המכנה מתאפס ב־x = 1e. המונה שם:
1e · ln(1e) = −1e ≠ 0
מונה שונה מ־0 ומכנה 0 – אסימפטוטה אנכית. (ליד x = 0: x · ln(x) → 0 והמכנה שואף ל־−∞, כך ש־f → 0 – אין שם אסימפטוטה.)
✅ פתרון סופי: x = 1e

סעיף א (3) – חיתוך עם ציר ה־x

x · ln(x) = 0
x = 0 לא בתחום, ולכן:
ln(x) = 0 ⟸ x = 1
✅ פתרון סופי: (1 , 0)

סעיף ב – תחומי עלייה וירידה

נגזרת המונה: (x · ln x)′ = ln x + 1 (כלל המכפלה). נגזרת המכנה: 1x.
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
= (ln x + 1)(1 + ln x) − x ln x · 1x(1 + ln x)2
f′(x) = (1 + ln x)2 − ln x(1 + ln x)2
נסמן t = ln x. המונה:
(1 + t)2 − t = t2 + t + 1
b2 − 4ac = 1 − 4 = −3 < 0📐 ביטוי ריבועי חיובי תמידat2 + bt + c > 0 כאשר a > 0 ו־b2 − 4ac < 0
המונה חיובי תמיד, והמכנה (ריבוע) חיובי בתחום. לכן: אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית בכל התחום – הפונקציה עולה בכל אחד מן התחומים, ואין תחום ירידה.
✅ פתרון סופי: עולה: 0 < x < 1e , x > 1e ; ירידה: אין

סעיף ג – סקיצה של f

ליד x = 0 הגרף מתחיל קרוב לנקודה (0 , 0) (שאינה שייכת לגרף) ועולה אל +∞ ליד x = 1e משמאל.
מימין לאסימפטוטה הגרף מתחיל ב־−∞, עולה, חוצה את ציר ה־x ב־(1 , 0) וממשיך לעלות.
1/e1234-44xy(1 , 0)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של g

x > 0
x · ln(x) ≠ 0 ⟸ ln(x) ≠ 0
⟸ x ≠ 1
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1

סעיף ד (2) – האסימפטוטות של g

x = 1: המכנה 0 והמונה 1 + 0 = 1 ≠ 0 – אסימפטוטה אנכית.
x → 0 (מימין): המונה 1 + ln x → −∞, והמכנה x ln x → 0 (מהצד השלילי). לכן g → +∞ – גם x = 0 אסימפטוטה אנכית.
(אפשר לראות זאת גם כך: g = 1f ו־f → 0 מהצד החיובי כש־x → 0.)
x → ∞: נפצל:
g(x) = 1x ln x + 1x → 0 + 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 1 , y = 0

סעיף ד (3) – סקיצה של g

g(x) = 1f(x). לכן:
• f עולה בכל תחום (סעיף ב), ולכן g יורדת בכל תחום שבו f לא מחליפה סימן.📐 הפונקציה 1 חלקי fבתחום שבו f לא מחליפה סימן: כש־f עולה, 1f יורדת (ולהפך)
• היכן שלגרף של f אסימפטוטה אנכית (x = 1e), g = 0: הנקודה (1e , 0).
• היכן ש־f = 0 (x = 1), ל־g אסימפטוטה אנכית.
הגרף יורד מ־+∞ (ליד 0) דרך (1e , 0) אל −∞ (ליד 1); מימין ל־1 יורד מ־+∞ ומתקרב ל־y = 0.
1/e1234-44xy(1/e , 0)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ה (1) – איזה ביטוי

1x ln x היא מנה שבה המונה הוא הנגזרת של המכנה ln x:
∫ 1xln x dx = ln(ln x) + C📐 אינטגרל מהצורה מנה∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)| + C
∫ 1x dx = ln x + C📐 אינטגרל מהצורה מנה∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)| + C
(כאן x > 1, ולכן ln x > 0 ואין צורך בערך מוחלט.)
[ ln(ln x) + ln x ]e2kek
= ln(2k) + 2k − (ln k + k)
= ln 2 + ln k + 2k − ln k − k📐 חוק לוגריתמיםln(ab) = ln a + ln b
= k + ln 2
✅ פתרון סופי: ביטוי II , k + ln2

סעיף ה (2) – השטח

הביטוי בסעיף ה הוא בדיוק ∫ g(x) dx, כי g(x) = 1 + ln xx ln x = 1x ln x + 1x.
בין e3 ל־e6 (x > 1) g חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל. זה המקרה k = 3:
S = ∫e6e3 g(x) dx = 3 + ln 2📐 שטח מעל ציר ה־xS = ∫ba g(x) dx
S ≈ 3.69
✅ פתרון סופי: S = 3 + ln2 ≈ 3.69

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x > 0 , x ≠ 1e
סעיף א (2)x = 1e
סעיף א (3)(1 , 0)
סעיף בעולה בכל התחום
סעיף ד (1)x > 0 , x ≠ 1
סעיף ד (2)x = 0 , x = 1 , y = 0
סעיף ה (1)II , k + ln2
סעיף ה (2)3 + ln2 ≈ 3.69
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל 3: זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 572 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות