שיעור 27 -פתרון בגרות חורף 2023- חקירת e

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בגרות חורף 2023 גרסה ג (שאלון 472) – חקירת פונקציית e עם מנה: תחום הגדרה, אסימפטוטות, חיתוך עם הצירים, קיצון, סקיצה, והזזת הגרף ב־c.

🔵 סעיף א1: תחום ההגדרה של f(x) = e^2x חלקי (x² − 6) – מכנה שונה מאפס

נתונה הפונקציה f(x) = e^2xx² − 6. א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

e^2x מוגדר לכל x, אבל יש מכנה – המכנה שונה מאפס:

x² − 6 ≠ 0

x² ≠ 6

x ≠ ±√6

√6 ≈ 2.449

תשובה: x ≠ ±√6

🟢 סעיף א2: אסימפטוטות המאונכות לציר x

א. (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר x.

האסימפטוטות המאונכות לציר x – בנקודות שמחוץ לתחום ההגדרה:

תשובה: x = √6

תשובה: x = −√6

🟣 סעיף ב: נקודות החיתוך של f(x) עם הצירים

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

חיתוך עם ציר y – x = 0:

f(0) = e^{2 · 0}0² − 6 = e⁰−6 = −16

חיתוך עם ציר x – y = 0:

0 = e^2xx² − 6

כפל בהצלבה:

0 = e^2x

אין פתרון – e^2x > 0 תמיד.

תשובה: (0, −16)

🔷 סעיף ג: נקודות הקיצון של f(x) וסוגן – נגזרת של מנה עם e

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

נגזרת של e: (e^f(x))' = f'(x) · e^f(x)

נגזרת של מנה:

f'(x) =

2e^2x(x² − 6) − e^2x · 2x(x² − 6)² = 0

כופלים במכנה – נשאר המונה:

2e^2x(x² − 6) − e^2x · 2x = 0

גורם משותף e^2x:

e^2x(2x² − 12 − 2x) = 0

e^2x = 0 – אין פתרון

2x² − 2x − 12 = 0 / :2

x² − x − 6 = 0

x₁ = 3

x₂ = −2

סוג הנקודות – מציבים בנגזרת אחרי הסידור (חילקנו בביטוי חיובי, הסימן לא משתנה):

f'(x) → x² − x − 6

x	−√6	−2.1	−2	0	√6	2.5	3	4
f'	‖	+	0	−	‖	−	0	+
f	‖	↗	max	↘	‖	↘	min	↗

שיעורי y – מציבים בפונקציה המקורית:

f(−2) = e⁻⁴−2 = −12e⁴ ≈ −0.009

f(3) = e⁶3 ≈ 134.47

תשובה: max (−2, −12e⁴)

min (3, e⁶3)

🔵 סעיף ד: השלמת סקיצת הגרף של f(x) עם האסימפטוטות x = ±√6

ד. לפניכם סקיצה חלקית של גרף הפונקציה f(x). העתיקו את הסקיצה למחברתכם והשלימו בה את החלקים החסרים.

מסמנים את נקודת החיתוך (0, −16) ואת האסימפטוטות x = ±√6.

בין האסימפטוטות: מקסימום ב־(−2, −12e⁴) – קצת מעל נקודת החיתוך – והגרף יורד ונצמד ל־x = √6.

מימין: מינימום ב־(3, e⁶3) והגרף נצמד ל־x = √6.

(הציור לא בקנה מידה – e⁶3 ≈ 134.)

תשובה: הסקיצה למעלה.

🟣 סעיף ה: שני ערכי c שבעבורם ל־g(x) = f(x) + c יש נקודת קיצון על הישר y = 4

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c, c הוא פרמטר. ה. מצאו את שני הערכים האפשריים של c שבעבורם יש לפונקציה g(x) נקודת קיצון על הישר y = 4. נמקו.

הוספת c מזיזה את הגרף למעלה או למטה – נקודות הקיצון זזות יחד איתו.

המינימום (3, e⁶3) יורד אל y = 4:

c = 4 − e⁶3

המקסימום (−2, −12e⁴) עולה אל y = 4:

c = 4 − (−12e⁴)

c = 4 + 12e⁴

תשובה: c = 4 − e⁶3

c = 4 + 12e⁴

💡 לזכור

אסימפטוטה אנכית – איפה שהמכנה מתאפס. e^2x = 0 אין פתרון. g(x) = f(x) + c מזיזה את הגרף: c = הגובה החדש פחות הגובה הישן.

📌 סיכום כל הטרנספורמציות — לחצו כאן

חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים