שיעור 28: תלות לינארית ויחידות ההצגה – השוואת מקדמים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

תלות לינארית ויחידות ההצגה – השוואת מקדמים

📄 נוסח השאלה

בפירמידה SABC מסמנים SA = a , SB = b , SC = c. שלושת הווקטורים אינם באותו מישור (ולכן כל שניים מהם אינם קולינאריים).

א. מצאו את k שבעבורו הווקטורים u = 2a + (k − 1)b ו־v = 4a + 6b קולינאריים.

ב. נתון: (p + 1)a + (q − 2)b = 3a + b. מצאו את p ואת q.

ג. נתונים הווקטורים u = a + b , v = b + c , w = a − c. הראו ש־w הוא צירוף לינארי של u ו־v. מה אפשר להסיק על שלושת הווקטורים?

ד. נתון: (x − 1)a + (y + 2)b + (x + y − z)c = 0.
מצאו את x , y , z.

✏️ פתרון

סעיף א – וקטורים קולינאריים

u = m · v📐 וקטורים קולינארייםu = m · v (m מספר)

נכתוב את שני הצדדים באמצעות a ו־b:

2a + (k − 1)b = m(4a + 6b)

2a + (k − 1)b = 4ma + 6mb

הווקטורים a ו־b אינם קולינאריים, לכן משווים את המקדמים:📐 יחידות ההצגה (שני וקטורים לא קולינאריים)ka + mb = pa + qb ⟸ k = p , m = q

2 = 4m

m = 12

k − 1 = 6m

נציב m = 12:

k − 1 = 6 · 12

k − 1 = 3

k = 4

בדיקה: u = 2a + 3b = 12(4a + 6b) ✓

✅ פתרון סופי: k = 4

סעיף ב – השוואת מקדמים

הווקטורים a ו־b אינם קולינאריים, לכן ההצגה באמצעותם יחידה – משווים את המקדמים:📐 יחידות ההצגה (שני וקטורים לא קולינאריים)ka + mb = pa + qb ⟸ k = p , m = q

p + 1 = 3

p = 2

q − 2 = 1

q = 3

✅ פתרון סופי: p = 2 , q = 3

סעיף ג – שלושה וקטורים

נבדוק אם יש מספרים k ו־m כך ש־w = ku + mv:📐 שלושה וקטורים באותו מישור (תלויים לינארית)אחד מהם הוא צירוף לינארי של שני האחרים

a − c = k(a + b) + m(b + c)

a − c = ka + (k + m)b + mc

הווקטורים a , b , c אינם באותו מישור, לכן משווים את המקדמים:📐 יחידות ההצגה (שלושה וקטורים שלא באותו מישור)ka + mb + pc = 0 ⟸ k = m = p = 0

k = 1

m = −1

k + m = 0

נציב k = 1 , m = −1:

1 + (−1) = 0 ✓

w = u − v

לכן u , v , w נמצאים באותו מישור – הם תלויים לינארית.

✅ פתרון סופי: w = u − v – שלושת הווקטורים תלויים לינארית (באותו מישור)

סעיף ד – צירוף שווה לאפס

הווקטורים a , b , c אינם באותו מישור, לכן כל המקדמים שווים לאפס:📐 יחידות ההצגה (שלושה וקטורים שלא באותו מישור)ka + mb + pc = 0 ⟸ k = m = p = 0

x − 1 = 0

x = 1

y + 2 = 0

y = −2

x + y − z = 0

נציב x = 1 , y = −2:

1 + (−2) − z = 0

−1 − z = 0

z = −1

✅ פתרון סופי: x = 1 , y = −2 , z = −1

📌 סיכום

סעיף א	k = 4
סעיף ב	p = 2 , q = 3
סעיף ג	w = u − v – תלויים לינארית
סעיף ד	x = 1 , y = −2 , z = −1

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים