מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות
שיעור 23 – פתרון בגרות 5 יחידות קיץ 2013 מועד ב׳ – הפקדות בשני בנקים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 5 יחידות · שאלון 035807 · קיץ 2013 מועד ב׳ · שאלה 4 סעיף ב
הפקדות בשני בנקים – מתי סכום אחד גדול ב־25% מהשני
📄 נוסח השאלה
שאלה 4, סעיף ב (סעיף א של השאלה עוסק בנפח גוף סיבוב, ובשאלון כתוב: "אין קשר בין סעיף א לסעיף ב").
בתאריך 1/1/2005 הופקד בבנק א׳ סכום כסף מסוים, ובאותו תאריך הופקד גם בבנק ב׳ אותו סכום כסף. בכל אחד מהבנקים סכום הכסף שהופקד גדל כל שנה באחוז קבוע.
כעבור 7 שנים היו בבנק א׳ 12,298 שקלים, ובבנק ב׳ היו 13,162 שקלים.
כעבור כמה שנים מהתאריך 1/1/2005 יהיה בבנק ב׳ סכום כסף הגדול ב־25% מסכום הכסף שיהיה בבנק א׳?
✏️ פתרון
שלב א – פי כמה מקדם בנק ב׳ גדול
נסמן ב־M(0) את הסכום שהופקד (אותו סכום בשני הבנקים). מקדמי הגדילה שונים: q1 בבנק א׳ ו־q2 בבנק ב׳.
M(t) = M(0) · qt📐 נוסחת גדילה ודעיכהM(t) = M(0) · qt
בנק א׳ – נציב t = 7 ו־M(7) = 12298 :
M(0) · q17 = 12298
בנק ב׳ – נציב t = 7 ו־M(7) = 13162 :
M(0) · q27 = 13162
יש שתי משוואות ושלושה נעלמים, אבל לא צריך למצוא כל אחד מהם. נחלק את המשוואה של בנק ב׳ במשוואה של בנק א׳, ו־M(0) מצטמצם:
M(0) · q27M(0) · q17 = 1316212298
(q2q1)7 = 1316212298📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךanbn = (ab)n
נסמן k = q2q1 – פי כמה המקדם של בנק ב׳ גדול מהמקדם של בנק א׳:
k7 = 1316212298
k = 7√1316212298 ≈ 1.00975📐 שורש מסדר גבוהxn = a ⇒ x = n√a
במחשבון שומרים את הערך המדויק של k ולא מעגלים אותו – הוא ישמש אותנו בהמשך.
✅ פתרון סופי: k = 7√1316212298 ≈ 1.00975
שלב ב – מוצאים את הזמן
אחרי t שנים: בבנק א׳ יש M(0) · q1t ובבנק ב׳ יש M(0) · q2t .
נסמן A – הסכום בבנק א׳, B – הסכום בבנק ב׳. סכום הגדול ב־25% הוא פי 1.25:
B = 1.25 · A📐 גדול ב־p אחוזיםB = (1 + p100) · A
נציב את שני הסכומים:
M(0) · q2t = 1.25 · M(0) · q1t
נחלק את שני האגפים ב־M(0) · q1t :
(q2q1)t = 1.25
נציב k = q2q1 :
kt = 1.25
הנעלם t נמצא בחזקה:
t = ln 1.25ln k📐 כשהנעלם בחזקהax = b ⇒ x = ln bln a
נציב את הערך המדויק של k מהזיכרון של המחשבון:
t = ln 1.25ln 1.00975 ≈ 23.01
כלומר כעבור כ־23 שנים מ־1/1/2005, כלומר בשנת 2028.
בדיקה בדרך אחרת (בלי לעגל את k):
מ־k7 = 1316212298 יוצא 7 · ln k = ln 1316212298 , ולכן:
t = 7 · ln 1.25ln 1316212298
t ≈ 1.562000.067897 ≈ 23.01
✅ פתרון סופי: כעבור t ≈ 23.01 שנים, כלומר בערך 23 שנים
📌 סיכום
| תשובה | כעבור t ≈ 23.01 שנים (בערך 23 שנים) |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il