שיעור 46: בגרות קיץ 2024 מועד א׳ – שני ישרים, מישור ופירמידה

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 2
שני ישרים, מישור ופירמידה

📄 נוסח השאלה

נתונים שני ישרים ℓ₁ ו־ℓ₂. לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים:

ℓ₁ : x = t(−1 , 3 , 0)

ℓ₂ : x = (1 , −3 , 0) + m(0 , k , 1)

k הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים ℓ₁ ו־ℓ₂.

א. מצאו את שיעורי הנקודה A.

ב. נתון שהקוסינוס של הזווית בין הישרים ℓ₁ ו־ℓ₂ הוא 3√25. מצאו את הערך של k שבעבורו זה מתקיים.

הציבו k = 2 וענו על הסעיפים ג–ה.

המישור מכיל את הישרים ℓ₁ ו־ℓ₂ (בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו פשוט "המישור").

ג. מצאו את משוואת המישור.

הנקודה B נמצאת על הישר ℓ₂, והנקודה O היא ראשית הצירים. המשולש AOB הוא שווה שוקיים, AO = AB.

ד. הסבירו מדוע המשולש AOB נמצא במישור.

מן הנקודה A מעלים אנך למישור ומסמנים עליו את הנקודה S. נתון: נפח הפירמידה SAOB הוא 14√23.

ה. מצאו את שיעורי הנקודה S (את שתי האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – נקודת החיתוך A

נשווה את שתי ההצגות (נקודה משותפת לשני הישרים):

t(−1 , 3 , 0) = (1 , −3 , 0) + m(0 , k , 1)📐 נוסחה: נקודת חיתוך של ישריםמשווים את הרכיבים: x = x , y = y , z = z

נכתוב משוואה לכל רכיב:

x: −t = 1

y: 3t = −3 + mk

z: 0 = m

מהמשוואה של z: m = 0. מהמשוואה של x: t = −1.

נבדוק במשוואה של y:

3t = −3 + mk

נציב t = −1 , m = 0:

3 · (−1) = −3 + 0 · k

−3 = −3 ✔

המשוואה מתקיימת לכל k. הנקודה A נמצאת על הישר ℓ₁:

A = t(−1 , 3 , 0)

נציב t = −1:

A = −1 · (−1 , 3 , 0)

A = (1 , −3 , 0)

✅ פתרון סופי: A(1 , −3 , 0)

סעיף ב – הערך של k

וקטורי הכיוון של הישרים:

u = (−1 , 3 , 0)

v = (0 , k , 1)

נחשב את המכפלה הסקלרית ואת האורכים:

u · v = ad + be + cf📐 נוסחה: מכפלה סקלרית(a , b , c) · (d , e , f) = ad + be + cf

נציב u = (a , b , c) = (−1 , 3 , 0) , v = (d , e , f) = (0 , k , 1):

u · v = −1 · 0 + 3 · k + 0 · 1

u · v = 3k

|u| = √(a² + b² + c²)📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a² + b² + c²)

נציב u = (−1 , 3 , 0):

|u| = √((−1)² + 3² + 0²) = √10

|v| = √(a² + b² + c²)📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a² + b² + c²)

נציב v = (0 , k , 1):

|v| = √(0² + k² + 1²) = √(k² + 1)

נוסחת הזווית בין ישרים:

|u · v||u| · |v| = cos

נציב u · v = 3k , |u| = √10 , |v| = √(k² + 1) , cos = 3√25:

|3k|√10 · √(k² + 1) = 3√25📐 נוסחה: הזווית בין שני ישריםcos = |u · v||u| · |v|u , v – וקטורי הכיוון

שני האגפים חיוביים, ולכן נעלה בריבוע:

9k²10(k² + 1) = 9 · 225 = 1825

נכפיל בהצלבה:

25 · 9k² = 18 · 10(k² + 1)

225k² = 180k² + 180

45k² = 180

k² = 4

k = 2 או k = −2

בשני המקרים |3k| = 6 ו־k² + 1 = 5, ולכן שני הערכים מתאימים.

✅ פתרון סופי: k = 2 או k = −2

סעיף ג – משוואת המישור

עם k = 2 וקטורי הכיוון במישור הם:

u = (−1 , 3 , 0)

v = (0 , k , 1)

נציב k = 2:

v = (0 , 2 , 1)

נסמן את הנורמל n = (a , b , c). הוא מאונך לשני הכיוונים:

n · u = 0📐 נוסחה: וקטור נורמל למישורn · u = 0 , n · v = 0u , v – שני כיוונים במישור

n · v = 0📐 נוסחה: וקטור נורמל למישורn · u = 0 , n · v = 0u , v – שני כיוונים במישור

נציב n = (a , b , c) , u = (−1 , 3 , 0) , v = (0 , 2 , 1):

(a , b , c) · (−1 , 3 , 0) = −a + 3b = 0

(a , b , c) · (0 , 2 , 1) = 2b + c = 0

מהמשוואה הראשונה a = 3b, ומהשנייה c = −2b:

n = (3b , b , −2b)

נבחר b = 1 (כדי לקבל מספרים שלמים) ונציב:

n = (3 · 1 , 1 , −2 · 1) = (3 , 1 , −2)

משוואת המישור:

ax + by + cz + d = 0📐 נוסחה: משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – הנורמל

נציב n = (a , b , c) = (3 , 1 , −2):

3x + 1 · y + (−2)z + d = 0

3x + y − 2z + d = 0

המישור מכיל את ℓ₁, ולכן הוא עובר דרך ראשית הצירים (הנקודה של ℓ₁ עבור t = 0):

3x + y − 2z + d = 0

נציב O(0 , 0 , 0):

3 · 0 + 0 − 2 · 0 + d = 0

d = 0

3x + y − 2z = 0

בדיקה: נציב A(1 , −3 , 0):

3 · 1 + (−3) − 2 · 0 = 0 ✔

✅ פתרון סופי: 3x + y − 2z = 0

סעיף ד – למה המשולש AOB נמצא במישור

הנקודה O היא ראשית הצירים, והיא נמצאת על הישר ℓ₁ (עבור t = 0).

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, והנקודה B נמצאת על הישר ℓ₂.

שני הישרים ℓ₁ ו־ℓ₂ מוכלים במישור, ולכן כל שלושת הקודקודים A, O ו־B נמצאים במישור.

משולש שכל קודקודיו נמצאים במישור – כולו נמצא במישור.

✅ פתרון סופי: כל קודקודי המשולש נמצאים על הישרים ℓ₁ ו־ℓ₂ שבמישור, ולכן המשולש AOB נמצא במישור

סעיף ה – שיעורי הנקודה S

הנקודה B על הישר ℓ₂ (עם k = 2):

B(1 , −3 + 2m , m)

נחשב את AO (מ־A(1 , −3 , 0) לראשית):

AO = √(a² + b² + c²)📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a² + b² + c²)

נציב (a , b , c) = (1 , −3 , 0) (השיעורים של A , כי O היא ראשית הצירים):

AO = √(1² + (−3)² + 0²) = √10

נחשב את AB:

AB = B − A

נציב B(1 , −3 + 2m , m) , A(1 , −3 , 0):

AB = (1 , −3 + 2m , m) − (1 , −3 , 0)

AB = (0 , 2m , m)

AB = m(0 , 2 , 1)

AB = |m| · √(a² + b² + c²)📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a² + b² + c²)

נציב (a , b , c) = (0 , 2 , 1):

AB = |m| · √(0² + 2² + 1²) = |m| · √(0 + 4 + 1)

AB = |m|√5

לפי הנתון AO = AB:

AB = AO

נציב AB = |m|√5 , AO = √10:

|m|√5 = √10

|m| = √2

יש שתי נקודות B אפשריות (m = √2 או m = −√2), ובשתיהן שטח המשולש יוצא זהה, כפי שנראה.

הזווית OAB היא הזווית בין הקטעים AO ו־AB, שנמצאים על הישרים ℓ₁ ו־ℓ₂. לכן הזווית OAB שווה לזווית בין הישרים או משלימה אותה ל־180 מעלות – ובשני המקרים לסינוס אותו ערך.

לפי סעיף ב הקוסינוס של הזווית בין הישרים הוא 3√25. נמצא את הסינוס:

sin²(OAB) = 1 − cos²(OAB)📐 נוסחה: זהות טריגונומטריתsin²x + cos²x = 1

נציב cos²(OAB) = (3√25)²:

sin²(OAB) = 1 − (3√25)² = 1 − 1825 = 725

sin(OAB) = √75

שטח המשולש AOB:

S = 12 · AO · AB · sin(OAB)📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C

נציב AO = √10 , AB = √10 , sin(OAB) = √75:

S = 12 · √10 · √10 · √75

S = 12 · 10 · √75 = √7

הגובה של הפירמידה הוא AS (האנך למישור הבסיס). נוסחת הנפח:

13 · S_בסיס · h = V

נציב S_בסיס = √7 , h = AS , V = 14√23:

13 · √7 · AS = 14√23📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · S_בסיס · h

√7 · AS = 14√2

AS = 14√2√7 = 14 · √2√7

AS = 14 · √147 = 2√14

האנך למישור דרך A – וקטור הכיוון שלו הוא הנורמל n = (3 , 1 , −2):

S = A + s · n

נציב A(1 , −3 , 0) , n = (3 , 1 , −2):

S = (1 , −3 , 0) + s · (3 , 1 , −2)📐 נוסחה: ישר מאונך למישורוקטור הכיוון של האנך = הנורמל של המישור

S = (1 , −3 , 0) + s(3 , 1 , −2)

S = (1 + 3s , −3 + s , −2s)

אורך הקטע AS:

AS = |s| · √(a² + b² + c²)📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a² + b² + c²)

נציב n = (a , b , c) = (3 , 1 , −2):

AS = |s| · √(3² + 1² + (−2)²) = |s| · √(9 + 1 + 4)

AS = |s|√14

|s|√14 = AS

נציב AS = 2√14 (מצאנו למעלה):

|s|√14 = 2√14

|s| = 2

s = 2 או s = −2

S = (1 + 3s , −3 + s , −2s)

נציב s = 2:

S = (1 + 3 · 2 , −3 + 2 , −2 · 2)

S = (1 + 6 , −3 + 2 , −4)

S = (7 , −1 , −4)

נציב s = −2:

S = (1 + 3 · (−2) , −3 + (−2) , −2 · (−2))

S = (1 − 6 , −3 − 2 , 4)

S = (−5 , −5 , 4)

━ המשולש AOB (כחול) ━ האנך למישור (סגול) ━ מקצועות הפירמידה (ירוק)

הסרטוט בהטלה מרחבית לפי השיעורים האמיתיים (עם B שעבורו m = √2).

✅ פתרון סופי: S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	A(1 , −3 , 0)
סעיף ב	k = 2 או k = −2
סעיף ג	3x + y − 2z = 0
סעיף ד	הסבר
סעיף ה	S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4)

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳

מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים328 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים