מתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 7 פרקים335 שיעורים10 שבועות
שיעור 44- מרוכבים וסדרה חשבונית 1
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📝 מספרים מרוכבים וסדרה חשבונית 1
📚 מקור: בגרות 5 יחידות, שאלון 807 (035807), חורף תשע"ח 2018, שאלה 3, סעיפים א–ב
שאלה מבגרות שמשלבת משוואה ריבועית עם מספרים מרוכבים וסדרה חשבונית שהאיברים שלה מספרים מרוכבים. קודם השאלה המלאה, ואחריה הפתרון סעיף אחרי סעיף 👇
📌 תזכורת – סדרה חשבונית של מספרים מרוכבים
בסדרה חשבונית כל איבר שווה לאיבר הקודם ועוד הפרש קבוע d . זה נכון גם כשהאיברים וההפרש הם מספרים מרוכבים:
an = a1 + (n − 1)d
ההפרש בין שני איברים כלשהם am ו־ak הוא כפולה שלמה של d :
am − ak = (m − k)d
📝 השאלה
א.פתור את המשוואה z2 + (−5 + 2i)z + 7 + i = 0 .
נסמן ב־w את פתרון המשוואה מסעיף א, המייצג את הנקודה שקרובה יותר לראשית הצירים.
an היא סדרה חשבונית. w הוא איבר בסדרה וגם 1 הוא איבר בסדרה.
ב.(1) הסבר מדוע כל איברי הסדרה הם מן הצורה: an = 1 + b · i . b הוא מספר ממשי.
(2) הסבר מדוע כל הנקודות במישור גאוס המייצגות את איברי הסדרה an , חוץ מן הנקודה (1 , 0) , נמצאות מחוץ למעגל היחידה.
✏️ פתרון
סעיף א – פתרון המשוואה
פותרים בנוסחת השורשים, עם a = 1 , b = −5 + 2i , c = 7 + i :
z1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
מחשבים את הדיסקרימיננטה:
b2 = (−5 + 2i)2 = 25 − 20i + 4i2 = 21 − 20i
4ac = 4(7 + i) = 28 + 4i
b2 − 4ac = 21 − 20i − 28 − 4i = −7 − 24i
מוצאים שורש של −7 − 24i :
מחפשים מספר x + yi כך ש־(x + yi)2 = −7 − 24i :
x2 − y2 + 2xyi = −7 − 24i
משווים חלק ממשי לממשי וחלק מדומה למדומה:
x2 − y2 = −7
2xy = −24
מהמשוואה השנייה y = −12x , מציבים בראשונה:
x2 − 144x2 = −7
x4 + 7x2 − 144 = 0
(x2 + 16)(x2 − 9) = 0
x ממשי, לכן x2 = 9 , כלומר x = 3 ו־y = −4 (או x = −3 ו־y = 4 ).
√−7 − 24i = ±(3 − 4i)
בדיקה: (3 − 4i)2 = 9 − 24i + 16i2 = −7 − 24i ✓
מציבים בנוסחה:
z1,2 = 5 − 2i ± (3 − 4i)2
z1 = 5 − 2i + 3 − 4i2 = 8 − 6i2 = 4 − 3i
z2 = 5 − 2i − 3 + 4i2 = 2 + 2i2 = 1 + i
תשובה: z1 = 4 − 3i
z2 = 1 + i
z2 = 1 + i
מציאת w
המרחק של נקודה מראשית הצירים הוא הערך המוחלט של המספר:
|4 − 3i| = √42 + (−3)2 = √25 = 5
|1 + i| = √12 + 12 = √2
√2 < 5 , לכן הנקודה של 1 + i קרובה יותר לראשית.
תשובה: w = 1 + i
סעיף ב (1) – כל האיברים מהצורה 1 + bi
w = 1 + i ו־1 הם שני איברים בסדרה, נניח am = 1 + i ו־ak = 1 ( m ≠ k מספרים טבעיים).
ההפרש ביניהם הוא כפולה שלמה של d :
am − ak = (m − k)d
(1 + i) − 1 = (m − k)d
i = (m − k)d
d = im − k
m − k הוא מספר שלם שונה מאפס, לכן d הוא מספר מדומה טהור: d = t · i , כאשר t = 1m − k ממשי.
כל איבר בסדרה מתקבל מהאיבר ak = 1 על ידי הוספה (או החסרה) של כפולה שלמה של d :
an = ak + (n − k)d = 1 + (n − k)t · i
נסמן b = (n − k)t – זה מספר ממשי, ולכן:
an = 1 + b · i
כלומר החלק הממשי של כל איבר הוא 1 , ורק החלק המדומה משתנה.
תשובה: an = 1 + b · i , b ממשי, כי ההפרש d מדומה טהור
סעיף ב (2) – מחוץ למעגל היחידה
מעגל היחידה: כל הנקודות שהמרחק שלהן מהראשית הוא 1 ( |z| = 1 ). נקודה נמצאת מחוץ למעגל כאשר |z| > 1 .
לפי סעיף ב (1):
|an| = |1 + bi| = √1 + b2
אם b ≠ 0 אז b2 > 0 , ולכן:
√1 + b2 > √1 = 1
רק כאשר b = 0 מתקבל an = 1 , שהוא הנקודה (1 , 0) – והיא נמצאת על מעגל היחידה.
כל שאר האיברים מקיימים |an| > 1 , לכן הנקודות שלהם נמצאות מחוץ למעגל היחידה.
תשובה: |an| = √1 + b2 > 1 לכל b ≠ 0
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il