וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 18: אורכים, זווית ושטח מרובע בקובייה – בגרות קיץ 2022 מועד א׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 1 · סעיפים ב , ג
אורכים, זווית ושטח מרובע בקובייה
📄 נוסח השאלה
נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ (ראו ציור). הנקודות E ו־G הן אמצעי המקצועות AA′ ו־CC′ בהתאמה. הנקודה F מקיימת AF = 14AB. הנקודה H מקיימת D′H = 34D′C′. נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w.
א. (1) הביעו את הווקטורים EF , FG , HG ו־EH באמצעות u , v ו־w. (2) האם המרובע EFGH הוא מקבילית? נמקו. (פתרנו בשיעור 9)
הנפח של הקובייה הנתונה הוא 512.
ב. (1) מצאו את אורך המקצוע של הקובייה. (2) מצאו את אורכי הווקטורים EF ו־EH.
ג. (1) מצאו את גודל הזווית HEF. (2) מצאו את שטח המרובע EFGH.
✏️ פתרון
סעיף ב – אורך המקצוע ואורכי הווקטורים
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 9):
סעיף א – הבעת הווקטורים ומקבילית: (1) EF = 14u − 12w , FG = 34u + v + 12w
HG = 14u − 12w , EH = 34u + v + 12w
(2) כן – EF = HG
סעיף א – הבעת הווקטורים ומקבילית: (1) EF = 14u − 12w , FG = 34u + v + 12w
HG = 14u − 12w , EH = 34u + v + 12w
(2) כן – EF = HG
V = a3 📐 נפח קובייהV = a3
נציב V = 512 (נתון):
a3 = 512
a = 8
(2) הווקטורים u , v , w מאונכים זה לזה ואורך כל אחד 8. 14 · 8 = 2 , 12 · 8 = 4 , 34 · 8 = 6:
|EF| = √((14|u|)2 + (12|w|)2) 📐 פיתגורס במרחב|au + bv + cw|2 = a2|u|2 + b2|v|2 + c2|w|2
נציב |u| = |w| = 8:
|EF| = √((14 · 8)2 + (12 · 8)2)
|EF| = √(22 + 42) = √20
|EH| = √((34|u|)2 + |v|2 + (12|w|)2)
נציב |u| = |v| = |w| = 8:
|EH| = √((34 · 8)2 + 82 + (12 · 8)2)
|EH| = √(62 + 82 + 42)
|EH| = √116
✅ פתרון סופי: (1) 8
(2) |EF| = √20 ≈ 4.47 , |EH| = √116 ≈ 10.77
(2) |EF| = √20 ≈ 4.47 , |EH| = √116 ≈ 10.77
סעיף ג – הזווית HEF ושטח המרובע
(1) מכפלה סקלרית (u·v = u·w = v·w = 0, |u|2 = 64):
EH·EF = (34u + v + 12w)·(14u − 12w) 📐 מכפלה סקלריתa·b = |a|·|b|·cos(הזווית)
פותחים סוגריים. המכפלות u·w , v·u , v·w שוות 0 כי הווקטורים מאונכים, ולכן נשארים רק:
EH·EF = 316u·u − 14w·w
נציב u·u = |u|2 = 64 , w·w = |w|2 = 64:
EH·EF = 316 · 64 − 14 · 64
EH·EF = 12 − 16 = −4
cos∢HEF = EH·EF|EH| · |EF| 📐 זווית בין וקטוריםcos(הזווית) = a·b|a|·|b|
נציב EH·EF = −4 , |EH| = √116 , |EF| = √20:
cos∢HEF = −4√116 · √20
cos∢HEF = −4√2,320 ≈ −0.0830
∢HEF ≈ 94.76 מעלות
(2) שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן:
sin∢HEF = √(1 − cos2∢HEF)
נציב cos2∢HEF = 162,320:
sin∢HEF = √(1 − 162,320) = √2,3042,320
S = |EH| · |EF| · sin∢HEF 📐 שטח מקביליתS = a · b · sin(הזווית בין הצלעות)
נציב |EH| = √116 , |EF| = √20 , sin∢HEF = √2,3042,320:
S = √116 · √20 · √2,3042,320
S = √2,304 = 48
✅ פתרון סופי: (1) ∢HEF ≈ 94.76 מעלות
(2) S = 48
(2) S = 48
📌 סיכום
| סעיף ב | 8 √20 , √116 |
|---|---|
| סעיף ג | 94.76 מעלות 48 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il