שיעור 34: בגרות קיץ 2024 מועד ב׳ – וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבוע

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 2
וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבוע

📄 נוסח השאלה פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCDE שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה M נמצאת על המקצוע EC כך שמתקיים CM = 23CE. AE מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: AB = v , AD = u , AE = w. נתון: |w| = |u|.

א. (1) הביעו את הווקטורים AM , CE באמצעות u , v ו־w. (2) הוכיחו כי AM מאונך ל־CE.

נתון: האורך של צלע הריבוע ABCD הוא 6, A(0 , 0 , 0). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד D על החלק החיובי של ציר ה־y, והקודקוד E על החלק החיובי של ציר ה־z.

ב. (1) מצאו את שיעורי הקודקודים E ו־C. (2) מצאו את שיעורי הנקודה M.

ג. חשבו את שטח המשולש AMC.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הבעת CE ו־AM, והוכחת ניצבות

הפירמידה לפי קנה מידה (צלע 6, גובה 6). בירוק: CE, בסגול: AM, והזווית הישרה ב־M.

(1) בריבוע BC = AD = u, ולכן AC = AB + BC = v + u.

CE = CA + AE 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

נציב CA = −(u + v) , AE = w:

CE = −(u + v) + w = −u − v + w

AM = AC + CM 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

נציב AC = u + v , CM = 23CE = 23(−u − v + w):

AM = u + v + 23(−u − v + w)

AM = u + v − 23u − 23v + 23w

AM = 13u + 13v + 23w

(2) מה ידוע: בריבוע u ⊥ v; AE מאונך לבסיס, ולכן w ⊥ u ו־w ⊥ v. לכן כל המכפלות המעורבות שוות 0:

u·v = 0 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0

u·w = 0

v·w = 0

צלעות הריבוע שוות, ו־|w| = |u|. נסמן את האורך המשותף s: |u| = |v| = |w| = s.

נציב AM = 13u + 13v + 23w , CE = −u − v + w:

AM · CE = (13u + 13v + 23w) · (−u − v + w)

כופלים כל איבר בכל איבר – נשארים רק הריבועים (כל השאר 0):

AM·CE = −13|u|² − 13|v|² + 23|w|²📐 אורך וקטור|a|² = a·a

נציב |u|² = |v|² = |w|² = s²:

AM·CE = −13s² − 13s² + 23s² = 0

AM·CE = 0 ⟹ AM ⊥ CE 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0

✅ פתרון סופי: (1) CE = −u − v + w , AM = 13u + 13v + 23w
(2) הוכחנו AM·CE = 0

סעיף ב – שיעורי E , C , M

(1) B על ציר ה־x במרחק 6 מ־A: B(6 , 0 , 0). D על ציר ה־y: D(0 , 6 , 0). |w| = |u| = 6 ו־E על ציר ה־z:

E(0 , 0 , 6)

C = A + AB + AD 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

נציב A(0 , 0 , 0) , AB = (6 , 0 , 0) , AD = (0 , 6 , 0):

C = (0 , 0 , 0) + (6 , 0 , 0) + (0 , 6 , 0)

C(6 , 6 , 0)

(2) CM = 23CE:

CE = E − C = (0 − 6 , 0 − 6 , 6 − 0) 📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P

CE = (−6 , −6 , 6)

CM = 23CE

נציב CE = (−6 , −6 , 6):

CM = 23(−6 , −6 , 6) = (−4 , −4 , 4)

M = C + CM

נציב C(6 , 6 , 0) , CM = (−4 , −4 , 4):

M = (6 , 6 , 0) + (−4 , −4 , 4)

M = (6 − 4 , 6 − 4 , 0 + 4)

M = (2 , 2 , 4)

✅ פתרון סופי: (1) E(0 , 0 , 6) , C(6 , 6 , 0)
(2) M(2 , 2 , 4)

סעיף ג – שטח המשולש AMC

בסעיף א הוכחנו AM ⊥ CE, ו־M נמצאת על CE, ולכן AM ⊥ MC: המשולש AMC ישר זווית ב־M, והניצבים הם AM ו־MC.

המשולש AMC (בתכלת) לפי קנה מידה; הזווית ב־M ישרה.

AM = (2 , 2 , 4) 📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x² + y² + z²)

|AM| = √(4 + 4 + 16) = √24

MC = (6 − 2 , 6 − 2 , 0 − 4) = (4 , 4 , −4) 📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x² + y² + z²)

|MC| = √(16 + 16 + 16) = √48

S_AMC = |AM| · |MC|2📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

נציב |AM| = √24 , |MC| = √48:

S_AMC = √24 · √482

√24 · √48 = √1,152 = √(576 · 2) = 24√2

S_AMC = 24√22 = 12√2 ≈ 16.97

✅ פתרון סופי: S_AMC = 12√2 ≈ 16.97 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	CE = −u − v + w AM = 13u + 13v + 23w הוכחה: AM·CE = 0
סעיף ב	E(0 , 0 , 6) C(6 , 6 , 0) M(2 , 2 , 4)
סעיף ג	12√2 ≈ 16.97

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳

וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים