שיעור 2: גופים במרחב – מנסרה ופירמידה

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

גופים במרחב – מנסרה ופירמידה

📄 נוסח השאלה

בסרטוט הראשון מנסרה משולשת ABCA′B′C′: הבסיסים ABC ו־A′B′C′ הם משולשים חופפים במישורים מקבילים, והמקצועות הצדדיים AA′ , BB′ , CC′ מקבילים ושווים זה לזה.

א. רשמו שני וקטורים השווים לווקטור AA′, ווקטור השווה לווקטור BC.

בסרטוט השני פירמידה ישרה SABCD שבסיסה הריבוע ABCD. הנקודה O היא מפגש האלכסונים של הבסיס.

ב. (1) רשמו את הווקטור הנגדי ל־OA ואת הווקטור הנגדי ל־OB, שמתחילים בנקודה O. (2) איזה קטע הוא הגובה של הפירמידה? נמקו.

נתון: אורך צלע הבסיס הוא AB = 6, ואורך המקצוע הצדדי הוא SA = 9.

ג. חשבו את אורך הגובה SO.

ד. חשבו את נפח הפירמידה.

✏️ פתרון

סעיף א – וקטורים שווים במנסרה

במנסרה המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים, וכולם "עולים" מהבסיס התחתון לעליון – אותו כיוון ואותו אורך:📐 וקטורים שוויםאותו כיוון ואותו אורך

AA′ = BB′ = CC′

הבסיסים חופפים ומקבילים, ולכן כל צלע בבסיס העליון מקבילה ושווה לצלע המתאימה בבסיס התחתון: B′C′ מקבילה ושווה ל־BC, ובאותו כיוון:

BC = B′C′

✅ פתרון סופי: BB′ , CC′ ; B′C′

סעיף ב – וקטורים נגדיים והגובה

(1) האלכסונים של ריבוע חוצים זה את זה, ולכן OA = OC ו־OB = OD. OC באורך של OA ובכיוון ההפוך:📐 וקטור נגדיYX = −XY

OC = −OA

OD = −OB

(2) בפירמידה ישרה הגובה יורד מהקודקוד אל מרכז הבסיס. מרכז הריבוע הוא מפגש האלכסונים O.📐 פירמידה ישרההגובה יורד ממרכז הבסיס(בריבוע: מפגש האלכסונים)

לכן SO מאונך למישור הבסיס, והוא הגובה של הפירמידה.

✅ פתרון סופי: (1) OC , OD ; (2) הגובה הוא SO

סעיף ג – אורך הגובה

קודם האלכסון AC. המשולש ABC ישר־זווית ב־B (זווית של ריבוע):

AC² = AB² + BC² 📐 משפט פיתגורס (c – היתר)c² = a² + b²

נציב AB = BC = 6:

AC² = 6² + 6² = 72

AC = √72 = 6√2

O אמצע האלכסון, ולכן AO = AC2 = 6√22 = 3√2 .

SO מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך ל־AO. המשולש SOA ישר־זווית ב־O, והיתר הוא SA = 9:

SA² = SO² + AO² 📐 משפט פיתגורס (c – היתר)c² = a² + b²

נציב SA = 9 , AO = 3√2:

9² = SO² + (3√2)²

81 = SO² + 18

SO² = 63

SO = √63 = 3√7 ≈ 7.94

✅ פתרון סופי: SO = 3√7 ≈ 7.94

סעיף ד – נפח הפירמידה

שטח הבסיס (ריבוע שצלעו 6): S_בסיס‎ = 6 · 6 = 36

V = S_בסיס · h3 📐 נפח פירמידהV = S_בסיס · h3

נציב S_בסיס‎ = 36 , h = SO = 3√7:

V = 36 · 3√73 = 36√7 ≈ 95.25

✅ פתרון סופי: V = 36√7 ≈ 95.25 יחידות נפח

📌 סיכום

סעיף א	BB′ , CC′ ; B′C′
סעיף ב	(1) OC , OD (2) SO
סעיף ג	3√7 ≈ 7.94
סעיף ד	36√7 ≈ 95.25

וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים