שיעור 8: הבעת וקטורים בתיבה והוכחה – בגרות חורף 2023

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2023, שאלה 1 · סעיף א
הבעת וקטורים בתיבה והוכחה

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′D.

נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w. הנקודה F מקיימת: EF = 12u.

א. (1) הביעו את הווקטורים BD′ ו־AE באמצעות u, v ו־w. (2) הוכיחו: BF = 12BD′.

✏️ פתרון

BD′: מ־B הולכים ל־A, משם ל־D, ומשם עולים ל־D′:

BD′ = BA + AD + DD′📐 חיבור וקטורים (שרשרת)XY = XZ + ZY

BA = −u 📐 וקטור נגדי ווקטורים שוויםXY = −YXמקצועות מקבילים ושווים בתיבה – אותו וקטור

DD′ = AA′ = w

נציב BA = −u , AD = v , DD′ = w:

BD′ = −u + v + w

AE: E היא מפגש אלכסוני המלבן AA′D′D, ואלכסוני מלבן חוצים זה את זה – לכן E אמצע האלכסון AD′.

AD′ = AD + DD′ = v + w 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

AE = 12AD′ = 12(v + w) = 12v + 12w 📐 אלכסוני מלבןאלכסוני מלבן חוצים זה את זה

✅ פתרון סופי: BD′ = −u + v + w
AE = 12v + 12w

מ־B הולכים ל־A, משם ל־E, ומשם ל־F:

BF = BA + AE + EF📐 חיבור וקטורים (שרשרת)XY = XZ + ZY

נציב BA = −u , AE = 12v + 12w , EF = 12u:

BF = −u + 12v + 12w + 12u

BF = −12u + 12v + 12w

מוציאים 12 כגורם משותף:

BF = 12(−u + v + w) = 12BD′

✅ פתרון סופי: הוכחנו: BF = 12BD′

סעיף א (1)	BD′ = −u + v + w AE = 12v + 12w
סעיף א (2)	הוכחה