שיעור 29: בגרות קיץ 2026 מועד א׳ – וקטורים במרחב: פירמידה ABCS

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 2
וקטורים במרחב: פירמידה ABCS

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCS. המקצוע AS מאונך למישור הבסיס ABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BS. הנקודה F נמצאת על המקצוע BC כך ש־BF = 23 BC.

נסמן: AB = u , AC = v , AS = w

א. הביעו באמצעות u, v ו־w את הווקטורים האלה: BC , BS , AE , AF.

נתון: ∢BAC = 120 מעלות, |u| = |v| = 6 , |w| = 8.

ב. חשבו את נפח הפירמידה.

ג. (1) מצאו את הערך של u · v. (2) הוכיחו כי AE מאונך ל־AF.

ד. (1) מצאו את הערך של |AF|. (2) חשבו את שטח המשולש EAF.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הבעת הווקטורים

הסרטוט בקנה מידה (מחושב מהנתונים של סעיף ב). הקווים המקווקווים הם מקצועות מוסתרים. בסגול: AE ו־AF.

הווקטור BC: הולכים מ־B ל־A ואז מ־A ל־C.

BC = BA + AC📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY

BA = −AB = −u📐 וקטור נגדיBA = −AB

נציב BA = −u , AC = v:

BC = −u + v

הווקטור BS: מ־B ל־A ואז מ־A ל־S.

BS = BA + AS📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY

נציב BA = −u , AS = w:

BS = −u + w📐 וקטור נגדיBA = −AB

הווקטור AE: מ־A ל־B ואז מ־B ל־E. הנקודה E אמצע BS, ולכן BE הוא חצי מ־BS.

AE = AB + BE📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY

BE = 12BS = 12(−u + w)📐 אמצע קטעBE = 12BS

נציב AB = u , BE = 12(−u + w):

AE = u + 12(−u + w)

AE = u − 12u + 12w

AE = 12u + 12w

הווקטור AF: מ־A ל־B ואז מ־B ל־F. נתון BF = 23 BC ו־F על BC, ולכן BF = 23BC.

AF = AB + BF📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY

BF = 23BC = 23(−u + v)📐 נתון: חלוקת קטעBF = 23BC

נציב AB = u , BF = 23(−u + v):

AF = u + 23(−u + v)

AF = u − 23u + 23v

מחשבים את המקדם של u: 1 − 23 = 13

AF = 13u + 23v

✅ פתרון סופי: BC = −u + v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v

סעיף ב – נפח הפירמידה

AS מאונך למישור הבסיס, ולכן AS הוא הגובה של הפירמידה: h = AS = |w| = 8. הבסיס הוא המשולש ABC (מודגש בתכלת).

שטח הבסיס – שתי צלעות והזווית שביניהן:

S_ABC = 12 · AB · AC · sin∢BAC📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin∢C

נציב AB = AC = 6 , ∢BAC = 120 מעלות:

S_ABC = 12 · 6 · 6 · sin120

sin120 = √32 ≈ 0.866

S_ABC = 18 · √32 = 9√3 ≈ 15.59

V = 13 · S_ABC · h📐 נפח פירמידהV = 13 · S_בסיס · h

נציב S_ABC = 9√3 , h = 8:

V = 13 · 9√3 · 8

V = 72√33 = 24√3 ≈ 41.57

✅ פתרון סופי: V = 24√3 ≈ 41.57 יחידות נפח

סעיף ג (1) – המכפלה הסקלרית u · v

הזווית בין u ל־v היא הזווית BAC, כלומר 120 מעלות.

u · v = |u| · |v| · cos∢BAC📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos∢(a,b)

נציב |u| = |v| = 6 , ∢BAC = 120 מעלות:

u · v = 6 · 6 · cos120

cos120 = −12

u · v = 6 · 6 · (−12)

u · v = 36 · (−12) = −18

✅ פתרון סופי: u · v = −18

סעיף ג (2) – הוכחה ש־AE מאונך ל־AF

מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית AE · AF שווה 0.

נתונים שנצטרך: AS מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AC:

w · u = 0 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0

w · v = 0

u · u = |u|²📐 מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|²

נציב |u| = 6:

u · u = 6² = 36

נציב את הביטויים מסעיף א ונפתח סוגריים (כל איבר כפול כל איבר):

AE · AF = (12u + 12w) · (13u + 23v) 📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

AE · AF = 12·13 u·u + 12·23 u·v + 12·13 w·u + 12·23 w·v

AE · AF = 16 u·u + 13 u·v + 16 w·u + 13 w·v

נציב u · u = 36 , u · v = −18 (סעיף ג1) , w · u = 0 , w · v = 0:

AE · AF = 16 · 36 + 13 · (−18) + 16 · 0 + 13 · 0

AE · AF = 6 − 6 + 0 + 0 = 0

AE · AF = 0📐 וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟸ a ⊥ b

✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן AE ⊥ AF (הזווית EAF ישרה)

סעיף ד (1) – האורך של AF

אורך וקטור בריבוע = המכפלה הסקלרית שלו בעצמו:

|AF|² = AF · AF = (13u + 23v)²📐 אורך וקטור|a|² = a · a

|AF|² = (13)²u² + 2 · 13 · 23 u·v + (23)²v² 📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)² = a² + 2a·b + b²

נציב u² = v² = 36 , u·v = −18:

|AF|² = 19 · 36 + 49 · (−18) + 49 · 36

|AF|² = 4 − 8 + 16 = 12

|AF| = √12 = √4 · 3 = 2√3 ≈ 3.46

✅ פתרון סופי: AF = 2√3 ≈ 3.46

סעיף ד (2) – שטח המשולש EAF

בסעיף ג (2) הוכחנו שהזווית EAF ישרה, ולכן AE ו־AF הם הניצבים של המשולש. חסר לנו האורך של AE:

|AE|² = (12u + 12w)²📐 אורך וקטור|a|² = a · a

|AE|² = (12)²u² + 2 · 12 · 12 u·w + (12)²w² 📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)² = a² + 2a·b + b²

נציב u² = 36 , u·w = 0 (AS מאונך ל־AB) , w² = 8² = 64:

|AE|² = 14 · 36 + 12 · 0 + 14 · 64

|AE|² = 9 + 0 + 16 = 25

|AE| = √25 = 5

עכשיו שטח משולש ישר זווית – חצי מכפלת הניצבים:

S_EAF = 12 · AE · AF📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

נציב AE = 5 , AF = 2√3:

S_EAF = 12 · 5 · 2√3

S_EAF = 5√3 ≈ 8.66

✅ פתרון סופי: S_EAF = 5√3 ≈ 8.66 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	BC = −u + v BS = −u + w AE = 12u + 12w AF = 13u + 23v
סעיף ב	V = 24√3 ≈ 41.57
סעיף ג (1)	u · v = −18
סעיף ג (2)	AE · AF = 0 ← מאונכים
סעיף ד (1)	AF = 2√3 ≈ 3.46
סעיף ד (2)	S = 5√3 ≈ 8.66

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳

וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים