שיעור 37: בגרות קיץ 2023 מועד מיוחד – וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן

📄 נוסח השאלה פירמידה SABCD – שאלה 1

נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מלבן. המקצוע SA מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה E היא אמצע המקצוע SC (ראו סרטוט). נסמן: AB = u , AD = v ו־SA = w.

א. הביעו את הווקטורים SC , EB ו־ED באמצעות u , v ו־w.

נתון: EB מאונך ל־ED, |u| = 4 , |v| = 3.

ב. מצאו את |w|.

נתון: D(0 , 0 , 0), הצלע AD מונחת על החלק החיובי של ציר ה־x, הצלע DC מונחת על החלק החיובי של ציר ה־y, שיעור ה־z של הנקודה S הוא חיובי.

ג. מצאו את שיעורי הנקודות A , C ו־S.

ד. חשבו את שטח המשולש DEB.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הבעת SC , EB , ED

הפירמידה לפי קנה מידה (4 על 3, גובה 5). בסגול EB ו־ED, והזווית הישרה ב־E.

במלבן BC = AD = v ו־DC = AB = u.

SC = SA + AB + BC 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

נציב SA = w , AB = u , BC = v:

SC = w + u + v

E אמצע SC, ולכן EC = 12SC:

EB = EC + CB 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

נציב EC = 12SC = 12(u + v + w) , CB = −v:

EB = 12(u + v + w) − v

EB = 12u − 12v + 12w

ED = EC + CD 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

נציב EC = 12(u + v + w) , CD = −u:

ED = 12(u + v + w) − u

ED = −12u + 12v + 12w

✅ פתרון סופי: SC = u + v + w
EB = 12u − 12v + 12w
ED = −12u + 12v + 12w

סעיף ב – האורך של w

מה ידוע: במלבן u ⊥ v; SA מאונך לבסיס, ולכן w ⊥ u ו־w ⊥ v:

u·v = 0 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0

u·w = 0

v·w = 0

EB · ED = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0

נציב EB = 12(u − v + w) , ED = 12(−u + v + w):

12(u − v + w) · 12(−u + v + w) = 0

14(u − v + w) · (−u + v + w) = 0

כופלים כל איבר בכל איבר – נשארים רק הריבועים:

−|u|² − |v|² + |w|² = 0📐 אורך וקטור|a|² = a·a

נציב |u|² = 4² = 16 , |v|² = 3² = 9:

−16 − 9 + |w|² = 0

|w|² = 16 + 9 = 25

|w| = 5

✅ פתרון סופי: |w| = 5

סעיף ג – שיעורי A , C , S

A על ציר ה־x במרחק AD = |v| = 3; C על ציר ה־y במרחק DC = |u| = 4:

A(3 , 0 , 0)

C(0 , 4 , 0)

SA מאונך לבסיס (מקביל לציר ה־z), אורכו 5, ו־S מעל הבסיס:

S = A + AS 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

נציב A(3 , 0 , 0) , AS = (0 , 0 , 5):

S = (3 , 0 , 0) + (0 , 0 , 5) = (3 , 0 , 5)

✅ פתרון סופי: A(3 , 0 , 0) , C(0 , 4 , 0) , S(3 , 0 , 5)

סעיף ד – שטח המשולש DEB

נתון EB ⊥ ED – המשולש DEB ישר זווית ב־E.

E = (3 + 02 , 0 + 42 , 5 + 02) = (1.5 , 2 , 2.5) 📐 אמצע קטע(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2 , z₁ + z₂2)

B = A + DC📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

נציב A(3 , 0 , 0) , DC = (0 , 4 , 0):

B = (3 , 0 , 0) + (0 , 4 , 0) = (3 , 4 , 0)

EB = B − E

נציב B(3 , 4 , 0) , E(1.5 , 2 , 2.5):

EB = (3 , 4 , 0) − (1.5 , 2 , 2.5) 📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x² + y² + z²)

EB = (1.5 , 2 , −2.5)

|EB| = √(2.25 + 4 + 6.25) = √12.5

ED = D − E

נציב D(0 , 0 , 0) , E(1.5 , 2 , 2.5):

ED = (0 , 0 , 0) − (1.5 , 2 , 2.5) 📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x² + y² + z²)

ED = (−1.5 , −2 , −2.5)

|ED| = √12.5

המשולש DEB (בתכלת) לפי קנה מידה; הזווית ב־E ישרה.

S_DEB = |EB| · |ED|2 📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

נציב |EB| = |ED| = √12.5:

S_DEB = √12.5 · √12.52 = 12.52 = 6.25

✅ פתרון סופי: S_DEB = 6.25 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	SC = u + v + w EB = 12u − 12v + 12w ED = −12u + 12v + 12w
סעיף ב	\|w\| = 5
סעיף ג	A(3 , 0 , 0) C(0 , 4 , 0) S(3 , 0 , 5)
סעיף ד	6.25

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד

וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים