וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 17: אורך מנפח, אורך וקטור וזוויות במרובע – בגרות חורף 2023
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2023, שאלה 1 · סעיפים ג , ד
אורך מנפח, אורך וקטור וזוויות במרובע
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הפאה AA′D′D.
נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w. הנקודה F מקיימת: EF = 12u.
א. (1) הביעו את הווקטורים BD′ ו־AE באמצעות u, v ו־w. (2) הוכיחו: BF = 12BD′. (פתרנו בשיעור 8)
ב. (1) הסבירו מדוע EF מקביל ל־AB. (2) הוכיחו: AB מאונך ל־AE. (פתרנו בשיעור 14)
נתון: בסיס התיבה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 2. נפח התיבה הוא 16.
ג. (1) חשבו את אורך המקצוע הצדדי של התיבה. (2) חשבו את אורך הווקטור BF.
ד. (1) חשבו את גודל הזווית ABF. (2) מצאו את הגדלים של שאר הזוויות של המרובע AEFB.
✏️ פתרון
סעיף ג (1) – אורך המקצוע הצדדי
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 8 , שיעור 14):
סעיף א (1) – הבעת BD′ ו־AE: BD′ = −u + v + w
AE = 12v + 12w
סעיף א (2) – הוכחה ש־BF = 12BD′: הוכחנו: BF = 12BD′
סעיף ב (1) – למה EF מקביל ל־AB: EF הוא כפולה של AB ← EF ∥ AB
סעיף ב (2) – הוכחה ש־AB מאונך ל־AE: הוכחנו: AB · AE = 0 ← AB ⊥ AE
סעיף א (1) – הבעת BD′ ו־AE: BD′ = −u + v + w
AE = 12v + 12w
סעיף א (2) – הוכחה ש־BF = 12BD′: הוכחנו: BF = 12BD′
סעיף ב (1) – למה EF מקביל ל־AB: EF הוא כפולה של AB ← EF ∥ AB
סעיף ב (2) – הוכחה ש־AB מאונך ל־AE: הוכחנו: AB · AE = 0 ← AB ⊥ AE
נסמן ב־h את המקצוע הצדדי AA′. הבסיס ריבוע שצלעו 2:
V = AB · AD · AA′ 📐 נפח תיבהV = a · b · c
נציב AB = AD = 2 , AA′ = h:
V = 2 · 2 · h = 4h
נציב V = 16 (נתון):
4h = 16
h = 4
✅ פתרון סופי: המקצוע הצדדי: 4
סעיף ג (2) – אורך BF
קודם אורך האלכסון BD′ – אלכסון התיבה, שמקצועותיה 2, 2 ו־4:
|BD′| = √AB2 + AD2 + AA′2 📐 אלכסון תיבהd = √a2 + b2 + c2
נציב AB = AD = 2 , AA′ = 4:
|BD′| = √22 + 22 + 42
|BD′| = √4 + 4 + 16 = √24 = 2√6
לפי סעיף א (2), BF הוא חצי מ־BD′:
|BF| = 12 · |BD′| 📐 אורך של כפולת וקטור|k · a| = |k| · |a|
נציב |BD′| = 2√6:
|BF| = 12 · 2√6 = √6 ≈ 2.45
✅ פתרון סופי: |BF| = √6 ≈ 2.45
סעיף ד (1) – הזווית ABF
הזווית ABF היא הזווית בין הווקטורים BA = −u ו־BF = −12u + 12v + 12w.
נתונים לחישוב: |u| = 2 , |v| = 2 , |w| = 4, וכל המכפלות u · v , u · w , v · w שוות 0.
נציב BA = −u , BF = −12u + 12v + 12w:
BA · BF = −u · (−12u + 12v + 12w)📐 פילוג במכפלה סקלריתa · (b + c) = a · b + a · c
BA · BF = 12u · u − 12u · v − 12u · w 📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|2
נציב u · u = |u|2 = 4 , u · v = u · w = 0:
BA · BF = 12 · 4 − 12 · 0 − 12 · 0 = 2
cos ∢ABF = BA · BF|BA| · |BF| 📐 זווית בין וקטוריםcos ∢ = a · b|a| · |b|
נציב BA · BF = 2 , |BA| = 2 , |BF| = √6:
cos ∢ABF = 22 · √6 = 1√6 ≈ 0.4082
∢ABF ≈ 65.91 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ABF ≈ 65.91 מעלות
סעיף ד (2) – שאר הזוויות של AEFB
לפי סעיף ב: EF ∥ AB – לכן AEFB הוא טרפז (בסיסים AB ו־EF). ולפי סעיף ב (2): AB ⊥ AE.
∢EAB = 90📐 סעיף ב (2)AB ⊥ AE
∢AEF + ∢EAB = 180 📐 זוויות בטרפזבטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
נציב ∢EAB = 90:
∢AEF + 90 = 180 ⟸ ∢AEF = 180 − 90 = 90
∢EFB + ∢ABF = 180 📐 זוויות בטרפזבטרפז, סכום שתי זוויות שליד אותה שוק הוא 180 מעלות
נציב ∢ABF ≈ 65.91 (סעיף ד (1)):
∢EFB + 65.91 ≈ 180 ⟸ ∢EFB ≈ 180 − 65.91 = 114.09
בדיקה: 90 + 90 + 114.09 + 65.91 = 360 ✓
✅ פתרון סופי: ∢EAB = 90
∢AEF = 90
∢EFB ≈ 114.09 מעלות
∢AEF = 90
∢EFB ≈ 114.09 מעלות
📌 סיכום
| סעיף ג (1) | 4 |
|---|---|
| סעיף ג (2) | √6 ≈ 2.45 |
| סעיף ד (1) | ≈ 65.91 מעלות |
| סעיף ד (2) | 90 , 90 , 114.09 מעלות |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il