שיעור 19: ישר מאונך למישור – אלכסון הקובייה

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

ישר מאונך למישור – אלכסון הקובייה

📄 נוסח השאלה

בסרטוט קובייה ABCDA′B′C′D′ שאורך המקצוע שלה 2. נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w.

א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים AC′ , A′B , BD.

ב. חשבו את המכפלות הסקלריות u · v , u · w , v · w , u · u.

ג. הוכיחו כי האלכסון AC′ מאונך למישור A′BD.

ד. חשבו את אורך האלכסון AC′.

ה. חשבו את נפח הפירמידה A′ABD.

✏️ פתרון

סעיף א – הבעת הווקטורים

AC′ = AB + BC + CC′ 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ

נציב AB = u , BC = AD = v , CC′ = AA′ = w:

AC′ = u + v + w

הולכים מ־A′ למטה ל־A ואז ל־B. A′A = −w:

A′B = A′A + AB 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ

נציב A′A = −w , AB = u:

A′B = −w + u

BD = BA + AD 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ

נציב BA = −u , AD = v:

BD = −u + v

✅ פתרון סופי: AC′ = u + v + w , A′B = u − w , BD = v − u

סעיף ב – המכפלות הסקלריות

בקובייה כל שני מקצועות שיוצאים מאותו קודקוד מאונכים זה לזה, ולכן:

u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0

u · u = |u|²📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

נציב |u| = 2:

u · u = 2² = 4

גם |v|² = |w|² = 4 (כל המקצועות באורך 2).

✅ פתרון סופי: 0 , 0 , 0 , 4

סעיף ג – AC′ מאונך למישור A′BD

כדי להוכיח שישר מאונך למישור, מראים שהוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור. בוחרים את A′B ואת BD (נחתכים ב־B).📐 ישר מאונך למישור (תנאי מספיק)ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור

נציב AC′ = u + v + w , A′B = u − w (סעיף א):

AC′ · A′B = (u + v + w) · (u − w)

AC′ · A′B = |u|² − u · w + v · u − v · w + w · u − |w|²

המכפלות u · w , v · u , v · w , w · u שוות 0 כי הווקטורים מאונכים (סעיף ב), ולכן נשארים:

AC′ · A′B = |u|² − |w|²

נציב |u|² = |w|² = 4:

AC′ · A′B = 4 − 4 = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0

נציב BD = v − u (סעיף א):

AC′ · BD = (u + v + w) · (v − u)

AC′ · BD = u · v − |u|² + |v|² − v · u + w · v − w · u

המכפלות u · v , v · u , w · v , w · u שוות 0 כי הווקטורים מאונכים (סעיף ב), ולכן נשארים:

AC′ · BD = −|u|² + |v|²

נציב |u|² = |v|² = 4:

AC′ · BD = −4 + 4 = 0

AC′ מאונך ל־A′B ול־BD, שני ישרים נחתכים במישור A′BD, ולכן הוא מאונך למישור.

✅ פתרון סופי: הוכח: AC′ ⊥ A′BD

סעיף ד – אורך האלכסון

|AC′|² = (u + v + w) · (u + v + w)📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

|AC′|² = |u|² + |v|² + |w|² + 2u · v + 2u · w + 2v · w

המכפלות u · v , u · w , v · w שוות 0 כי הווקטורים מאונכים (סעיף ב), ולכן נשארים:

|AC′|² = |u|² + |v|² + |w|²

נציב |u|² = |v|² = |w|² = 4:

|AC′|² = 4 + 4 + 4 = 12

|AC′| = √12 = 2√3 ≈ 3.46

✅ פתרון סופי: AC′ = 2√3 ≈ 3.46

סעיף ה – נפח הפירמידה A′ABD

בסיס הפירמידה: המשולש ABD (חצי מהריבוע ABCD), ישר־זווית ב־A:

S_ABD = AB · AD2

נציב AB = AD = 2:

S_ABD = 2 · 22 = 2

הגובה: AA′ מאונך לבסיס הקובייה, ולכן h = AA′ = 2.

V = S_ABD · h3 📐 נפח פירמידהV = S_בסיס · h3

נציב S_ABD = 2 , h = 2:

V = 2 · 23 = 43 ≈ 1.33

✅ פתרון סופי: V = 43 ≈ 1.33 יחידות נפח

📌 סיכום

סעיף א	AC′ = u + v + w A′B = u − w BD = v − u
סעיף ב	0 , 0 , 0 , 4
סעיף ג	הוכח
סעיף ד	2√3 ≈ 3.46
סעיף ה	43

וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים