וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 22: גובה פירמידה ישרה ונפח – בגרות חורף 2022
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2022, שאלה 1 · סעיפים ג , ד
גובה פירמידה ישרה ונפח
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה ישרה SABC שבסיסה משולש ABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3.
נתון: ∢ASB = ∢BSC = ∢ASC = 30 מעלות.
נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.
הנקודה M נמצאת במישור ABC. ידוע כי SM = 13u + 13v + 13w.
א. חשב את המכפלות הסקלריות: u · v , v · w , u · w. (פתרנו בשיעור 11)
ב. (1) הבע את הווקטורים AB ו־AC באמצעות u , v ו־w. (2) חשב את אורכי הווקטורים AB ו־AC. (3) מצא את גודל הזווית BAC. (פתרנו בשיעור 16)
ג. הראה כי SM מאונך למישור ABC.
נסמן: SM = m.
ד. הבע את נפח הפירמידה SABC באמצעות m.
✏️ פתרון
סעיף ג – SM מאונך למישור ABC
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 11 , שיעור 16):
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79
סעיף ב(1) – הבעת AB ו־AC: AB = v − u , AC = w − u
סעיף ב(2) – אורכי AB ו־AC: |AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55
סעיף ב(3) – הזווית BAC: ∢BAC = 60 מעלות
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79
סעיף ב(1) – הבעת AB ו־AC: AB = v − u , AC = w − u
סעיף ב(2) – אורכי AB ו־AC: |AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55
סעיף ב(3) – הזווית BAC: ∢BAC = 60 מעלות
הגובה SM (סגול, מקווקו כי הוא בתוך הפירמידה) יורד לנקודה M שבבסיס.
ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור. במישור ABC נבחר את AB ו־AC (נחתכים ב־A), ונראה שהמכפלה הסקלרית של SM עם כל אחד מהם היא 0.
נציב SM = 13(u + v + w) (נתון) , AB = v − u (סעיף ב(1)):
SM · AB = 13(u + v + w) · (v − u)📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)SM = 13(u + v + w)AB = v − u
SM · AB = 13(u·v − u·u + v·v − v·u + w·v − w·u) 📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a + b) · c = a·c + b·c
נציב u·v = v·w = u·w = 9√32 , u·u = v·v = w·w = 9 (סעיף א):
SM · AB = 13(9√32 − 9 + 9 − 9√32 + 9√32 − 9√32) 📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = v·w = u·w = 9√32u·u = v·v = w·w = 9
SM · AB = 13 · 0
SM · AB = 0
SM · AB = 0 ⟸ SM ⊥ AB📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟺ a ⊥ b
נציב SM = 13(u + v + w) (נתון) , AC = w − u (סעיף ב(1)):
SM · AC = 13(u + v + w) · (w − u)📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)SM = 13(u + v + w)AC = w − u
SM · AC = 13(u·w − u·u + v·w − v·u + w·w − w·u) 📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a + b) · c = a·c + b·c
נציב u·v = v·w = u·w = 9√32 , u·u = v·v = w·w = 9 (סעיף א):
SM · AC = 13(9√32 − 9 + 9√32 − 9√32 + 9 − 9√32) 📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = v·w = u·w = 9√32u·u = v·v = w·w = 9
SM · AC = 13 · 0
SM · AC = 0
SM · AC = 0 ⟸ SM ⊥ AC📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟺ a ⊥ b
SM ⊥ AB , SM ⊥ AC ⟸ SM ⊥ ABC 📐 משפט: ישר מאונך למישורישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור
✅ פתרון סופי: SM ⊥ AB ו־SM ⊥ AC (שני ישרים נחתכים במישור), לכן SM מאונך למישור ABC.
סעיף ד – נפח הפירמידה
הבסיס ABC (תכלת) והגובה SM = m (סגול).
מסעיף ג, SM מאונך לבסיס, ולכן SM = m הוא גובה הפירמידה. נחשב את שטח הבסיס: במשולש ABC ידועות שתי צלעות AB = AC והזווית שביניהן ∢BAC = 60 מעלות.
SABC = 12 · AB · AC · sin∢BAC📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sinשל הזווית שבין הצלעות a ו־ b
נציב AB = AC = √18 − 9√3 , ∢BAC = 60:
SABC = 12 · √18 − 9√3 · √18 − 9√3 · sin60
נציב sin60 = √32:
SABC = 12 · (18 − 9√3) · √32📐 נוסחה: ערך הסינוסsin60 = √32
SABC = (18 − 9√3) · √34 = 18√3 − 274 ≈ 1.044
V = 13 · SABC · h 📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס , h – הגובה
נציב SABC = 18√3 − 274 , h = m:
V = 13 · 18√3 − 274 · m
V = 18√3 − 2712 m = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m
✅ פתרון סופי: V = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m
📌 סיכום
| סעיף ג | הוכחה: SM·AB = 0 , SM·AC = 0 |
|---|---|
| סעיף ד | V = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il