שיעור 11: מכפלות סקלריות בפירמידה ישרה – בגרות חורף 2022

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2022, שאלה 1 · סעיף א
מכפלות סקלריות בפירמידה ישרה

📄 נוסח השאלה פירמידה ישרה SABC – שאלה 1

נתונה פירמידה ישרה SABC שבסיסה משולש ABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3.

נתון: ∢ASB = ∢BSC = ∢ASC = 30 מעלות.

נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.

הנקודה M נמצאת במישור ABC. ידוע כי SM = 13u + 13v + 13w.

א. חשב את המכפלות הסקלריות: u · v , v · w , u · w.

✏️ פתרון

הפירמידה לפי קנה מידה אמיתי (מקצוע צדדי 3, זווית ראש 30 מעלות). הווקטורים u, v, w יוצאים מ־S.

שלושת הווקטורים יוצאים מאותה נקודה S, אורך כל אחד 3, והזווית בין כל שניים היא 30 מעלות.

u · v = |u| · |v| · cos(∡ASB) 📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם

נציב |u| = |v| = 3 , ∡ASB = 30:

u · v = 3 · 3 · cos30

u · v = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79

v · w = |v| · |w| · cos(∡BSC) 📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם

נציב |v| = |w| = 3 , ∡BSC = 30:

v · w = 3 · 3 · cos30

v · w = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79

u · w = |u| · |w| · cos(∡ASC) 📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם

נציב |u| = |w| = 3 , ∡ASC = 30:

u · w = 3 · 3 · cos30

u · w = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79

נשתמש גם בריבוע של כל וקטור (מכפלה של וקטור בעצמו):

u · u = |u|² 📐 נוסחה: ריבוע של וקטורa · a = |a|²

נציב |u| = |v| = |w| = 3:

u · u = 3² = 9

v · v = 3² = 9

w · w = 3² = 9

v · v = 9

w · w = 9

✅ פתרון סופי: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79

סעיף א	9√32 ≈ 7.79 (לכל שלוש המכפלות)