שיעור 13: נכון או לא נכון – ניצבות – בגרות חורף 2022 נבצרים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 1 · סעיף ב
נכון או לא נכון – ניצבות

📄 נוסח השאלה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCD הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, ∢BAD = 60 מעלות, נפח המנסרה הוא 8√3. הנקודה E היא אמצע המקצוע C′D′.

נסמן: AD = u , AB = v , AA′ = w.

א. הבע את הווקטורים B′A ו־B′E באמצעות u, v ו־w. (פתרנו בשיעור 5)

ב. לפניך שלוש טענות (1–3). קבע אלו מהטענות נכונות. נמק. (1) u · v = 0 (2) u · w = 0 (3) B′A מאונך ל־B′E.

✏️ פתרון

📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 5):
סעיף א – הבעת B′A ו־B′E: B′A = −v − w
B′E = u − 12v

נתונים: |u| = |v| = 2 (צלעות המעוין), והזווית בין u ל־v היא ∢BAD = 60 מעלות.

טענה (1):

u · v = |u| · |v| · cos ∢BAD 📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos ∢

נציב |u| = |v| = 2 , ∢BAD = 60:

u · v = 2 · 2 · cos 60

u · v = 4 · 12 = 2 ≠ 0

← טענה (1) לא נכונה.

טענה (2): במנסרה ישרה המקצוע הצדדי AA′ מאונך לבסיס, ולכן מאונך ל־AD:

u · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0

← טענה (2) נכונה. (מאותה סיבה גם v · w = 0.)

טענה (3): מחשבים את המכפלה הסקלרית:

B′A · B′E = (−v − w) · (u − 12v)📐 פילוג במכפלה סקלריתa · (b + c) = a · b + a · c

B′A · B′E = −v · u + 12v · v − w · u + 12w · v 📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

נציב v · u = 2 (טענה 1) , v · v = |v|² = 4 , w · u = w · v = 0 (טענה 2):

B′A · B′E = −2 + 12 · 4 − 0 + 0 = −2 + 2 = 0

B′A ⊥ B′E📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0

← טענה (3) נכונה.

✅ פתרון סופי: טענה (1) – לא נכונה
טענות (2) ו־(3) – נכונות

סעיף ב	(1) לא נכונה, (2) ו־(3) נכונות