וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 24: מערכת צירים במרחב – שיעורי נקודות ווקטורים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מערכת צירים במרחב – שיעורי נקודות ווקטורים
📄 נוסח השאלה
התיבה ABCDA′B′C′D′ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד A נמצא בראשית הצירים, והקודקודים B , D , A′ נמצאים על החלק החיובי של ציר ה־x, של ציר ה־y ושל ציר ה־z בהתאמה. נתון: AB = 4 , AD = 3 , AA′ = 2.
א. כתבו את השיעורים של כל קודקודי התיבה.
ב. הנקודה M היא אמצע המקצוע B′C′. מצאו את שיעורי M.
ג. מצאו את הווקטורים AM ו־DB′.
ד. חשבו את AM + DB′ , את 2DB′ ואת האורך של DB′.
✏️ פתרון
סעיף א – שיעורי הקודקודים
לכל נקודה שלושה שיעורים (x , y , z): כמה הולכים בכיוון ציר x, בכיוון ציר y, וכמה עולים בכיוון ציר z.
הבסיס התחתון (גובה z = 0): B במרחק 4 על ציר x, D במרחק 3 על ציר y, ו־C גם 4 בכיוון x וגם 3 בכיוון y:
A(0 , 0 , 0)
B(4 , 0 , 0)
C(4 , 3 , 0)
D(0 , 3 , 0)
הבסיס העליון: אותם x ו־y, וגובה z = 2:
A′(0 , 0 , 2)
B′(4 , 0 , 2)
C′(4 , 3 , 2)
D′(0 , 3 , 2)
✅ פתרון סופי: A(0 , 0 , 0) , B(4 , 0 , 0) , C(4 , 3 , 0) , D(0 , 3 , 0) , A′(0 , 0 , 2) , B′(4 , 0 , 2) , C′(4 , 3 , 2) , D′(0 , 3 , 2)
סעיף ב – אמצע המקצוע B′C′
M = (xB′ + xC′2 , yB′ + yC′2 , zB′ + zC′2) 📐 שיעורי אמצע קטעM = (xA + xB2 , yA + yB2 , zA + zB2)
נציב B′(4 , 0 , 2) , C′(4 , 3 , 2):
M = (4 + 42 , 0 + 32 , 2 + 22)
M = (4 , 1.5 , 2)
✅ פתרון סופי: M(4 , 1.5 , 2)
סעיף ג – הווקטורים
וקטור = שיעורי נקודת הסוף פחות שיעורי נקודת ההתחלה:
AM = (xM − xA , yM − yA , zM − zA) 📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
נציב M(4 , 1.5 , 2) , A(0 , 0 , 0):
AM = (4 − 0 , 1.5 − 0 , 2 − 0)
AM = (4 , 1.5 , 2)
DB′ = (xB′ − xD , yB′ − yD , zB′ − zD) 📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
נציב B′(4 , 0 , 2) , D(0 , 3 , 0):
DB′ = (4 − 0 , 0 − 3 , 2 − 0)
DB′ = (4 , −3 , 2)
✅ פתרון סופי: AM = (4 , 1.5 , 2) , DB′ = (4 , −3 , 2)
סעיף ד – פעולות ואורך
AM + DB′ = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2) 📐 חיבור וקטורים לפי שיעורים(x1 , y1 , z1) + (x2 , y2 , z2) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
נציב AM = (4 , 1.5 , 2) , DB′ = (4 , −3 , 2):
AM + DB′ = (4 + 4 , 1.5 + (−3) , 2 + 2)
AM + DB′ = (8 , −1.5 , 4)
2DB′ = (2 · x , 2 · y , 2 · z) 📐 כפל וקטור במספר לפי שיעוריםk · (x , y , z) = (kx , ky , kz)
נציב DB′ = (4 , −3 , 2):
2DB′ = (2 · 4 , 2 · (−3) , 2 · 2)
2DB′ = (8 , −6 , 4)
|DB′| = √x2 + y2 + z2 📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
נציב DB′ = (4 , −3 , 2):
|DB′| = √42 + (−3)2 + 22
|DB′| = √16 + 9 + 4 = √29 ≈ 5.39
✅ פתרון סופי: (8 , −1.5 , 4) , (8 , −6 , 4) , |DB′| = √29 ≈ 5.39
📌 סיכום
| סעיף א | A(0 , 0 , 0) B(4 , 0 , 0) C(4 , 3 , 0) D(0 , 3 , 0) A′(0 , 0 , 2) B′(4 , 0 , 2) C′(4 , 3 , 2) D′(0 , 3 , 2) |
|---|---|
| סעיף ב | M(4 , 1.5 , 2) |
| סעיף ג | AM = (4 , 1.5 , 2) DB′ = (4 , −3 , 2) |
| סעיף ד | (8 , −1.5 , 4) , (8 , −6 , 4) , √29 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il