וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 21: האם הישר מאונך למישור? – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 1 · סעיף ג
האם הישר מאונך למישור?
📄 נוסח השאלה
בפירמידה המשולשת ABCD הפאות ABD ו־ACD הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה E היא אמצע המקצוע CD. הנקודה F נמצאת על המקצוע BD ומחלקת אותו ביחס של BF : FD = 1 : 2.
נסמן: AB = u , AC = v , AD = w. נתון: |u| = |v| = |w| = 6 , ∡BAC = 45 מעלות.
א. חשבו את המכפלות הסקלריות שלפניכם: u · v , u · w , v · w. (פתרנו בשיעור 12)
ב. (1) הביעו את הווקטורים CD ו־BD באמצעות u , v ו־w (אם יש צורך). (2) הביעו את הווקטורים AE ו־AF באמצעות u , v ו־w (אם יש צורך). (פתרנו בשיעור 7)
ג. לפניכם שלוש טענות (1)–(3). קבעו אילו מן הטענות נכונות ואילו אינן נכונות. נמקו את כל תשובותיכם. (1) CD מאונך ל־AE. (2) CD מאונך ל־AF. (3) CD מאונך למישור EAF.
✏️ פתרון
סעיף ג (1) – האם CD מאונך ל־AE?
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 12 , שיעור 7):
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = 18√2 , u · w = 18 , v · w = 18
סעיף ב (1) – CD ו־ BD: CD = w − v , BD = w − u
סעיף ב (2) – AE ו־ AF: AE = 12v + 12w
AF = 23u + 13w
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = 18√2 , u · w = 18 , v · w = 18
סעיף ב (1) – CD ו־ BD: CD = w − v , BD = w − u
סעיף ב (2) – AE ו־ AF: AE = 12v + 12w
AF = 23u + 13w
נציב AE = 12v + 12w , CD = w − v (סעיף ב):
AE · CD = 12(v + w) · (w − v) 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
AE · CD = 12(w2 − v2)
נציב w2 = v2 = 62 = 36:
AE · CD = 12(36 − 36) = 0
(התיכון לבסיס במשולש שווה צלעות הוא גם גובה.)
✅ פתרון סופי: טענה (1) נכונה
סעיף ג (2) – האם CD מאונך ל־AF?
נציב AF = 23u + 13w , CD = w − v (סעיף ב):
AF · CD = (23u + 13w) · (w − v) 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
AF · CD = 23u·w − 23u·v + 13w2 − 13v·w
נציב u·w = v·w = 18 , u·v = 18√2 , w2 = 36 (סעיף א):
AF · CD = 23 · 18 − 23 · 18√2 + 13 · 36 − 13 · 18
AF · CD = 12 − 12√2 + 12 − 6 = 18 − 12√2 ≈ 1.03 ≠ 0
✅ פתרון סופי: טענה (2) אינה נכונה
סעיף ג (3) – האם CD מאונך למישור EAF?
ישר מאונך למישור מאונך לכל ישר במישור. AF נמצא במישור EAF, אבל לפי ג(2) CD לא מאונך ל־AF.
📐 ישר מאונך למישורישר המאונך למישור – מאונך לכל ישר שבמישור✅ פתרון סופי: טענה (3) אינה נכונה
📌 סיכום
| סעיף ג | (1) נכונה ; (2) לא ; (3) לא |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il