בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2022 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה במרחב (וקטורים) וסטטיסטיקה; פרק שני – גדילה ודעיכה וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. עונים על 3 שאלות, לפחות שאלה אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה שעה וארבעים וחמש דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד ב'

שאלון 472 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – וקטורים בפירמידה משולשת

📄 נוסח השאלה

בפירמידה המשולשת ABCD הפאות ABD ו־ACD הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה E היא אמצע המקצוע CD. הנקודה F נמצאת על המקצוע BD ומחלקת אותו ביחס של BF : FD = 1 : 2.

נסמן: AB = u , AC = v , AD = w. נתון: |u| = |v| = |w| = 6 , ∡BAC = 45 מעלות.

הפירמידה ABCD מהשאלון

א. חשבו את המכפלות הסקלריות שלפניכם: u · v , u · w , v · w.

ב. (1) הביעו את הווקטורים CD ו־BD באמצעות u , v ו־w (אם יש צורך). (2) הביעו את הווקטורים AE ו־AF באמצעות u , v ו־w (אם יש צורך).

ג. לפניכם שלוש טענות (1)–(3). קבעו אילו מן הטענות נכונות ואילו אינן נכונות. נמקו את כל תשובותיכם. (1) CD מאונך ל־AE. (2) CD מאונך ל־AF. (3) CD מאונך למישור EAF.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המכפלות הסקלריות

הזווית בין u ל־v היא ∡BAC = 45 מעלות:
u · v = 6 · 6 · cos(45) = 36 · √22 = 18√2 ≈ 25.46📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos(∡)
המשולש ABD שווה צלעות, ולכן הזווית בין u ל־w (∡BAD) היא 60 מעלות:
u · w = 6 · 6 · cos(60) = 36 · 12 = 18
גם ACD שווה צלעות, ולכן ∡CAD = 60 מעלות:
v · w = 6 · 6 · cos(60) = 18
uvwABCDEF
הפירמידה והווקטורים u , v , w – בקנה מידה
✅ פתרון סופי: u · v = 18√2 , u · w = 18 , v · w = 18

סעיף ב (1) – CD ו־BD

CD = CA + AD = −v + w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
BD = BA + AD = −u + w
✅ פתרון סופי: CD = w − v , BD = w − u

סעיף ב (2) – AE ו־AF

E אמצע CD:
AE = AC + 12CD = v + 12(w − v) = 12v + 12w📐 אמצע קטע בווקטוריםE אמצע CD ⟸ CE = 12CD
F מחלקת את BD ביחס 1 : 2, ולכן BF הוא שליש מ־BD:
BF = 13BD = 13(w − u)📐 חלוקת קטע ביחסBFBD = 11 + 2 = 13
AF = AB + BF = u + 13w − 13u = 23u + 13w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
✅ פתרון סופי: AE = 12v + 12w
AF = 23u + 13w

סעיף ג (1) – האם CD מאונך ל־AE?

AE · CD = 12(v + w) · (w − v)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
= 12(w2 − v2) = 12(36 − 36) = 0
(התיכון לבסיס במשולש שווה צלעות הוא גם גובה.)
✅ פתרון סופי: טענה (1) נכונה

סעיף ג (2) – האם CD מאונך ל־AF?

AF · CD = (23u + 13w) · (w − v)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
= 23u·w − 23u·v + 13w2 − 13v·w
= 23 · 18 − 23 · 18√2 + 13 · 36 − 13 · 18
= 12 − 12√2 + 12 − 6 = 18 − 12√2 ≈ 1.03 ≠ 0
✅ פתרון סופי: טענה (2) אינה נכונה

סעיף ג (3) – האם CD מאונך למישור EAF?

ישר מאונך למישור מאונך לכל ישר במישור. AF נמצא במישור EAF, אבל לפי ג(2) CD לא מאונך ל־AF.
📐 ישר מאונך למישורישר המאונך למישור – מאונך לכל ישר שבמישור
ABCDEF
הווקטורים AE ו־AF בפירמידה – בקנה מידה
✅ פתרון סופי: טענה (3) אינה נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א18√2 , 18 , 18
סעיף ב (1)CD = w − v
BD = w − u
סעיף ב (2)AE = 12v + 12w
AF = 23u + 13w
סעיף ג(1) נכונה ; (2) לא ; (3) לא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה: פרסום והכנסות

📄 נוסח השאלה

מנהל חברה בדק את הקשר בין ההוצאה החודשית של החברה על פרסום מוצריה, ובין ההכנסות מן המכירות שלה בחודש שלאחר מכן. הוא בדק נתונים מכמה חודשים רצופים. בטבלה שלפניכם מוצגים הנתונים על ההוצאות וההכנסות באלפי שקלים:

הוצאה על פרסום (X)הכנסות בחודש שלאחר מכן (Y)
9180
10200
13300
24450
28400
48510

המנהל חישב ומצא כי ממוצע ההוצאות לחודש על פרסום הוא X̄ = 22 וסטיית התקן היא SX = 13.6. ממוצע ההכנסות ממכירות לחודש הוא Ȳ = 340 וסטיית התקן היא SY = 123.4.

לפניכם שתי דיאגרמות פיזור (1)–(2). אחת מהן מתארת את הקשר בין שני המשתנים (X ו־Y).

דיאגרמות הפיזור 1 ו־2 מהשאלון

א. מבין שתי הדיאגרמות (1)–(2), מהי הדיאגרמה המתארת את הקשר בין שני המשתנים? נמקו את תשובתכם.

נתונים ארבעה מקדמי מתאם: r = −0.7 , r = −0.9 , r = 1 , r = 0.9.

ב. אחד מארבעת מקדמי המתאם מתאים לנתונים. קבעו מיהו ונמקו את קביעתכם.

ג. מהי משוואת ישר הרגרסייה לניבוי ההכנסות ממכירות כתלות בהוצאה על פרסום?

ד. על פי ישר הרגרסייה שמצאתם, מהי ההערכה להכנסות ממכירות (באלפי שקלים) בעבור הוצאה של 19,000 שקלים לחודש על פרסום? נמקו את תשובתכם.

החברה המירה את ההוצאות וההכנסות בשקלים להוצאות והכנסות בדולרים (ולכן כל המספרים בטבלה קטנו בערך פי 3).

ה. מהי ההשפעה של המרת השקלים לדולרים על כל אחד מן הגדלים (1)–(3) שלפניכם (כלומר האם הוא גדל, קטן, או לא השתנה)? נמקו את תשובותיכם. (1) X̄   (2) SX   (3) r

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – איזו דיאגרמה מתאימה?

בטבלה, ככל שההוצאה על פרסום גדלה, ההכנסות נוטות לגדול (מ־180 ל־510) – קשר חיובי. נקודות הדיאגרמה צריכות לעלות משמאל לימין.
בדיאגרמה 1 הנקודות עולות, ובדיאגרמה 2 הן יורדות (קשר שלילי). ⚠️ הכיוון של כל דיאגרמה נקרא מהתמונות בשאלון.
📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1
✅ פתרון סופי: דיאגרמה 1

סעיף ב – מקדם המתאם

הקשר חיובי, ולכן −0.7 ו־−0.9 נפסלים.
📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1
r = 1 פירושו שכל הנקודות על ישר עולה אחד. אבל ההוצאה 28 הביאה הכנסה 400, נמוכה מ־450 שהביאה ההוצאה 24 – הנקודות לא על ישר אחד.
נשאר r = 0.9 – קשר חיובי חזק אבל לא מושלם.
✅ פתרון סופי: r = 0.9

סעיף ג – ישר הרגרסיה

b = 0.9 · 123.413.6 ≈ 8.166📐 ישר רגרסיהŷ = b · x + ab = r · SYSX , a = Ȳ − b · X̄
a = 340 − 8.166 · 22 ≈ 340 − 179.66 ≈ 160.34
ŷ = 8.166x + 160.34
✅ פתרון סופי: ŷ = 8.166x + 160.34

סעיף ד – ההערכה עבור הוצאה של 19,000 שקלים

הנתונים בטבלה באלפי שקלים, ולכן הוצאה של 19,000 שקלים היא x = 19.
ŷ = 8.166 · 19 + 160.34 ≈ 155.15 + 160.34 ≈ 315.5📐 ישר רגרסיהŷ = b · x + ab = r · SYSX , a = Ȳ − b · X̄
הערך x = 19 נמצא בתוך טווח הנתונים (מ־9 עד 48), ולכן אפשר להשתמש בישר לניבוי.
1020304050100200300400500(19 , 315.5)XY
הנתונים, ישר הרגרסיה והניבוי ב־x = 19
✅ פתרון סופי: בערך 315.5 אלף שקלים

סעיף ה – ההשפעה של המרה לדולרים

כל המספרים מחולקים בערך ב־3 (כפל בקבוע של בערך ⅓):
📐 כפל כל הנתונים בקבועהממוצע וסטיית התקן מוכפלים באותו קבוע; מקדם המתאם לא משתנה
(1) X̄ ≈ 223 ≈ 7.3 – קטן
(2) SX ≈ 13.63 ≈ 4.5 – קטנה
(3) r – לא משתנה: הצורה של דיאגרמת הפיזור נשארת אותה צורה, רק קנה המידה משתנה.
✅ פתרון סופי: (1) קטן (2) קטנה (3) לא השתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אדיאגרמה 1
סעיף בr = 0.9
סעיף גŷ = 8.166x + 160.34
סעיף ד≈ 315.5 אלף ₪
סעיף הX̄ קטן, SX קטנה, r לא השתנה
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – חקירת פונקציית e (מנה) ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x2ex.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)?

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ג. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x), המקיימת g(x) = −2f(x) לכל x.

ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x) במערכת הצירים שבה סרטטתם את גרף הפונקצייה f(x).

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 3.

ז. הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקצייה f(x), על ידי הגרף של הפונקצייה g(x) ועל ידי הישר x = 3. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תחום ההגדרה

המכנה ex חיובי תמיד ולא מתאפס, ולכן אין הגבלה.
📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 0
✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – החיתוך עם ציר ה־x

x2ex = 0
שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: x2 = 0 x = 0
📐 שבר שווה אפסab = 0 ⟺ a = 0 , b ≠ 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף ג – נקודות הקיצון

f′(x) = 2x · ex − x2 · exe2x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
מוציאים ex מהמונה ומצמצמים:
= ex(2x − x2)e2x = x(2 − x)ex
x(2 − x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = 0 או x = 2
סימן הנגזרת (המכנה חיובי, הסימן לפי x(2 − x)):
x = −1 : (−1) · 3 = −3 < 0 ← יורדת
x = 1 : 1 · 1 = 1 > 0 ← עולה
x = 3 : 3 · (−1) = −3 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < 0−↘ יורדת
00מינימום
0 < x < 2+↗ עולה
20מקסימום
x > 2−↘ יורדת
יורדת ואז עולה – מינימום; עולה ואז יורדת – מקסימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(0) = 0 , f(2) = 4e2 ≈ 0.54
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 0) , מקסימום (2 , 4e2) ≈ (2 , 0.54)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

לפי טבלת הסימנים:
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
✅ פתרון סופי: עולה: 0 < x < 2
יורדת: x < 0 , x > 2

סעיף ה – סקיצה של f(x)

f(x) ≥ 0 תמיד (ריבוע חלקי מספר חיובי). משמאל הגרף יורד מערכים גדולים מאוד (למשל f(−2) = 4e2 ≈ 29.6) עד המינימום בראשית, עולה למקסימום (2 , 0.54) ואז יורד ומתקרב לציר ה־x מלמעלה (למשל f(10) ≈ 0.0045).
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסעיף הבא (קו מלא)

סעיף ו – סקיצה של g(x) = −2f(x)

הכפלה ב־−2: כל ערך y מוכפל ב־2 והגרף מתהפך מתחת לציר ה־x. המינימום (0 , 0) הופך למקסימום (0 , 0), והמקסימום (2 , 0.54) הופך למינימום (2 , −8e2) ≈ (2 , −1.08).
📐 מתיחה והיפוךy = k · f(x) : כל ערך y מוכפל ב־k
xy−11234−11(2 , 0.54)x = 3g(x)S2S
הגרף של f (מלא) ושל g = −2f (מקווקו) – משורטטים מהפונקציות
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה (קו מקווקו)

סעיף ז – השטח בין f, g והישר x = 3

שני הגרפים נפגשים בראשית (f(0) = g(0) = 0), ולכן השטח הוא מ־x = 0 עד x = 3. בתחום הזה f ≥ 0 (מעל הציר) ו־g ≤ 0 (מתחת לציר).
∫03 (f(x) − g(x)) dx = ∫03 (f(x) + 2f(x)) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (עליונה − תחתונה) dx
= 3 ∫03 f(x) dx = 3S
במילים: החלק שמעל הציר הוא S, והחלק שמתחת לציר גדול ממנו פי 2 (2S), כי כל גובה של g כפול מזה של f.
✅ פתרון סופי: 3S

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אכל x
סעיף ב(0 , 0)
סעיף גמינימום (0 , 0)
מקסימום (2 , 4/e2)
סעיף דעולה 0 < x < 2
יורדת x < 0 , x > 2
סעיף ה–וסקיצות
סעיף ז3S
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פונקציות ln עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = a + (ln x)2. a > 0 הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה (הביעו באמצעות a, אם יש צורך).

נתונה הפונקצייה g(x) = 1 + ln x המוגדרת בתחום x > 0.

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה g(x) (אם יש כאלה).

ד. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הפונקצייה f(x) ואחד מהם מתאר את גרף הפונקצייה g(x). קבעו איזה מהם מתאר את f(x) ואיזה את g(x), ונמקו את קביעתכם.

הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x) נחתכים בשתי נקודות שונות. שיעור ה־x של אחת מנקודות החיתוך האלו הוא x = e.

ה. (1) מצאו את a. (2) מצאו את השיעורים של נקודת החיתוך האחרת של הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x). (3) בעבור אילו ערכי x מתקיים: f(x) < g(x)?

הגרפים I–IV לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום ההגדרה

x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ב – נקודת הקיצון של f

f′(x) = 0 + 2 ln x · 1x = 2 ln xx📐 נגזרת של ln בריבוע((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x
2 ln x = 0 ln x = 0 x = 1📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
סימן הנגזרת (x > 0, לכן הסימן לפי ln x):
x = 1e : ln 1e = −1 < 0 ← יורדת
x = e : ln e = 1 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
0 < x < 1−↘ יורדת
10מינימום
x > 1+↗ עולה
יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(1) = a + (ln 1)2 = a + 0 = a
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , a)

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה של g

g′(x) = 0 + 1x = 1x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
בתחום x > 0: 1x > 0 תמיד – הפונקצייה עולה בכל התחום, ואין לה תחום ירידה.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
✅ פתרון סופי: עולה: x > 0 ; אין תחום ירידה

סעיף ד – איזה גרף מתאר כל פונקצייה?

g עולה כל הזמן – רק גרף I עולה לאורך כל התחום (גרף II יורד).
f יורדת עד מינימום ב־(1 , a) ואז עולה (צורת "קערה"), והמינימום מעל ציר ה־x כי a > 0. בגרף III המינימום נוגע בציר ה־x (זה היה a = 0), ובגרף IV המינימום מעל הציר.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
⚠️ ההתאמה נעשתה לפי תמונות הגרפים בשאלון.
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף IV ; g(x) – גרף I

סעיף ה (1) – מציאת a

ב־x = e הגרפים נפגשים:
f(e) = g(e)
a + (ln e)2 = 1 + ln e📐 ln של חזקת eln(ek) = k
a + 1 = 2 a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ה (2) – נקודת החיתוך האחרת

1 + (ln x)2 = 1 + ln x
(ln x)2 − ln x = 0
ln x (ln x − 1) = 0📐 מכפלה שווה אפסa · b = 0 כאשר a = 0 או b = 0
ln x = 0 ⟸ x = 1 או ln x = 1 ⟸ x = e📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
g(1) = 1 + 0 = 1
✅ פתרון סופי: (1 , 1)

סעיף ה (3) – מתי f(x) < g(x)?

1 + (ln x)2 < 1 + ln x
ln x (ln x − 1) < 0
מכפלה שלילית כששני הגורמים בסימנים שונים: 0 < ln x < 1
📐 מכפלה שליליתa · b < 0 כאשר a ו־b בסימנים שונים
e0 < x < e1 1 < x < e
בדיקה: x = 2 : f ≈ 1.48 , g ≈ 1.69 – f קטנה ✓
xy1234−11234(1 , 1)(e , 2)
הגרפים עם a = 1 – בתחום הצבוע f < g
✅ פתרון סופי: 1 < x < e

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אx > 0
סעיף במינימום (1 , a)
סעיף געולה x > 0
סעיף דf – IV ; g – I
סעיף הa = 1 ; (1 , 1) ; 1 < x < e
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – ת"ה, חיתוך ועלייה וירידה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת ln ממשית ומגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

f(x) היא פונקצייה. גרף פונקציית הנגזרת שלה, f′(x), מתואר בסרטוט שלפניכם. הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת בלבד, שבה x = c. c הוא פרמטר.

הגרף של f′(x) מהשאלון

א. מצאו את הסוג של נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x) על פי הגרף. נמקו את תשובתכם.

נתון: f(x) = ln(4x − x2).

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). בתשובתכם השאירו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x) וכתבו את ערכו של c.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) · f′(x).

ו. מצאו את התחומים שבהם g(x) חיובית. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – סוג הקיצון לפי גרף הנגזרת

לפי הגרף: משמאל ל־c הגרף של f′ מעל ציר ה־x (f′ > 0, f עולה), ומימין ל־c מתחתיו (f′ < 0, f יורדת). ⚠️ הסימנים נקראו מהגרף בשאלון.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
עולה ואז יורדת – מקסימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
✅ פתרון סופי: מקסימום

סעיף ב – תחום ההגדרה

4x − x2 > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
x(4 − x) > 0
פרבולה "בוכה" עם שורשים 0 ו־4 – חיובית בין השורשים.
✅ פתרון סופי: 0 < x < 4

סעיף ג – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר y: x = 0 לא בתחום ההגדרה – אין חיתוך.
ציר x:
ln(4x − x2) = 0 4x − x2 = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
x2 − 4x + 1 = 0
x = 4 ± √(16 − 4)2 = 2 ± √3📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x ≈ 0.27 , x ≈ 3.73 (שניהם בתחום)
✅ פתרון סופי: (0.27 , 0) , (3.73 , 0) ; אין חיתוך עם ציר y

סעיף ד – נקודת הקיצון והערך של c

f′(x) = 4 − 2x4x − x2📐 נגזרת ln של פונקצייה(ln(h(x)))′ = h′(x)h(x)
4 − 2x = 0 x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = 1 : 23 > 0 ← עולה , x = 3 : −23 < 0 ← יורדת
עולה ואז יורדת – מקסימום (מתאים לסעיף א).
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(2) = ln(8 − 4) = ln 4 ≈ 1.39
הנגזרת מתאפסת רק ב־x = 2, ולכן c = 2.
✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , ln 4) ≈ (2 , 1.39) ; c = 2

סעיף ה – סקיצה

בקצוות התחום 4x − x2 מתקרב ל־0, ולכן f שואפת למינוס אינסוף: אסימפטוטות אנכיות x = 0 ו־x = 4.
📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
הגרף עולה מ־−∞, חותך את ציר ה־x ב־0.27, מגיע למקסימום (2 , 1.39), יורד, חותך ב־3.73 ויורד ל־−∞.
xy123−2−412(2 , ln 4)0.273.73
הגרף של f(x) = ln(4x − x2) – משורטט מהפונקצייה עצמה
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ו – מתי g(x) = f(x) · f′(x) חיובית?

מכפלה חיובית כששני הגורמים באותו סימן.
📐 מכפלה חיוביתa · b > 0 כאשר a ו־b באותו סימן
סימן f (מסעיף ג): חיובית ב־0.27 < x < 3.73, שלילית ב־0 < x < 0.27 וב־3.73 < x < 4
סימן f′ (מסעיף ד): חיובית ב־0 < x < 2, שלילית ב־2 < x < 4
שתיהן חיוביות: 0.27 < x < 2. שתיהן שליליות: 3.73 < x < 4.
✅ פתרון סופי: 2 − √3 < x < 2 או 2 + √3 < x < 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אמקסימום
סעיף ב0 < x < 4
סעיף ג(0.27 , 0) , (3.73 , 0)
סעיף ד(2 , ln 4) ; c = 2
סעיף הסקיצה
סעיף ו0.27 < x < 2 , 3.73 < x < 4
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – ת"ה + קיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות