שיעור 15- קיצון עם מנה

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו שאלה עם פונקציית e במונה ופרמטר במכנה: בסעיף א מוצאים את a מהאסימפטוטה האנכית, ובסעיף ב את נקודת הקיצון וסוגה בעזרת נגזרת מנה.

נתונה הפונקציה f(x) = e^2xx² − 4x + a , a הוא פרמטר. לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא x = 2. מצאו את הערך של a.

אסימפטוטה אנכית – ההפך מתחום ההגדרה: המכנה שווה 0 (e^2x מוגדר תמיד).

x² − 4x + a = 0

מציבים x = 2:

2² − 4·2 + a = 0

4 − 8 + a = 0

−4 + a = 0

תשובה: a = 4

הציבו a = 4 בפונקציה f(x). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגה.

f(x) = e^2xx² − 4x + 4

נגזרת מנה: fg → f'·g − g'·fg²

f'(x) =

2e^2x·(x² − 4x + 4) − (2x − 4)e^2x(x² − 4x + 4)²

= 0

מכנה ≠ 0 ← נשאר המונה:

2e^2x(x² − 4x + 4)

− (2x − 4)e^2x = 0 /:e^2x

e^2x ≠ 0

2x² − 8x + 8 − 2x + 4 = 0

y' = 2x² − 10x + 12 = 0

x₁ = 3

x₂ = 2

x = 2 – אסימפטוטה אנכית, שם הפונקציה לא מוגדרת ← נפסל

מציבים בפונקציה המקורית:

f(3) = e⁶9 − 12 + 4 = e⁶1 = e⁶

סוג הנקודה – מציבים ב־2x² − 10x + 12 מספר בין 2 ל־3 ומספר אחרי 3:

x = 4: 2·4² − 40 + 12

= 32 − 40 + 12 = 4 > 0

x = 212:

12.5 − 25 + 12 = −0.5 < 0

תשובה: (3 , e⁶) min

אסימפטוטה אנכית – המכנה שווה 0. בנגזרת מנה משווים רק את המונה ל־0, ופוסלים x שבו הפונקציה לא מוגדרת (האסימפטוטה).