שיעור 4: כפל במספר – אמצע קטע ונקודה שמחלקת קטע

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

כפל במספר – אמצע קטע ונקודה שמחלקת קטע

📄 נוסח השאלה

בסרטוט פירמידה משולשת SABC. נסמן: SA = u , SB = v , SC = w. הנקודה M היא אמצע המקצוע BC.

א. הביעו את BC באמצעות v ו־w.

ב. הביעו את SM באמצעות v ו־w.

הנקודה K נמצאת על הקטע SM כך ש־SK : KM = 2 : 1.

ג. הביעו את SK ואת AK באמצעות u , v ו־w.

הנקודה N נמצאת על המקצוע AB כך ש־AN : NB = 1 : 3.

ד. הביעו את SN באמצעות u ו־v.

✏️ פתרון

סעיף א – הווקטור BC

הולכים מ־B אל הקודקוד S ומשם אל C. BS נגדי ל־SB:

BC = BS + SC = −v + w 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ

אפשר גם בחיסור: שני הווקטורים SB ו־SC יוצאים מאותה נקודה S:

BC = SC − SB = w − v📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)XZ − XY = YZ

✅ פתרון סופי: BC = w − v

סעיף ב – וקטור לאמצע הקטע

M אמצע BC, ולכן BM הוא חצי מ־BC:

BM = 12BC = 12(w − v) 📐 אמצע קטע (M אמצע BC)BM = 12BC

SM = SB + BM 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ

נציב SB = v , BM = 12w − 12v:

SM = v + 12w − 12v

SM = 12v + 12w

קיבלנו את הנוסחה המוכרת: וקטור לאמצע קטע הוא ממוצע שני הווקטורים לקצות הקטע.📐 וקטור לאמצע קטע (M אמצע BC)SM = 12(SB + SC)

✅ פתרון סופי: SM = 12v + 12w

סעיף ג – נקודה שמחלקת קטע ביחס

SK : KM = 2 : 1: הקטע SM מחולק ל־3 חלקים שווים, ו־SK הוא 2 מהם:

SK = 23SM = 23(12v + 12w) 📐 נקודה שמחלקת קטע ביחס (AN : NB = m : n)AN = mm + nAB

SK = 13v + 13w📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb

AK: הולכים מ־A אל S ומשם אל K. AS נגדי ל־SA:

AK = AS + SK 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ

נציב AS = −u , SK = 13v + 13w:

AK = −u + 13v + 13w

✅ פתרון סופי: SK = 13v + 13w , AK = −u + 13v + 13w

סעיף ד – הווקטור SN

קודם AB (חיסור של שני וקטורים שיוצאים מ־S):

AB = SB − SA = v − u📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)XZ − XY = YZ

AN : NB = 1 : 3: המקצוע מחולק ל־4 חלקים שווים, ו־AN הוא חלק אחד:

AN = 14AB = 14(v − u) 📐 נקודה שמחלקת קטע ביחס (AN : NB = m : n)AN = mm + nAB

SN = SA + AN 📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ

נציב SA = u , AN = 14v − 14u:

SN = u + 14v − 14u

SN = 34u + 14v

✅ פתרון סופי: SN = 34u + 14v

📌 סיכום

סעיף א	BC = w − v
סעיף ב	SM = 12v + 12w
סעיף ג	SK = 13v + 13w AK = −u + 13v + 13w
סעיף ד	SN = 34u + 14v

וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים