וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 26: תיבה במערכת צירים – שיעורי נקודות – בגרות קיץ 2023 מועד ב׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 1 · סעיפים א , ב
תיבה במערכת צירים – שיעורי נקודות
📄 נוסח השאלה
תיבה ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד D נמצא בראשית הצירים. הקודקודים A , C , D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה־x, של ציר ה־y ושל ציר ה־z בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: AD = 2 , DC = 5, נפח התיבה הוא 80.
א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד D′. (2) כתבו את השיעורים של הקודקודים A , B , C , C′.
נתון: הנקודה E נמצאת על המקצוע CC′ ומקיימת CE = 34CC′. הנקודה F היא אמצע המקצוע DD′. הנקודה K היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′C. הנקודה M נמצאת על הפאה AA′D′D ומקיימת: המרובע FEKM הוא מקבילית.
ב. מצאו את שיעורי הנקודות E , F , K.
✏️ פתרון
סעיף א – שיעורי הקודקודים
(1) הגובה של התיבה הוא DD′. מנפח התיבה:
V = AD · DC · DD′ 📐 נפח תיבהV = a · b · c
נציב V = 80 , AD = 2 , DC = 5:
80 = 2 · 5 · DD′
80 = 10 · DD′
DD′ = 8010 = 8
D′ על ציר ה־z בגובה 8:
D′(0 , 0 , 8)
(2) A על ציר ה־x במרחק 2, C על ציר ה־y במרחק 5; B – הקודקוד הרביעי של הבסיס, ו־C′ נמצא 8 יחידות מעל C:
A(2 , 0 , 0)
B(2 , 5 , 0)
C(0 , 5 , 0)
C′(0 , 5 , 8)
✅ פתרון סופי: (1) D′(0 , 0 , 8)
(2) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)
(2) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)
סעיף ב – שיעורי E , F , K
CC′ = (xC′ − xC , yC′ − yC , zC′ − zC) 📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
נציב C′(0 , 5 , 8) , C(0 , 5 , 0):
CC′ = (0 − 0 , 5 − 5 , 8 − 0)
CC′ = (0 , 0 , 8)
E = C + 34CC′
נציב C(0 , 5 , 0) , CC′ = (0 , 0 , 8):
E = (0 , 5 , 0) + 34 · (0 , 0 , 8)
E = (0 , 5 , 0) + (0 , 0 , 6)
E(0 , 5 , 6)
F = (xD + xD′2 , yD + yD′2 , zD + zD′2)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
נציב D(0 , 0 , 0) , D′(0 , 0 , 8):
F = (0 + 02 , 0 + 02 , 0 + 82)
F(0 , 0 , 4)
האלכסונים במלבן חוצים זה את זה, ולכן K הוא אמצע האלכסון BC′:
K = (xB + xC′2 , yB + yC′2 , zB + zC′2)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
נציב B(2 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8):
K = (2 + 02 , 5 + 52 , 0 + 82)
K(1 , 5 , 4)
✅ פתרון סופי: E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4)
📌 סיכום
| סעיף א | D′(0 , 0 , 8) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8) |
|---|---|
| סעיף ב | E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il