וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 15: אורכים, זווית ושטח משולש – בגרות קיץ 2023 מועד א׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 1 · סעיף ב
אורכים, זווית ושטח משולש
📄 נוסח השאלה
בפירמידה המשולשת ABCD המקצועות AD, BD ו־CD מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה E נמצאת על המישור ABC, ומתקיים: BE = 19BA + 49BC.
נסמן: DA = u , DB = v , DC = w.
א. הביעו את הווקטורים BA , BC , DE באמצעות u , v ו־w. (פתרנו בשיעור 6)
נתון: |u| = 2 , |v| = |w| = 1.
ב. (1) חשבו את אורכי המקצועות BA ו־BC. (2) חשבו את גודל הזווית ABC. (3) חשבו את שטח המשולש ABC.
✏️ פתרון
סעיף ב (1) – אורכי BA ו־BC
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 6):
סעיף א – הבעת הווקטורים: BA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
סעיף א – הבעת הווקטורים: BA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
המקצועות AD , BD , CD מאונכים זה לזה, ולכן כל מכפלה סקלרית בין שני וקטורים שונים מבין u , v , w שווה 0.
📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0|BA|2 = (u − v)2 = u2 − 2u·v + v2 📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
נציב u2 = |u|2 = 4 , u·v = 0 , v2 = 1:
|BA|2 = 4 − 2 · 0 + 1 = 5
|BA| = √5 ≈ 2.236
|BC|2 = (w − v)2 = w2 − 2w·v + v2
נציב w2 = 1 , w·v = 0 , v2 = 1:
|BC|2 = 1 − 2 · 0 + 1 = 2
|BC| = √2 ≈ 1.414
✅ פתרון סופי: BA = √5 , BC = √2
סעיף ב (2) – הזווית ABC
הזווית ABC היא הזווית בין BA ל־BC:
BA · BC = (u − v) · (w − v)
BA · BC = u·w − u·v − v·w + v2
נציב u·w = u·v = v·w = 0 (מאונכים) ו־v2 = 1:
BA · BC = 0 − 0 − 0 + 1 = 1
cos(∡ABC) = BA · BC|BA| · |BC| 📐 זווית בין וקטוריםcos(∡) = a · b|a| · |b|
נציב BA · BC = 1 , |BA| = √5 , |BC| = √2:
cos(∡ABC) = 1√5 · √2 = 1√10 ≈ 0.3162
∡ABC ≈ 71.57 מעלות
✅ פתרון סופי: ∡ABC ≈ 71.57 מעלות
סעיף ב (3) – שטח המשולש ABC
sin(71.57) ≈ 0.9487
S = 12 · |BA| · |BC| · sin(∡ABC) 📐 שטח משולש (טריגונומטרי)S = 12 · a · b · sin(∡)
נציב |BA| = √5 , |BC| = √2 , ∡ABC ≈ 71.57:
S = 12 · √5 · √2 · sin(71.57)
S ≈ 12 · 3.1623 · 0.9487 ≈ 1.5
בדיקה: בדיוק: sin = 3√10, ולכן S = 12 · √10 · 3√10 = 1.5 ✓
✅ פתרון סופי: S = 1.5 יחידות שטח
📌 סיכום
| סעיף ב (1) | √5 , √2 |
|---|---|
| סעיף ב (2) | ≈ 71.57 מעלות |
| סעיף ב (3) | 1.5 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il