וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 20: וקטור מאונך למישור ונפח פירמידה – בגרות קיץ 2023 מועד א׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 1 · סעיפים ג , ד
וקטור מאונך למישור ונפח פירמידה
📄 נוסח השאלה
בפירמידה המשולשת ABCD המקצועות AD, BD ו־CD מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה E נמצאת על המישור ABC, ומתקיים: BE = 19BA + 49BC.
נסמן: DA = u , DB = v , DC = w.
א. הביעו את הווקטורים BA , BC , DE באמצעות u , v ו־w. (פתרנו בשיעור 6)
נתון: |u| = 2 , |v| = |w| = 1.
ב. (1) חשבו את אורכי המקצועות BA ו־BC. (2) חשבו את גודל הזווית ABC. (3) חשבו את שטח המשולש ABC. (פתרנו בשיעור 15)
ג. הוכיחו כי הווקטור DE מאונך למישור ABC.
ד. חשבו את נפח הפירמידה ABCD.
✏️ פתרון
סעיף ג – DE מאונך למישור ABC
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 6 , שיעור 15):
סעיף א – הבעת הווקטורים: BA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
סעיף ב (1) – אורכי BA ו־ BC: BA = √5 , BC = √2
סעיף ב (2) – הזווית ABC: ∡ABC ≈ 71.57 מעלות
סעיף ב (3) – שטח המשולש ABC: S = 1.5 יחידות שטח
סעיף א – הבעת הווקטורים: BA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
סעיף ב (1) – אורכי BA ו־ BC: BA = √5 , BC = √2
סעיף ב (2) – הזווית ABC: ∡ABC ≈ 71.57 מעלות
סעיף ב (3) – שטח המשולש ABC: S = 1.5 יחידות שטח
מספיק להראות ש־DE מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור, למשל BA ו־BC.
📐 ישר מאונך למישורישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישורנציב DE = 19u + 49v + 49w , BA = u − v , BC = w − v (סעיף א):
DE · BA = (19u + 49v + 49w) · (u − v)
פותחים סוגריים. המכפלות המעורבות, כמו u · v , שוות 0 כי הווקטורים מאונכים, ונשארים:
DE · BA = 19u2 − 49v2 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
נציב u2 = |u|2 = 4 , v2 = |v|2 = 1:
DE · BA = 19 · 4 − 49 · 1 = 0
DE · BC = (19u + 49v + 49w) · (w − v)
DE · BC = 49w2 − 49v2
נציב w2 = v2 = 1:
DE · BC = 49 · 1 − 49 · 1 = 0
(כל המכפלות המעורבות, כמו u·w, שוות 0.) שתי המכפלות שוות 0 – DE מאונך למישור ABC. ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: DE ⊥ ABC
סעיף ד – נפח הפירמידה
נבחר את המשולש BCD כבסיס: הוא ישר זווית ב־D, עם ניצבים DB = DC = 1. המקצוע AD מאונך ל־DB ול־DC, ולכן הוא הגובה לבסיס זה.
SBCD = DB · DC2 📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
נציב DB = DC = 1:
SBCD = 1 · 12 = 12
V = SBCD · AD3 📐 נפח פירמידהV = Sבסיס · h3
נציב SBCD = 12 , AD = |u| = 2:
V = 12 · 23 = 13
בדיקה: דרך הבסיס ABC והגובה DE: |DE|2 = 181 · 4 + 1681 + 1681 = 3681 , |DE| = 23, V = 1.5 · 233 = 13 ✓
✅ פתרון סופי: V = 13 ≈ 0.333 יחידות נפח
📌 סיכום
| סעיף ג | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ד | 13 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il