וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 25: מכפלה סקלרית בגישה אלגברית – אורך, זווית, ניצבות ושטח
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מכפלה סקלרית בגישה אלגברית – אורך, זווית, ניצבות ושטח
📄 נוסח השאלה
נתונות הנקודות A(2 , 1 , 0) , B(4 , 3 , 1) , C(0 , 3 , 4).
א. מצאו את הווקטורים AB ו־AC.
ב. חשבו את האורכים של AB ושל AC.
ג. חשבו את גודל הזווית BAC.
ד. מצאו את k שבעבורו הווקטור (k , 3 , 2) מאונך לווקטור AB.
ה. חשבו את שטח המשולש ABC.
✏️ פתרון
סעיף א – הווקטורים
AB = (xB − xA , yB − yA , zB − zA) 📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
נציב B(4 , 3 , 1) , A(2 , 1 , 0):
AB = (4 − 2 , 3 − 1 , 1 − 0)
AB = (2 , 2 , 1)
AC = (xC − xA , yC − yA , zC − zA) 📐 וקטור בין שתי נקודותAB = B − A(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
נציב C(0 , 3 , 4) , A(2 , 1 , 0):
AC = (0 − 2 , 3 − 1 , 4 − 0)
AC = (−2 , 2 , 4)
✅ פתרון סופי: AB = (2 , 2 , 1) , AC = (−2 , 2 , 4)
סעיף ב – האורכים
|AB| = √x2 + y2 + z2 📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
נציב AB = (2 , 2 , 1):
|AB| = √22 + 22 + 12
|AB| = √9 = 3
|AC| = √x2 + y2 + z2 📐 אורך וקטור לפי שיעורים|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
נציב AC = (−2 , 2 , 4):
|AC| = √(−2)2 + 22 + 42
|AC| = √24 ≈ 4.90
✅ פתרון סופי: |AB| = 3 , |AC| = √24 ≈ 4.90
סעיף ג – הזווית BAC
AB · AC = x1x2 + y1y2 + z1z2 📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
נציב AB = (2 , 2 , 1) , AC = (−2 , 2 , 4):
AB · AC = 2 · (−2) + 2 · 2 + 1 · 4
AB · AC = −4 + 4 + 4 = 4
cos(∡BAC) = AB · AC|AB| · |AC| 📐 זווית בין וקטוריםcos(∡) = a · b|a| · |b|
נציב AB · AC = 4 , |AB| = 3 , |AC| = √24:
cos(∡BAC) = 43 · √24 ≈ 0.2722
∡BAC ≈ 74.21
✅ פתרון סופי: ∡BAC ≈ 74.21 מעלות
סעיף ד – וקטור מאונך
(k , 3 , 2) · AB = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
נציב AB = (2 , 2 , 1):
(k , 3 , 2) · (2 , 2 , 1) = 0
2k + 6 + 2 = 0📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
2k = −8
k = −4
בדיקה: (−4) · 2 + 3 · 2 + 2 · 1 = −8 + 6 + 2 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: k = −4
סעיף ה – שטח המשולש
שתי צלעות והזווית ביניהן:
S = AB · AC · sin(∡BAC)2 📐 שטח משולש (שתי צלעות והזווית ביניהן)S = a · b · sin(∡)2
נציב AB = 3 , AC = √24 , ∡BAC ≈ 74.21 מעלות:
S = 3 · √24 · sin 74.212 ≈ 3 · 4.899 · 0.96232 ≈ 7.07
✅ פתרון סופי: S ≈ 7.07 יחידות שטח
📌 סיכום
| סעיף א | AB = (2 , 2 , 1) AC = (−2 , 2 , 4) |
|---|---|
| סעיף ב | 3 , √24 ≈ 4.90 |
| סעיף ג | ≈ 74.21 מעלות |
| סעיף ד | k = −4 |
| סעיף ה | ≈ 7.07 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il