שיעור 23: גובה מנסרה ישרה, אורך ושטח – בגרות חורף 2022 נבצרים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 1 · סעיפים ג , ד
גובה מנסרה ישרה, אורך ושטח

📄 נוסח השאלה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCD הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, ∢BAD = 60 מעלות, נפח המנסרה הוא 8√3. הנקודה E היא אמצע המקצוע C′D′.

נסמן: AD = u , AB = v , AA′ = w.

א. הבע את הווקטורים B′A ו־B′E באמצעות u, v ו־w. (פתרנו בשיעור 5)

ב. לפניך שלוש טענות (1–3). קבע אלו מהטענות נכונות. נמק. (1) u · v = 0 (2) u · w = 0 (3) B′A מאונך ל־B′E. (פתרנו בשיעור 13)

ג. חשב את אורך הגובה של המנסרה.

ד. (1) חשב את אורך הווקטור B′E. (2) חשב את שטח המשולש AB′E.

✏️ פתרון

סעיף ג – גובה המנסרה

📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 5 , שיעור 13):
סעיף א – הבעת B′A ו־B′E: B′A = −v − w
B′E = u − 12v
סעיף ב – שלוש הטענות: טענה (1) – לא נכונה
טענות (2) ו־(3) – נכונות

S_ABCD = AB · AD · sin ∢BAD 📐 שטח מקבילית (ומעוין)S = a · b · sin ∢

נציב AB = AD = 2 , ∢BAD = 60:

S_ABCD = 2 · 2 · sin 60

S_ABCD = 4 · √32 = 2√3

V = S_ABCD · h

נציב V = 8√3 (נתון) , S_ABCD = 2√3:

8√3 = 2√3 · h📐 נפח מנסרה (S – שטח הבסיס)V = S · h

h = 8√32√3 = 4

✅ פתרון סופי: גובה המנסרה: 4

סעיף ד (1) – אורך B′E

נציב B′E = u − 12v (סעיף א):

|B′E|² = (u − 12v) · (u − 12v)📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

|B′E|² = |u|² − 2 · 12u · v + 14|v|²📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)² = a² − 2ab + b²

נציב |u|² = |v|² = 4 , u · v = 2 (סעיף ב, טענה 1):

|B′E|² = 4 − 2 · 12 · 2 + 14 · 4 = 3

|B′E| = √3 ≈ 1.73

✅ פתרון סופי: |B′E| = √3 ≈ 1.73

סעיף ד (2) – שטח המשולש AB′E

לפי טענה (3) – ∢AB′E = 90 מעלות, כלומר המשולש ישר־זווית ב־B′. לפי סעיף ג |w| = 4. צריך גם את |B′A|:

נציב B′A = −v − w (סעיף א):

|B′A|² = (−v − w) · (−v − w) 📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|²

|B′A|² = |v|² + 2v · w + |w|²

נציב |v|² = 4 , v · w = 0 , |w|² = 4² = 16:

|B′A|² = 4 + 2 · 0 + 16 = 20

|B′A| = √20 = 2√5

S = |B′A| · |B′E|2 📐 שטח משולש ישר־זווית (a, b – הניצבים)S = a · b2

נציב |B′A| = 2√5 , |B′E| = √3:

S = 2√5 · √32 = √15 ≈ 3.87

✅ פתרון סופי: S = √15 ≈ 3.87

📌 סיכום

סעיף ג	4
סעיף ד (1)	√3
סעיף ד (2)	√15 ≈ 3.87

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים

וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים