וקטורים – שאלון 472 6 פרקים37 שיעורים10 שבועות
שיעור 30: בגרות חורף 2026 – וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2026, שאלה 2
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא מקבילית. הנקודה M היא אמצע המקצוע C′D′, והנקודה P מקיימת AP = 34AA′.
נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים CM ו־PM.
נתון: ∢DAB = 60 מעלות, |v| = 10 , |u| = 8.
ב. מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: u·w , v·w , u·v.
נתון: נפח המנסרה הוא 480√3.
ג. מצאו את הערך של |w|.
ד. הוכיחו כי PM מאונך ל־CM.
ה. (1) הראו כי |PM| = √165. (2) חשבו את שטח המשולש PMC.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטורים CM ו־PM
המנסרה לפי קנה מידה (u = 8 , v = 10 , w = 12 , זווית 60 מעלות בבסיס). בירוק: CM, בסגול: PM. קווים מקווקווים – מקצועות נסתרים.
מה ידוע במנסרה: כל המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים, ולכן CC′ = AA′ = w. הבסיס העליון A′B′C′D′ הוא העתק של הבסיס התחתון, ולכן A′D′ = AD = v ו־D′C′ = AB = u (במקבילית צלעות נגדיות שוות ומקבילות).
הווקטור CM: הולכים מ־C למעלה ל־C′ ואז לאמצע M:
CM = CC′ + C′M📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
M אמצע C′D′, ולכן C′M = 12C′D′. הכיוון מ־C′ ל־D′ הפוך לכיוון של u, ולכן C′D′ = −u:
C′M = 12C′D′
C′M = 12 · (−u) = −12u
נציב CC′ = w , C′M = −12u:
CM = w − 12u
הווקטור PM: הולכים מ־P למעלה ל־A′, משם ל־D′ ומשם לאמצע M:
PM = PA′ + A′D′ + D′M📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
AP = 34w, ולכן הקטע שנשאר עד A′ הוא רבע מהמקצוע:
PA′ = w − 34w = 14w
A′D′ = v
D′M = 12D′C′ = 12u
נציב PA′ = 14w , A′D′ = v , D′M = 12u:
PM = 14w + v + 12u
PM = 12u + v + 14w
✅ פתרון סופי: CM = w − 12u , PM = 12u + v + 14w
סעיף ב – המכפלות הסקלריות
המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי AA′ מאונך למישור הבסיס, כלומר מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AD.
w ⊥ u ⟹ u·w = 0 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
w ⊥ v ⟹ v·w = 0 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
הזווית בין u ל־v היא ∢DAB = 60 מעלות:
u·v = |u|·|v|·cos∢DAB📐 מכפלה סקלריתa·b = |a|·|b|·cos(הזווית)
נציב |u| = 8 , |v| = 10 , ∢DAB = 60 מעלות:
u·v = 8 · 10 · cos60
u·v = 8 · 10 · 12 = 40
✅ פתרון סופי: u·w = 0 , v·w = 0 , u·v = 40
סעיף ג – אורך המקצוע הצדדי
שטח הבסיס – מקבילית: שתי צלעות והזווית ביניהן.
Sבסיס = |u| · |v| · sin∢DAB📐 שטח מקביליתS = a · b · sin(הזווית ביניהן)
נציב |u| = 8 , |v| = 10 , ∢DAB = 60 מעלות:
Sבסיס = 8 · 10 · sin60
sin60 = √32
Sבסיס = 80 · √32 = 40√3
המנסרה ישרה, ולכן הגובה שלה הוא אורך המקצוע הצדדי: h = |w|.
V = Sבסיס · h📐 נפח מנסרהV = Sבסיס · h
נציב V = 480√3 , Sבסיס = 40√3 , h = |w|:
480√3 = 40√3 · |w|
מחלקים את שני האגפים ב־40√3:
|w| = 480√340√3 = 12
✅ פתרון סופי: |w| = 12
סעיף ד – הוכחה ש־PM מאונך ל־CM
נראה שהמכפלה הסקלרית PM·CM שווה 0. נציב את הביטויים מסעיף א ונכפול כל איבר בכל איבר:
PM·CM = (12u + v + 14w) ·(w − 12u)
PM·CM = 12u·w − 14u·u + v·w − 12v·u + 14w·w − 18w·u
נציב u·w = 0 , v·w = 0 , u·v = 40 , ואת הריבועים:
u·u = |u|2 = 82 = 64 📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
w·w = |w|2 = 122 = 144
PM·CM = 12·0 − 14·64 + 0 − 12·40 + 14·144 − 18·0
PM·CM = 0 − 16 + 0 − 20 + 36 − 0 = 0
PM·CM = 0 ⟹ PM ⊥ CM 📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
✅ פתרון סופי: הוכחנו: PM·CM = 0 ולכן PM ⊥ CM
סעיף ה – אורך PM ושטח המשולש PMC
(1) אורך PM – מעלים בריבוע (כופלים את הווקטור בעצמו):
|PM|2 = (12u + v + 14w) ·(12u + v + 14w) 📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
|PM|2 = 14|u|2 + |v|2 + 116|w|2 + 2·12u·v + 2·18u·w + 2·14v·w
נציב |u|2 = 64 , |v|2 = 100 , |w|2 = 144 , u·v = 40 , והמכפלות עם w שוות 0:
|PM|2 = 644 + 100 + 14416 + 40 + 0 + 0
|PM|2 = 16 + 100 + 9 + 40 = 165
|PM| = √165 ✓ (כנדרש)
(2) בסעיף ד הוכחנו שהזווית ∢PMC ישרה, ולכן PM ו־CM הם הניצבים במשולש PMC. נחשב את אורך CM:
|CM|2 = (w − 12u)·(w − 12u)📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
|CM|2 = |w|2 − 2·12u·w + 14|u|2
נציב |w|2 = 144 , u·w = 0 , |u|2 = 64:
|CM|2 = 144 − 0 + 644
|CM|2 = 144 + 16 = 160
|CM| = √160
המשולש PMC (בתכלת) במנסרה, לפי קנה מידה. הזווית ב־M ישרה.
SPMC = PM · CM2📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
נציב PM = √165 , CM = √160:
SPMC = √165 · √1602
√165 · √160 = √26,400 = √(400 · 66) = 20√66
SPMC = 20√662 = 10√66 ≈ 81.24
✅ פתרון סופי: |PM| = √165 , SPMC = 10√66 ≈ 81.24 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | CM = w − 12u PM = 12u + v + 14w |
|---|---|
| סעיף ב | u·w = 0 v·w = 0 u·v = 40 |
| סעיף ג | |w| = 12 |
| סעיף ד | הוכחה: PM·CM = 0 |
| סעיף ה | |PM| = √165 S = 10√66 ≈ 81.24 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il